4. Comportement « élastique » : paramètres E,G

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CHAPITRE 4.
COMPORTEMENT « ELASTIQUE » : PARAMETRES E,G,ν ET
LIMITES DES APPROCHES CLASSIQUES
4.1. Introduction
177
4.2. Modules de déformation E et G : éléments bibliographiques
4.2.1. Définition des modules de déformation
4.2.2. Evolution des paramètres avec la déformation
4.2.3. Différents facteurs d’influence
4.2.4. Influence de l’état du matériau
178
178
179
180
180
a) Influence de la granulométrie
b) Influence de l’indice des vides
4.2.5. Influence des contraintes
a) Pression de confinement Pc
b) Contraintes principales
c) Précisaillement
4.2.6. Influence de la vitesse de sollicitation
4.3. Modules maximaux expérimentaux à l’état isotrope de contraintes
4.3.1. Modules expérimentaux « quasi-statiques »
a) Modules d’Young maximaux « quasi-statiques »
b) Modules de cisaillement maximaux « quasi-statiques »
4.3.2. Modules expérimentaux « dynamiques »
a) Modules d’Young « dynamiques »
b) Modules de cisaillement « dynamiques »
4.3.3. Comparaison avec des expressions issues de la bibliographie
a) Influence de la pression de confinement
4.3.4. Conclusion
180
181
183
183
185
186
188
190
191
192
194
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197
199
201
201
202
203
4.4. Détermination du coefficient de Poisson à l’état de contrainte isotrope 205
4.4.1. Coefficient de Poisson calculé à partir des modules « quasi-statiques » 205
4.4.2. Coefficient de Poisson calculé à partir des modules « dynamiques » 207
4.5. Evolution des modules maximaux en fonction de l’état de contrainte
4.5.1. Etat de contraintes sans rotation d’axes principaux
a) Evolution du module d’Young en fonction de la contrainte axiale
b) Evolution du module de cisaillement en fonction de la contrainte axiale
c) Conclusion
4.5.2. Etat de contraintes avec rotation des axes principaux
a) Essais de type « torsion pure »
b) Essais de type « torsion à K0 »
4.6. Conclusion
209
209
210
213
215
216
216
217
219
4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν
4.1. INTRODUCTION
4. Comportement « élastique » : paramètres
E,G,ν et limites des approches classiques
4.1. Introduction
Dans ce chapitre, l’étude porte sur les paramètres classiques de comportement des sols, que sont le
module d’Young E, le module de cisaillement G et le coefficient de Poisson ν. Ces paramètres sont
liés au modèle défini par Hooke pour modéliser un comportement élastique linéaire isotrope. Ce
modèle fut un des premiers utilisés pour définir le comportement des sols avant rupture. De nos
jours, l’évolution des connaissances sur le comportement des sols restreint l’utilisation de
l’hypothèse de comportement élastique linéaire à un domaine pour lequel les déformations
demeurent faibles. Cette notion de faibles déformations est évidemment subjective et dépend du
degré de précision de l’appareillage.
Au-delà, de ce domaine de petites déformations, la rigidité du sol évolue avec la déformation
appliquée et cette évolution devient fortement non-linéaire. La notion de module d’Young et de
cisaillement peut néanmoins être étendue. Pour chacun d’eux, il est alors possible de définir des
modules sécants et des modules tangents, pour une sollicitation monotone et des modules
équivalents pour une sollicitation cyclique.
Dans un premier temps, une revue des différents paramètres qui influent sur les modules est
proposée. Les résultats expérimentaux sont ensuite étudiés, en s’intéressant d’abord à l’influence de
la pression de confinement et de l’indice des vides sur les modules déterminés à l’état isotrope de
contrainte. L’évolution des modules en fonction de l’état de contrainte est étudiée par la suite. Les
modules « dynamiques » et « quasi-statiques » sont étudiés parallèlement.
– 177 –
4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES
4.2. Modules de déformation E et G : éléments bibliographiques
Afin de modéliser le comportement des sols, des lois simples ont d’abord été développées en se
fondant sur des paramètres devenus classiques pour définir le comportement des sols, le module
d’Young et le module de cisaillement. Une définition de ces paramètres est d’abord proposée.
Ensuite, une revue des différents facteurs susceptibles d’influencer ces deux paramètres est
présentée à partir des résultats trouvés dans la littérature.
4.2.1. Définition des modules de déformation
Les modules de déformation classiquement utilisés sont le module d’Young E et de cisaillement G.
La rigidité d’un sol étant fortement liée à la déformation appliquée, il convient de définir plusieurs
paramètres pour la caractériser.
Le module d’Young, E, est obtenu par la relation entre le déviateur de contraintes (q) et la
déformation axiale (εa) lors d’essais triaxiaux classiques. De la même façon, le module de
cisaillement, G, peut être obtenu par la relation entre la contrainte de cisaillement (τ) et la
distorsion (γ) lors d’essais de cisaillement pur.
La figure 4.1 présente le cas d’un essai triaxial pour lequel un déviateur de contrainte q est appliqué
(q=σv-σh, σv contrainte verticale et σh contrainte horizontale) et une déformation verticale εa
correspondante est observée, pour des chargements monotones et des chargements cycliques. Cette
figure permet d’illustrer comment la réponse non linéaire du matériau, en terme de rigidité, peut
être décrite à l’aide des différents modules d’Young.
Les définitions des différents modules d’Young, obtenus lors d’essais triaxaiux classiques et des
différents modules de cisaillement, obtenus lors d’essais de cisaillement pur sont les suivantes (ces
définitions sont classiques et reconnues internationalement [Yamashita et al, 2001]) :
les modules d’Young et de cisaillement sécants :
Esec=Erreur ! , Gsec=Erreur !
(4.1)
les modules d’Young et de cisaillement tangents :
Etan=Erreur ! , Gtan=Erreur !
(4.2)
les modules d’Young et de cisaillement maximaux :
Emax=Erreur !(q=0) , Gmax=Erreur !(τ=0)
(4.3)
les modules d’Young et de cisaillement équivalents :
Eeq=Erreur ! , Geq=Erreur !
(4.4)
L’indice « SA » dans l’équation 4.4 est le raccourci pour « simple amplitude », ce qui correspond à
l’amplitude pic à pic.
– 178 –
Dévitaeur de contraintes q
2εSA
M
Module tangent
au point M
Module sécant au point M
Modules équivalents
fonction de l'amplitude
des cycles
2σSA
Module équivalent
au point P
P
Déformation axiale
FIGURE 4.1 : Définition des différents modules
4.2.2. Evolution des paramètres avec la déformation
Dans l’analyse du comportement des sables, les rigidités sont représentées classiquement en
fonction du logarithme de la déformation. Cette représentation des modules, qui porte le nom de
ses auteurs Seed-Idriss, permet d’illustrer leur évolution en fonction du niveau de déformation. La
diminution des modules de déformation avec l’augmentation de l’amplitude des déformations est
ainsi mise en évidence (Figure 4.2). Dans le cas de sollicitations cycliques, la courbe de
dégradation associe les modules équivalents aux amplitudes de déformation.
FIGURE 4.2 : Représentation de type Seed-Idriss des modules sécants et équivalents,
[Tatsuoka et Shiuya, 1991]
Dans la suite, une revue des différents facteurs influençant ces paramètres de comportement est
proposée.
– 179 –
4.2.3. Différents facteurs d’influence
Dans cette partie, les principaux facteurs influençant les paramètres de comportement des sols
décrits dans la littérature sont détaillés. Tatsuoka et Shibuya [1991] ont énuméré les principaux
facteurs intervenant sur les propriétés des sols et des roches mesurées en laboratoire :
la non-homogénéité du matériau, particulièrement sensible sur les roches fissurées,
le remaniement des échantillons, que ce soit la destruction partielle lors du prélèvement des
échantillons ou par densification lors de la manipulation en laboratoire,
l’anisotropie lors de la mise en place de l’échantillon (avant consolidation),
le niveau de déformation auquel est appliqué le cycle, en raison des fortes irréversibilités des
matériaux constituant les sols dès les faibles déformations,
le chemin de consolidation (isotrope, anisotrope...), le temps de consolidation,
la pression moyenne,
le chemin de contrainte suivi lors du cisaillement (rotation des axes principaux…),
la nature du chargement appliqué (cyclique ou monotone, drainé ou non drainé) et de la vitesse
de sollicitation.
Ces paramètres ne sont pas tous de même nature. Il faut distinguer en effet, ceux qui relèvent des
erreurs ou approximations expérimentales, ceux qui concernent l’histoire subie par le matériau,
ceux qui portent sur le comportement au cours de la mesure. Il convient de s’intéresser aux
paramètres qui ne dépendent pas de l’expérience, et qui peuvent donc être considérés comme
intrinsèques aux matériaux. Dans le cas du sable, il faut prendre en compte l’état du matériau
(granulométrie et nature des grains, mise en place du matériau, indice des vides) et les sollicitations
auxquelles le matériau est soumis au cours de son histoire (la pression moyenne ou les différentes
contraintes, la rotation des contraintes, la vitesse des sollicitations…).
4.2.4. Influence de l’état du matériau
a) Influence de la granulométrie
Il semble intuitivement raisonnable de croire que la granulométrie a une influence sur la structure
de l’assemblage des grains et donc sur la rigidité d’un tel assemblage. Il n’existe cependant que très
peu d’informations sur l’influence de la granulométrie sur le comportement des sables en faibles
déformations. Hameury [1995] observe une décroissance plus rapide de la rigidité avec le niveau
de déformation pour des sables à granulométrie étalée. Il compare la courbe de décroissance du
module de cisaillement et celle de l’augmentation de l’amortissement du sable de Quiou avec celles
du sable d’Hostun à granulométrie plus serrée. La granulométrie semble influencer l’évolution de
l’amortissement avec la distorsion. Cependant, elle ne modifie pas la valeur de l’amortissement
dans le domaine des petites déformations.
– 180 –
Yasin et al [1999] présentent une étude sur deux types de sable (Toyoura du Japon et Silver
Leighton Buzzard du Royaume-Uni). Pour chaque sable, deux groupes d’échantillons sont réalisés
avec du sable acheté à différentes périodes. Des différences importantes sont obtenues lors d’essais
de compression plane à faible niveau de confinement alors que les différences de granulométrie, de
forme des grains, de densité minimum et maximum, entre les deux groupes pour chaque sable sont
très faibles.
L’influence de l’indice des vides e sur l’évolution des modules d’Young et de cisaillement se
traduit généralement par une fonction nommée f(e).
Hardin et Richart (1963) sont parmi les premiers à étudier l’influence de l’indice des vides sur les
différents modules à partir de mesures de propagation d’onde. Ils montrent qu’une relation linéaire
lie la célérité des ondes mesurée c et l’indice des vides e, pour une pression de confinement
constante Pc :
c=a (b-e) Pcn/2
(4.5)
A partir de cette observation, ces auteurs déduisent que les modules de cisaillement dépendent de
l’indice des vides par l’intermédiaire d’une fonction de la forme générale :
f(e) = Erreur !
(4.6)
avec a et b deux constantes dépendant du matériau [Hardin et al, 1969].
Plusieurs auteurs adoptant la même forme pour la fonction d’indice des vides proposent des valeurs
empiriques pour a et b dans le cas de nombreux matériaux et notamment le sable d’Hostun. Ces
valeurs sont obtenues à partir d’essais quasi-statique ou dynamique. Quelques expressions des
fonctions f(e) sont présentées dans le tableau 4.1 ainsi que le type d’essais ayant permis de les
obtenir.
Type d’essai
Essai triaxial
Module
interpolé
Matériau
divers matériaux dont
les sables propres
G
Essai triaxial
Essai triaxial de précision
et colonne résonnante
G
Auteurs
Hardin et Drnevich
[1972]
Iwasaki et
Tastuoka [1977]
Fonction d’indice
des vides f(e)
Erreur !
Erreur !
Sable d’Hostun
E
Rivera [1988]
Erreur !
Sable d’Hostun
E
Charif [1991]
Erreur !
Sable d’Hostun
G
Hameury [1995]
Erreur !
TABLEAU 4.1 : Formulation empirique des modules d’Young et de cisaillement pour le sable d’Hostun en
fonction de l’indice des vides e et de la pression moyenne P par différents auteurs
– 181 –
Hicher [1996] explique que la constante a dépend de la nature du milieu granulaire étudié, à savoir
la composition minéralogique et la forme des grains, ainsi que la distribution des grains. Des essais
réalisés sur le même sable avec des granulométries différentes ont montré que ce paramètre a
augmente lorsque le coefficient d’uniformité Cu (D10/D60) diminue. Pour la constante b, qui dépend
aussi de la nature du sol, les valeurs sont généralement comprises entre 1 et 4.
Hicher propose en outre des expressions simplifiées pour la fonction f(e) en fonction du type de sol
(Figure 4.3). Pour des sables ou des argiles avec une faible limite de liquidité (WL<50%), la
fonction peut s’écrire :
f(e) = Erreur !
(4.7)
FIGURE 4.3 : Evolution du module d’Young en fonction de l’indice des vides et de la pression moyenne pour
différents sables et argiles, [Hicher, 1996] d’après Bard [1993]
Dano [2001] utilise la même forme hyperbolique pour définir l’influence de l’indice des vides sur
le module de cisaillement du sable de Fontainebleau déterminés par propagation d’ondes. Il montre
en outre que le module de cisaillement semble influencé par l’état dilatant ou contractant dans
lequel se trouve le sable. La figure 4.5 présente ainsi les valeurs du module de cisaillement
déterminées au cours d’un essai de compression triaxiale sur sable lâche. La valeur du module
augmente jusqu’à ce que le taux de déformation volumique s’annule.
– 182 –
FIGURE 4.4 : Evolution du module de cisaillement (déterminés par propagation d’onde) au cours d’un essai
triaxial sur sable lâche [Dano, 2001]
4.2.5. Influence des contraintes
Afin d’étudier le comportement d’un sol en approchant au plus près la réalité, les essais de
laboratoire doivent pouvoir reproduire les contraintes auxquelles ce sol serait soumis sur le terrain.
Dans le cas des échantillons artificiels recréés en laboratoire, il faut tenir compte de l’histoire
ancienne des contraintes inévitablement subie par le matériau, lorsqu’il est en place sur le terrain.
De plus, un matériau est généralement testé afin de prédire son comportement sous des
sollicitations nouvelles, mises en jeu lors d’une utilisation future, qu’il faut être capable de
reproduire en laboratoire. Afin de prédire le comportement d’un sol, il faut donc être capable de
déterminer la réponse à de nombreuses sollicitations complexes.
Pour le sable, différentes études ont permis de limiter le nombre de facteurs à prendre en compte
afin de modéliser son comportement pour des sollicitations relativement simples. Ainsi, pour des
chargements monotones, deux paramètres interviennent généralement : la contrainte moyenne et le
rapport des contraintes principales.
L’influence de sollicitations plus complexes, tels que des chargements cycliques a aussi fait l’objet
de plusieurs études. Cette étude se limite à l’influence d’un cisaillement simple applicable pour des
sollicitations avec un nombre de cycles qui demeure peu élevé.
a) Pression de confinement Pc
Le plus souvent, les expériences réalisées dans le domaine des petites déformations sont menées
sur des échantillons à partir d’un état de contrainte isotrope. Les modules d’Young et de
cisaillement dépendent alors de la pression de confinement au travers d’une fonction puissance
[Hardin et Richart, 1963], [Iwasaki et Tatsuoka, 1977], [Jamiolkowski et al, 1994], [Hicher, 1996],
[Jovicic et Coop, 1997], [Yamashita et al, 2000]. En tenant compte de l’indice des vides et de la
pression de confinement, les autres paramètres restant fixes, l’expression du module de cisaillement
s’écrit :
– 183 –
Gmax = f(e).Pcm
(4.8)
En réalité la valeur de l’exposant m varie avec le niveau de déformation cyclique. Yasuda et
Matsumoto [1993] mesurent sur le sable de Toyoura des valeurs comprises entre 0,4 et 0,53 pour
des déformations de 10-5 à 10-4. Tatsuoka [1985] reprend également plusieurs études sur le sable de
Toyoura et trace l’évolution de l’exposant m avec l’amplitude de la déformation, en l’occurrence, la
distorsion, m étant calculée à partir du module de cisaillement (Figure 4.5).
FIGURE 4.5 : Evolution de l’exposant de la pression moyenne, m, en fonction de la distorsion pour le module
de cisaillement du sable de Toyoura [Tatsuoka, 1985]
Pour des déformations cycliques de l’ordre de 10-5, l’exposant m se situe aux alentours de 0,5 et
semble croître avec le niveau de déformation cyclique. De même, Biarez et Hicher [1994] et Hicher
[1996], en s’appuyant sur des essais réalisés par Bard [1993] sur différents géomatériaux,
retiennent la valeur de 0,5 pour l’exposant m, en petites déformations cycliques (Figure 4.3).
Cette valeur de 0,5 est couramment utilisée pour le sable d’Hostun [Hardin et Drnevich, 1972],
[Rivera, 1988], [Charif, 1991]. Enfin, Hameury [1995] détermine avec plus de précision l’exposant
m à partir d’essais triaxiaux de précision et d’essais à la colonne résonnante et fixe sa valeur à 0,46.
La pression de confinement a donc une influence sur la valeur maximale des modules. Elle
influence aussi les courbes de dégradation des modules, représentant l’évolution des modules en
fonction du niveau de déformations. Plus la pression de confinement est faible, plus la décroissance
de la rigidité avec le niveau de déformation est accentuée. Ceci est constaté par Hameury [1995]
sur le sable Hostun RF dense avec des essais à la colonne résonnante sur des échantillons à
différents niveaux de pression de confinement. Il apparaît qu’une pression moyenne effective
élevée retarde la décroissance du module. Ce phénomène a été observé pour les résultats des essais
réalisés au cours de cette étude. Ces résultats ont été présentés au Chapitre 3, lors de l’analyse des
essais.
– 184 –
b) Contraintes principales
Roesler [1979] réalise des essais de propagation d’ondes de cisaillement sur du sable, sous un état
anisotrope de contraintes. Les ondes sont polarisées suivant les directions principales de contrainte.
Il montre que leur célérité dépend uniquement des contraintes principales dans les directions de
propagation et de polarisation. La vitesse de ces ondes reste indépendante de la troisième contrainte
principale. Pour traduire cette dépendance, il propose d’utiliser plusieurs formulations de la vitesse
de propagation Vs :
Vs = K σana σbnb
(4.9)
Vs = K Erreur !
(4.10)
ou bien
où σa est la contrainte principale dans la direction de propagation, σb celle dans la direction de
polarisation (σc étant la troisième contrainte principale) et K est un facteur de proportionnalité
(dépendant d’autres paramètres tels que l’indice des vides ou la pression de confinement).
De la relation existante entre le module de cisaillement et la célérité des ondes de cisaillement, on
peut déduire l’expression du module de cisaillement :
ou
Gab = K’ σama σbmb
(4.11)
Gab = K’ Erreur !
(4.12)
où K’ est un facteur de proportionnalité (qui peut dépendre des autres paramètres).
Hardin et Blandford [1989] proposent alors d’exprimer la dépendance du module de cisaillement
vis à vis de l’état de contrainte pour un matériau normalement consolidé par la relation :
G = K f(e) σiniσjnj
(4.13)
où K est un paramètre qui dépend du matériau, et σi et σj les contraintes principales agissant dans le
plan où G est mesuré.
Pour les ondes de compression, la direction de propagation coïncide avec celle de polarisation, si
bien que Hardin et Blandford [1989] proposent la formulation suivante du module d’Young, par
analogie avec le cas des ondes de cisaillement :
Ei = K σin
(4.14)
où K est un facteur de proportionnalité. Cela implique que le module d’Young dans une direction
est une fonction unique de la contrainte normale dans cette direction.
Lo Presti [1995] confirme ce fait pour des argiles à l’aide d’essai triaxiaux ainsi que Hoque et al
[1996] pour les sables. Ces derniers réalisent plusieurs essais triaxiaux sur un échantillon à section
rectangulaire. Ils mesurent ainsi le module d’Young dans la direction verticale Ev et dans la
direction horizontale Eh. Ils déterminent l’influence des contraintes horizontales σh et verticales σv
sur chacun de ces modules. Sur la figure 4.6 sont ainsi représentées d’une part, l’évolution du
module d’Young Ev en fonction de la contrainte verticale σv pour différents niveaux de contrainte
horizontale σh et d’autre part, l’évolution du module d’Young Eh en fonction de la contrainte
horizontale σh pour différents niveaux de contrainte verticale σv.
– 185 –
Les auteurs parviennent à la conclusion que le module d’Young dans une direction n’est influencé
que par la contrainte dans cette direction. Les relations suivantes sont exprimées :
Ev = Ev0.f(e).σvnv et Eh = Eh0 f(e).σhnh
(4.15) et (4.16)
avec Ev0 et Eh0 le module d’Young dans la direction verticale, respectivement horizontale, à l’état
isotrope et nv et nh les valeurs des exposants.
FIGURE 4.6 : Relations Ev en fonction de σv pour différentes valeurs de σh et relations Eh en fonction de σh
pour différentes valeurs de σv [Hoque et al, 1996]
c) Précisaillement
Hardin et Drnevich [1972] ont réalisé une campagne d’essais à la colonne résonnante et d’essais de
cisaillement simple sur cylindre creux. Il apparaît que le module de cisaillement a tendance à être
plus faible pour le premier cycle de chargement sur un matériau déjà cisaillé. Mais l’influence de
ce cisaillement disparaît après une dizaine de cycles de chargement.
Tatsuoka et Shibuya [1991] présentent trois essais monotones de cisaillement simple sur sable de
Toyoura lâche : tout d’abord sur un échantillon non cisaillé (τat=0), ensuite sur un échantillon
cisaillé dans le sens du cisaillement monotone (τat=+10 kPa) et enfin sur un échantillon cisaillé
dans le sens contraire au cisaillement monotone (τat=-10 kPa). La contrainte axiale est maintenue à
167 kPa dans les trois cas. Le chemin du cisaillement initial est donné sur la figure 4.7b. Il apparaît
(figure 4.7a) que le module de cisaillement maximum est relativement identique pour les trois
essais. Toutefois, l’évolution du module de cisaillement tangent (figure 4.7c), immédiatement après
le début du cisaillement monotone est influencée par le cisaillement initial. L’influence s’atténue
– 186 –
pour des niveaux plus élevés de distorsion puisque les modules des trois essais se rejoignent par la
suite.
a)
b)
c)
, ,
FIGURE 4.7 : Effet d’un cisaillement initial sur le comportement du sable de Toyoura lâche en faibles
déformations : a) Relation contrainte-déformation, b) Chemin de sollicitation, c) Dégradation du module
tangent avec la distorsion [Tatsuoka et Shibuya, 1991]
– 187 –
4.2.6. Influence de la vitesse de sollicitation
L’influence de la vitesse de sollicitation est un facteur important pour l’étude des sols présentant
des caractéristiques visqueuses, par exemple, des sols argileux. Les paramètres mécaniques peuvent
varier de façon importante en fonction notamment de la durée de consolidation.
Il a longtemps été supposé que dans le domaine des très petites déformations, le sable était
élastique et que son comportement ne dépendait pas de la vitesse de sollicitation. Hardin et
Drnevich [1972] montrent que pour une plage de fréquence de 0,1 à 260 Hz, les variations de
rigidité mesurées sous des sollicitations cycliques restaient négligeables pour des déformations
inférieures à 10-5. Hoque et al [1996] mesurent les modules de plusieurs sables à l’aide d’un essai
triaxial sur de grands échantillons. Il montrent que dans la gamme de fréquence choisie, les
modules de faibles déformations ne sont que peu influencés par la vitesse de déformation. La figure
4.8 présente le rapport des modules déterminés avec une fréquence de 0,0066 Hz et ceux avec une
fréquence de 0,1 Hz. Le rapport très proche de 1 permet aux auteurs de conclure que les effets de la
fréquence sont négligeables sur la mesure des modules.
FIGURE 4.8 : Rapport des modules déterminés dans la direction verticale à l’aide d’essais triaxiaux pour une
fréquence de 0,0066 Hz et 0,1 Hz en fonction de la pression moyenne [Hoque et al, 1996]
Toutefois, les effets de la vitesse de sollicitations peuvent intervenir. Di Benedetto et Tatsuoka
[1997] ont réalisé des essais de fluage (Figure 4.9) et ont mis en évidence l’apparition de
déformations visqueuses non négligeables après un certain temps même pour des niveaux de
déformation de l’ordre de 10-4. Ils concluent qu’il existe des effets dus à la vitesse de sollicitation
sur le sable dans le domaine des petites déformations et que ces effets ne varient d’un matériau à un
– 188 –
autre que par leur niveau et le temps nécessaire pour les observer. Lors de périodes de fluage par
exemple, les modules sécants ou tangents dépendent donc (au moins localement) de la vitesse de
sollicitation.
Ces phénomènes sont aussi susceptibles d’influencer la mesure des propriétés élastiques dans le
domaine des petites déformations. L’application d’une période de fluage permet d’obtenir des
cycles stabilisés et de s’affranchir de ces phénomènes ce qui permet de mesurer les propriétés en
petites déformations à l’aide de sollicitations cycliques.
320
Déviateur axial (kPa)
over stress
Périodes de fluage
264 Déviateur axial
240
(kPa)
256
Début du fluage
160
Déformation axiale (%)
80
0
0,1
0,2
0,3
0,4
248
Et
240
Fin du fluage
232
0,18
0,2
Emax
Déformation axiale (%)
0,22
FIGURE 4.9 : Essai triaxial de fluage sur le sable Hostun (Pc=80 kPa) [Di Benedetto et a., 2000]
Tous ces phénomènes dépendant du temps sont décrits plus en détails dans le Chapitre 6.
– 189 –
4.3. Modules maximaux
contraintes
4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L’ETAT ISOTROPE
expérimentaux
à
l’état
isotrope
de
Dans cette partie, l’étude porte sur les modules maximaux déterminés à l’état isotrope de
contraintes, à l’aide de l’appareil « T4CStaDy ». Cet état isotrope des contraintes est observé dans
l’échantillon lors de la phase de mise sous confinement des échantillons. L’étude de ces modules
doit permettre de déterminer l’influence de la pression moyenne, et l’influence de l’indice des vides
sur les modules.
Les modules maximaux sont obtenus expérimentalement par deux méthodes différentes. La
première méthode permet d’obtenir les modules « quasi-statiques » en appliquant des sollicitations
cycliques axiales et de torsion de différentes amplitudes.
Dans le cadre de notre campagne expérimentale, les modules équivalents ont été déterminés pour
différents états de contraintes à partir de sollicitations cycliques (Chapitre 2). Les différentes
amplitudes des cycles appliqués ont permis d’obtenir les modules d’Young et de cisaillement en
fonction de différents niveaux des sollicitations, qui couvrent une gamme de déformation de
quelques 10-6 jusqu’à quelques 10-4, selon les essais. Les résultats obtenus pour chaque essai
peuvent être représentés sous la forme de « courbes de dégradation » des modules en fonction de la
déformation. Par exemple, les figures 4.10a et 4.10b présentent respectivement l’évolution des
EQ
EQ
modules d’Young E zz et celle des modules de cisaillement G θz , en fonction respectivement de la
déformation axiale εaSA et de la distorsion, γSA, déterminés à différents niveaux de contraintes lors
de l’essai de type « torsion pure » T80.66.
90
a)
250
b)
200
70
Module d'Young (MPa)
Module de cisaillement (MPa)
80
60
50
40
30
Point 0 - Tau=0 kPa
Point 1 - Tau=20 kPa
20
Point 3 - Tau=0 kPa
10
Point 4 - Tau=-40 kPa
Point 5 - Tau=0 kPa
150
100
50
0
Point 0 - Tau=0 kPa
Point 3 - Tau=0 kPa
Point 4 - Tau=-40 kPa
Point 5 - Tau=0 kPa
0
1
10
100
1000
1
10
-6
100
1000
-6
Déformation axiale (10 )
Distorsion (10 )
EQ
EQ
FIGURE 4.10 : Evolution des modules d’Young E zz (a) et de cisaillement G θz (b) en fonction de la déformation
pour l’essai de type « torsion pure » sur sable dense (e=0,66) et à pression de confinement Pc=80 kPa
Ces modules présentent des valeurs limites maximales pour des déformations inférieures à 10-5.
Ces valeurs limites correspondent aux modules maximaux, Emax et Gmax, qui sont qualifiés par la
suite de modules maximaux « quasi-statiques ».
Les valeurs limites des modules à l’état isotrope de contraintes permettent de déterminer les
modules maximaux Emax,0 et Gmax,0.
– 190 –
La seconde méthode utilisée est celle qui consiste à déterminer la vitesse de propagation des ondes
dans le matériau. Les modules ainsi obtenus sont qualifiés de modules « dynamiques » Edyn et Gdyn
et sont comparés aux modules quasi-statiques.
4.3.1. Modules expérimentaux « quasi-statiques »
Pour tous les essais de la campagne expérimentale, présentés en détail au Chapitre 3, les
échantillons ont été préparés de manière identique et ne diffèrent initialement que par leur indice
des vides, e0. Ils ont ensuite été confinés pour atteindre un état de contrainte isotrope (σz=σθ=σr=P),
préalable à tout cisaillement.
Deux catégories d’essais sont distingués pour les résultats obtenus lors des mesures quasi-statiques,
compte-tenu des évolutions de l’appareil « T4CstaDy » (cf. paragraphe 3.4). La première catégorie
regroupe les essais réalisés avec le système actuel de mesure des déformations (cibles fixées sur
deux anneaux et 14 capteurs de déplacements, voir Figure 2.19). Les résultats d’essais précédents
sont aussi présentés. Ils ont été réalisés avec l’ancien système de fixation des cibles (fixées sur des
épingles piquées dans l’échantillon et seulement 12 capteurs de déplacement). Ils constituent la
deuxième catégorie.
Les modules maximaux d’Young et de cisaillement déterminés pour un état de contrainte isotrope
sont présentés dans le tableau 4.3 pour les essais les plus récents et dans le tableau 4.2 pour les plus
anciens. Pour chaque essai, l’indice des vides initial e0 est indiqué ainsi que la pression de
confinement Pc qui définit l’état de contrainte isotrope. Il faut noter que pour quelques essais, les
modules ont été mesurés à différents niveaux de pression Pc lors de la mise en confinement. Les
différents cycles réalisés alors sont restés dans le domaine des très faibles déformations (inférieures
à 2.10-5) pour ne pas perturber l’échantillon.
Essais Pc (kPa) e0
Module d’Young maximal
E0max (MPa)
Module de cisaillement maximal
G0max (MPa)
T50.65
50
0,65
232
75
K50.65
50
0,65
255
94
T50.78
50
0,78
203
50
K70.79
70
0,79
185
T80.67
0,67
0,75
0,75
0,75
0,79
306
126
217
258
235
83
39
55
65
T80.79
80
25
50
80
80
C80.81
80
0,81
264
129
C80.75
TABLEAU 4.2 : Modules d’Young et de cisaillement maximaux « quasi-statiques » à l’état isotrope de
contrainte, déterminés par des sollicitations cycliques axiales et de torsion (essais réalisés avec l’ancien
système de mesure des déformations)
– 191 –
Essais
Pc (kPa)
e0
Module d’Young maximal
E0max (Mpa)
Module de cisaillement maximal
G0max (Mpa)
C50.64
50
0,64
188
67
K50.72
50
0,72
213
51
C50.81
50
0,81
122
42
K50.82
50
0,82
184
52
C80.63
80
0,63
215
77
T80.66
80
0,66
231
79
T300.72
300
0,72
413
139
C300.74
300
0,74
377
110
K300.74
T300.90
300
55
117
155
199
248
283
300
0,74
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,90
404
164
225
238
283
292
326
254
116
53
80
83
95
107
106
94
C300.95
300
0,95
260
72
K300.99
300
0,99
258
78
C300.86
TABLEAU 4.3 : Modules d’Young et de cisaillement maximaux « quasi-statiques » à l’état isotrope de
contrainte, déterminés par des sollicitations cycliques axiales et de torsion
Différentes interpolations ont été réalisées à partir de ces résultats et des formules suivantes,
déduites de l’étude bibliographique précédente :
E0=αE Erreur !P nE
(4.17)
G0=αG Erreur !P nG
(4.18)
Les trois paramètres αE, βE et nE sont déterminés pour le module d’Young et αG, βG et nG pour le
module de cisaillement, en minimisant l’écart entre les résultats expérimentaux et l’interpolation,
par la méthode des moindres carrés.
a) Modules d’Young maximaux « quasi-statiques »
Les résultats obtenus pour le module d’Young sont présentés dans le tableau 4.4. Trois
interpolations sont proposées. La première interpolation prend uniquement en compte les anciens
essais. La deuxième interpolation est basée uniquement sur les essais réalisés au cours de cette
étude. Enfin, la troisième interpolation tient compte de tous les essais réunis, sans aucune
distinction. La moyenne et l’écart type des différences relatives Erreur !entre les valeurs
expérimentales des modules Eexp et les valeurs données par l’interpolation Ecal sont aussi reportés
dans le tableau 4.4.
– 192 –
Essais
Nombre de
mesures
Formule E0 (MPa)
(P en MPa)
Erreur moyenne
Ecart Type
10
429 Erreur !P 0,566
-0,3 %
6,2 %
18
350 Erreur !P 0,495
0,3 %
9,4 %
28
292 Erreur !P 0,384
-1,2 %
12,5 %
Anciens essais
(8)
Nouveaux essais
(13)
Essais réunis
(21)
TABLEAU 4.4 : Différentes interpolations des modules d’Young maximaux à l’état isotrope
Des différences nettes apparaissent entre les anciens essais et les essais réalisés au cours de cette
étude. Elles s’expliquent naturellement par les changements apportés au système de mesure des
déformations et l’ajout des deux nouveaux capteurs pour la mesure des déformations axiales. Il faut
donc se méfier de la formule obtenue en réunissant les résultats de la totalité des essais, qui n’a pas
de réelle signification.
Afin de traduire graphiquement l’influence de l’indice des vides, les modules d’Young maximaux
initiaux, normalisés par la pression de confinement Pc élevée à la puissance 0,495, sont comparés à
la fonction d’indice des vides f(e). Les résultats sont présentés sur la figure 4.11. La puissance
appliquée à la pression de confinement et la fonction f(e) sont celles déterminées à l’aide des essais
effectués pour cette étude. Les modules d’Young obtenus lors des essais réalisés précédemment ne
sont pas correctement modélisés par cette fonction d’indice des vides. Leur valeurs sont en effet
plus élevées, ce qui a justifié les changements opérés sur l’appareil « T4CStaDy ».
1200
1000
Ecart type: 9 %
600
E
0
0,495
max/P
800
f(e) =350
400
(2,6-e)²
1+e
Valeurs expérimentales
200
(ancien système de mesure)
0
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
Indice des vides e
FIGURE 4.11 : Modules d’Young « quasi-statiques » maximaux à l’état isotrope, normés par la pression de
confinement comparés à la fonction f(e)
Les modules normalisés par la fonction f(e) dépendant de l’indice des vides sont présentés sur la
figure 4.12 afin de montrer l’influence de la pression de confinement. A nouveau, les modules
déterminés lors des essais précédents avec l’ancien système de mesure se détachent et présentent
des valeurs plus élevées.
– 193 –
0,7
Ecart type: 9 %
0,5
0,4
0,3
P^0,495
E
0
max/f(e)
(MPa)
0,6
0,2
0,1
0
0
50
100
150
200
250
300
350
Pression de confinement (kPa)
FIGURE 4.12 : Modules d’Young « quasi-statiques » maximaux à l’état isotrope normés par la fonction f(e)
en fonction de la pression de confinement
b) Modules de cisaillement maximaux « quasi-statiques »
Une démarche identique à celle utilisée pour réaliser l’interpolation des modules d’Young
maximaux « quasi-statiques » est suivie pour les modules de cisaillement maximaux. Les essais
sont d’abord séparés suivant leur ancienneté (c’est-à-dire suivant le dispositif de mesure des
déplacements verticaux utilisé) pour présenter deux interpolations différentes. Puis, une
interpolation sur la totalité des essais est présentée.
Cette dernière est sans doute plus intéressante pour les modules de cisaillement que pour les
modules d’Young. Les résultats obtenus pour ces modules ne doivent en effet pas ou très peu être
affectés par le changement de dispositif de mesure. Contrairement aux modules d’Young, le
nombre de capteurs utilisés pour la mesure des modules de cisaillement est resté identique et la
différence entre l’ancien et le nouveau système de fixation des cibles affecte moins la mesure des
déplacements orthoradiaux. Le tableau 4.5 regroupe les résultats obtenus pour ces interpolations,
ainsi que la moyenne et l’écart type des erreurs relatives Erreur ! des modules de cisaillement
expérimentaux Gexp et des modules calculés à l’aide de l’interpolation proposée Gcal.
Essais
Anciens essais
(7)
Nouveaux essais
(13)
Essais réunis
Nombre de
mesures
Formule G0 (MPa)
(P en MPa)
Erreur moyenne
Ecart Type
9
581 Erreur !P 0,421
-0,3 %
6,3 %
18
130 Erreur !P 0,467
0,1 %
10,6 %
27
148 Erreur !P 0,454
-0,2 %
10,3 %
– 194 –
(21)
TABLEAU 4.5 : Différentes interpolations des modules de cisaillement maximaux à l’état isotrope
Les résultats des interpolations ne montrent pas une grande différence entre la formule calculée
pour les nouveaux essais seuls et celle calculée à partir de tous les essais réunis (notamment pour
l’exposant de la pression de confinement). La formule déterminée à partir des résultats des essais
plus anciens diffère principalement à cause de la faible gamme de pression qui est prise en compte.
Les figures 4.13 et 4.14 présentent l’influence de l’indice des vides et de la pression de
confinement pour ces modules de cisaillement maximaux, à l’état isotrope.
350
300
G
0
0,45
max/P
250
Ecart Type : 10%
200
150
f(e) =148
100
(2,4-e)²
1+e
50
0
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
Indice des vides e
FIGURE 4.13 : Modules de cisaillement « quasi-statiques » maximaux à l’état isotrope, normés par la
pression de confinement comparés à la fonction f(e)
Les modules normalisés par la fonction f(e) dépendant de l’indice des vides sont présentés sur la
figure 4.14 afin de montrer l’influence de la pression de confinement.
– 195 –
0,7
G0max/f(e) (MPa)
0,6
Ecart Type : 10%
0,5
0,4
0,3
P^0,45
0,2
0,1
0,0
0
50
100
150
200
250
300
350
FIGURE 4.14 : Modules de cisaillement « quasi-statiques » maximaux à l’état isotrope, normés par la
fonction f(e) et tracés en fonction de la pression de confinement
4.3.2. Modules expérimentaux « dynamiques »
Ces modules sont directement obtenus à l’aide des mesures de vitesse de propagation d’ondes. Les
expressions 4.19 et 4.20 (identiques aux expressions 2.95 et 2.96 déterminées au Chapitre 2) sont
utilisées pour lier les vitesses estimées aux modules de déformation :
Edyn= ρ Vp2 et Gdyn= ρ Vs2
(4.19 et 4.20)
L’analyse des mesures dynamiques, réalisée au Chapitre 3, a permis de montrer que l’expression
4.19 ne permet pas d’obtenir la meilleure corrélation entre les modules d’Young « quasistatiques » et les modules d’Young « dynamiques ». Cette expression a été choisie pour sa
simplicité au début de l’étude, et parce qu’elle ne requiert aucun hypothèse sur la valeur du
coefficient de Poisson. Les valeurs qu’elle fournit pour le module d’Young « dynamique » sont
supérieures de 10% environ aux valeurs du module d’Young « quasi-statique ».
D’autres expressions, déterminées au Chapitre 1, permettent d’obtenir une très bonne corrélation
entre les modules d’Young « dynamiques » et « quasi-statiques ». Elles sont obtenues en supposant
que la propagation d’ondes s’effectue dans un milieu semi-infini lors de l’analyse inverse, ce qui
nécessite de connaître la valeur du coefficient de Poisson.
Néanmoins, pour la suite de ce chapitre, les valeurs des modules d’Young « dynamiques » prises en
compte sont celles déterminées à l’aide de l’expression 4.19. Il convient de garder à l’esprit que ces
valeurs dépendent du choix du comportement pour l’analyse inverse et qu’elles peuvent être
abaissées d’environ 10% en choisissant une loi de comportement plus appropriée à l’échantillon de
l’appareil « T4CStaDy ».
Contrairement aux mesures quasi-statiques, il n’est pas nécessaire de séparer les essais plus anciens
des plus récents. La détermination des vitesses de propagation des ondes s’est toujours effectuée de
la même façon. Dans le tableau 4.6 sont regroupées les valeurs des modules de déformation
dynamiques à l’état isotrope, E0,dyn et G0,dyn .
– 196 –
Essais
P (kPa)
e0
ρ (kg/m3)
E0,dyn (MPa)
G0,dyn (MPa)
C50.64
50
0,64
1619
204
84
T50.65
50
0,65
1616
228
98
K50.65
50
0,65
1607
210
84
K50.72
50
0,72
1539
117
56
C50.81
50
0,81
1462
109
60
K50.82
0,82
0,85
0,85
0,86
1460
K50.86
50
20
50
50
1424
155
–
141
141
78
36
57
65
C50.88
50
0,88
1413
127
53
C50.85
1434
C80.63
80
0,63
1627
262
113
T80.67
80
0,67
1586
262
105
T300.72
300
150
300
150
300
0,72
0,74
0,74
0,74
0,74
1539
430
320
429
203
456
182
131
178
70
168
52
0,75
1519
203
70
55
117
155
199
248
283
50
300
50
150
300
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,90
0,90
0,92
0,92
0,92
172
237
261
288
316
354
158
313
151
232
297
71
98
107
116
130
138
50
113
55
87
133
300
0,95
295
106
50
300
300
0,98
0,98
0,99
–
289
302
48
114
103
C300.74
K300.74
K300.75
C300.86
T300.90
T300.92
C300.95
T300.98
K300.99
1525
1523
1425
1397
1379
1356
1341
1337
TABLEAU 4.6 : Modules d’Young et de cisaillement « dynamiques » à l’état isotrope
Une méthode d’interpolation identique à celle utilisée pour les modules « quasi-statiques » est mise
en oeuvre. Les résultats obtenus à l’état de contraintes isotrope initial pour les modules d’Young
« dynamiques » sont présentés puis ceux pour les modules de cisaillement « dynamiques ».
a) Modules d’Young « dynamiques »
Deux interpolations ont été réalisées à partir des résultats expérimentaux des modules d’Young
« dynamiques » à l’état isotrope de contraintes. L’une prend en compte l’ensemble des mesures
disponibles, et la seconde exclut les résultats de deux essais K50.72 et C50.81. Les expressions
obtenues sont présentées dans le tableau 4.7.
– 197 –
Essais
Tous les essais
(21)
Tous les essais exceptés
C50.81 et K50.72 (19)
Nombre de
mesures
Formule G0 (MPa)
(P en MPa)
Erreur moyenne
Ecart Type
31
387 Erreur !P 0,493
-1,5 %
12,3 %
29
364 Erreur !P 0,465
0,1 %
6,3 %
TABLEAU 4.7 : Différentes interpolations des modules d’Young dynamiques à l’état isotrope
Les résultats de deux essais (C50.81 et K50.72) donnent en effet des résultats très éloignés du
faisceau englobant les autres valeurs. L’imprécision est sans aucun doute due à la faible amplitude
des signaux reçus par les capteurs piézo-électriques lors de ces deux essais. La lecture du temps de
parcours de l’onde n’a pas pu être estimée avec suffisamment de confiance.
La figure 4.15 présente l’évolution des modules normés par la fonction f(e), qui permet d’apprécier
l’influence de la pression de confinement.
0,7
Ecart type = 6%
0,6
E0dyn/f(e) (MPa)
0,5
0,4
0,3
P^0,465
0,2
Modules d'Young dynamiques mesurés
0,1
Essais: C50.81, K50.72
0,0
0
50
100
150
200
250
300
350
FIGURE 4.15 : Modules d’Young dynamiques à l’état isotrope, normés par la fonction f(e) en fonction de la
pression de confinement
Sur la figure 4.16 sont présentés les modules d’Young dynamiques normés par la pression de
confinement comparés à la fonction d’indice des vides f(e).
– 198 –
1200
1000
Ecart type = 6%
Edyn/P0,465
800
600
400
2
f(e) =387 (2,61-e)
1+e
Modules d'Young dynamiques mesurés
200
Essais: C50.81, K50.72
0
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
Indice des vides e
FIGURE 4.16 : Modules d’Young dynamiques à l’état isotrope, normés par la pression de confinement,
comparés à la fonction d’indice des vides f(e)
Pour les deux figures 4.15 et 4.16, les courbes d’interpolation choisies excluent les résultats des
essais C50.81 et K50.72. Le fuseau de résultats pour les modules d’Young dynamiques est plus
étroit que celui des modules d’Young quasi-statiques, ce qui montre une meilleure précision des
mesures dynamiques.
b) Modules de cisaillement « dynamiques »
Pour le module de cisaillement, deux nouvelles interpolations sont proposées. La valeur obtenue
pour le module de cisaillement dynamique lors de l’essai K50.72 semble bien plus faible que la
valeur attendue. Comme pour les modules d’Young, il semble que les résultats de cet essai doivent
être mis à l’écart, au moins à l’état isotrope. Les résultats des deux interpolations (avec et sans les
résultats de l’essai K50.72) sont présentés dans le tableau 4.8. Il n’y a finalement que peu de
différences entre ces résultats puisque la correction apportée ne concerne qu’une valeur sur 33.
Néanmoins, l’écart type des erreurs relatives est tout de même plus restreint sans la valeur de
l’essai K50.72.
Essais
Tous les essais
(21)
Tous les essais
exceptés K50.72
(19)
Nombre de
mesures
Formule G0 (MPa)
(P en MPa)
Erreur moyenne
Ecart Type
33
195 Erreur !P 0,472
-0,1 %
10,1 %
32
197 Erreur !P 0,462
0,0 %
8,9 %
TABLEAU 4.8 : Interpolations des modules de cisaillement dynamiques à l’état isotrope
– 199 –
La figure 4.17 représente l’influence de la pression de confinement sur les modules de cisaillement
dynamiques à l’état isotrope. Ceux-ci sont normalisés par la fonction d’indice des vides f(e)
obtenue par la seconde interpolation (ne tenant pas compte du résultat de l’essai K50.72).
0,7
Ecart type = 9%
0,6
G0dyn/f(e) (MPa)
0,5
0,4
0,3
0,2
P^0,46
Modules de cisaillement expérimentaux
0,1
Module de cisaillement : essai K50.72
0,0
0
50
100
150
200
250
300
350
FIGURE 4.17 : Modules de cisaillement dynamiques à l’état isotrope, normés par la fonction f(e), en fonction
de la pression de confinement
La figure 4.18 présente la fonction d’indice des vides obtenue, comparée aux valeurs
expérimentales du module de cisaillement « dynamique » normé par la pression de confinement
élevée à la puissance 0,46.
450
Ecart type = 9 %
400
350
G0dyn/P0,46
300
250
200
150
2
f(e) =197 (2,38-e)
1+e
100
Modules de cisaillement expérimentaux
50
Module de cisaillement : essai K50.72
0
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
Indice des vides e
FIGURE 4.18 : Modules de cisaillement dynamiques, à l’état isotrope, normés par la pression de confinement
comparés à la fonction d’indice des vides f(e)
– 200 –
4.3.3. Comparaison avec des expressions issues de la bibliographie
Plusieurs formules ont pu être calculées à partir d’expressions classiques pour déterminer les
modules d’Young et les modules de cisaillement à l’état isotrope de contraintes, dans le domaine
des très petites déformations. Les modules « quasi-statiques » ont permis de déterminer
l’expression suivante pour le module d’Young « quasi-statique » à l’état isotrope de contraintes :
Emax,0 = 350 Erreur !P 0,495
(4.21)
Alors que les modules « dynamiques » ont permis de déterminer l’expression qui suit, pour le
module d’Young « dynamique » à l’état de contraintes isotrope :
Edyn,0 = 364 Erreur !P 0,465
(4.22)
Dans la littérature, les modules maximaux à l’état isotrope ont été exprimés pour le sable d’Hostun
par différents auteurs :
Emax,0 = 1568 Erreur !P 0,5 par Rivera [1988]
(4.23)
Emax,0 = 940 Erreur !P 0,5 par Charif [1991]
(4.24)
Emax,0 = Erreur !P 0,5 par Hicher [1996]
(4.25)
Gmax,0 = 118 Erreur !P 0,4 par Ktari [1986]
(4.26)
Gmax,0 = 89 Erreur !P 0,46 par Hameury [1995]
(4.27)
Quelques comparaisons sont proposées entre les expressions déterminées au cours de cette étude et
ces expressions tirées de la littérature. Les comparaisons sont menées pour les modules d’Young.
Hameury [1995] et Ktari [1986] donnent les expressions du module de cisaillement. Hameury
[1995] propose d’utiliser l’hypothèse d’un comportement élastique linéaire isotrope pour
déterminer le module d’Young. Il détermine une valeur du coefficient de Poisson de 0,22 à partir
de ses résultats expérimentaux. Le même calcul est réalisé pour déterminer l’expression du module
d’Young à partir de l’expression donnée par Ktari [1986] avec une valeur du coefficient de Poisson
fixée à 0,22. Dans le cas d’un comportement élastique linéaire isotrope, le module d’Young E et le
module de cisaillement G sont liés par l’expression suivante :
E = 2G(1+ν)
(4.28)
où ν est le coefficient de Poisson.
a) Influence de la pression de confinement
La figure 4.19 présente l’évolution des modules d’Young maximaux déterminés à partir de ces
différentes expressions (Equation 4.23 à 4.27) ainsi que les deux expressions déterminées lors de
notre étude, à partir des mesures quasi-statiques (Equation 4.21) et dynamiques (Equation 4.22), en
fonction de la pression de confinement. L’indice des vides a été fixé à la valeur de 0,75.
– 201 –
450
e=0,75
400
Module d'Young initial (MPa)
350
300
250
200
Charif [1991]
Rivera [1988]
150
Hicher [1996]
100
Ktari [1986]
Hameury [1995]
50
Etude présente (modules "q-s")
Etude présente (modules "dyn")
0
0
50
100
150
200
250
300
350
FIGURE 4.19 : Evolution des modules d’Young maximaux à l’état isotrope exprimés par différents auteurs
(Equations 4.23 à 4.27 et un coefficient de Poisson de 0,22) et déterminés lors de la présente étude à partir
des résultats de mesures quasi-statiques (« q-s ») et dynamiques (« dyn ») (Equations 4.36 et 4.42), en
fonction de la contrainte de confinement, pour un indice des vides de 0,75
L’expression déterminée à l’aide des résultats « dynamiques » obtenus lors de l’étude présente
donne des valeurs plus élevées que toutes les autres expressions. Lors de l’analyse des résultats
réalisée au Chapitre 3, il a été montré que l’expression utilisée pour déterminer les valeurs des
modules d’Young à partir des mesures de vitesses de propagation n’est pas appropriée. Les
résultats obtenus en choisissant des hypothèses correspondant mieux au milieu étudié lors de
l’analyse inverse permettent d’obtenir des valeurs de modules d’Young inférieures de 10% à celles
obtenues. Dans ce cas, la courbe obtenue pour la figure 4.19 entre dans le fuseau des autres
courbes.
Sur la Figure 4.19, la courbe représentant les valeurs calculées à partir de l’expression donnée par
Hicher [1996] est éloignée du fuseau. Cependant, la formule qu’il propose est une expression
simplifiée, destinée à s’appliquer à de nombreux matériaux.
La figure 4.31 compare les différentes expressions permettant de déterminer les modules
maximaux à l’état isotrope. Les modules d’Young sont représentés en fonction de l’indice des
vides pour un pression de confinement de 100 kPa.
– 202 –
400
Module d'Young maximal à l'état isotrope (MPa)
P=100 kPa
350
300
250
200
Charif[1991]
150
Rivera[1988]
Hicher [1996]
100
Ktari [1986]
Hameury [1995]
50
Etude présente (modules "q-s")
Etude présente (modules "dyn")
0
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
Indice des vides
FIGURE 4.20 : Evolution des modules d’Young maximaux à l’état isotrope exprimés par différents auteurs
(Equations 4.23 à 4.27 et un coefficient de Poisson de 0,22) et déterminés lors de la présente étude à partir
des résultats de mesures quasi-statiques (« q-s ») et dynamiques (« dyn ») (Equations 4.36 et 4.42), en
fonction de l’indice des vides, pour une pression de confinement de 100 kPa
Les différences entre les diverses expressions sont cette fois-ci plus marquée, ce qui s’explique par
le choix des auteurs concernant la fonction d’indice des vides. Les valeurs données par l’expression
déterminée à l’aide des résultats « dynamiques » obtenus lors de l’étude présente sont une nouvelle
fois plus élevées, ce qui s’explique par l’expression choisie pour lier les mesures des vitesses de
propagation aux modules d’Young.
4.3.4. Conclusion
Plusieurs expressions ont été calculées pour prendre en compte l’influence de l’indice des vides et
de la pression de confinement sur les modules d’Young et les modules de cisaillement dans le
domaine des très petites déformations, à l’état isotrope de contraintes, en se fondant sur des
formulations devenues classiques dans la littérature.
Pour les modules maximaux « quasi-statiques », il convient de faire la distinction entre les essais
réalisés au cours de cette étude, qui ont bénéficiés d’un nouveau système de mesure des
déformations axiales et de la distorsion, et des essais plus anciens. La comparaison entre les
modules d’Young pour tous ces essais montre que les améliorations apportées au montage (cf.
Chapitre 2) ont permis de réduire significativement les valeurs des modules jugées trop élevées.
– 203 –
L’interpolation des modules d’Young et de cisaillement « quasi-statiques » déterminés à l’état
isotrope de contraintes permet de déterminer l’influence de l’indice des vides e et de la pression de
confinement Pc, égale à la pression moyenne P pour cet état de contrainte. Les expressions
suivantes ont été obtenues :
Emax,0 = 350 Erreur !P 0,495 et GErreur ! = 130 Erreur !P 0,467
(4.29) et (4.30)
Pour les modules « dynamiques », cette distinction n’est pas nécessaire entre les différents essais
puisque la méthode de détermination de la vitesse de propagation des ondes est identique entre les
essais. Deux expressions ont donc été déterminées pour prendre en compte l’influence de l’indice
des vides et de la pression de confinement :
Edyn,0 = 364 Erreur !P 0,465 et GErreur ! = 197 Erreur !P 0,462
(4.31) et (4.32)
Les expressions obtenus pour les modules d’Young s’intègrent de façon très satisfaisante parmi les
résultats obtenus par d’autres auteurs, en tenant compte de l’écart sur les valeurs des modules
d’Young « dynamiques » qui s’explique par l’expression simple choisie pour calculer les modules
d’Young à partir des vitesses de propagation d’ondes.
– 204 –
4.4. Détermination du coefficient de Poisson à l’état de contrainte
isotrope
Le coefficient de Poisson peut être déterminé de deux manières différentes. La première méthode
consiste à mesurer les déformations radiales en même temps que les déformations axiales, pour un
essai triaxial classique. La seconde méthode, indirecte, nécessite de faire l’hypothèse d’un
comportement élastique linéaire isotrope. Le coefficient de Poisson est alors calculé à partir des
modules d’Young et de cisaillement. Dans le cas d’un comportement élastique linéaire isotrope, le
module d’Young E et le module de cisaillement G sont liés par l’expression suivante :
E = 2G(1+ν)
(4.33)
où ν est le coefficient de Poisson.
L’analyse des résultats expérimentaux réalisée au Chapitre 3 a permis de déterminer de façon
directe les valeurs du coefficient de Poisson à l’état isotrope. Le coefficient de Poisson peut en effet
être déterminé à l’aide des mesures de déformations radiale et orthoradiale réalisées sur l’appareil
« T4CStaDy ». Ces deux mesures permettent de déterminer les coefficients de Poisson νrz reliant la
déformation radiale à la déformation axiale et νθz liant la déformation orthoradiale et la
déformation axiale :
νrz = -Erreur ! = -Erreur ! et νθz = -Erreur ! = -Erreur !
(4.34) et (4.35)
Les valeurs moyennes obtenues sont 0,273 pour νrz et 0,206 pour νθz à l’état de contrainte isotrope
initial. L’hypothèse d’un comportement élastique linéaire isotrope implique que les deux valeurs
soient égales. Malgré les différences obtenues expérimentalement, cette hypothèse n’est pas à
exclure compte-tenu de l’incertitude sur la mesure de la déformation radiale, dont dépend νrz et νθz.
L’analyse des résultats a en outre montré que cette hypothèse de comportement est compatible avec
EQ
EQ
EQ
EQ
les valeurs mesurées pour les autres termes du tenseur (M rγ , M θγ , M zγ et M γz qui peuvent être
considérés comme nuls à l’état de contrainte isotrope).
Dans les paragraphes suivants, l’hypothèse d’un comportement élastique linéaire isotrope est
admise, assez raisonnablement d’après les remarques précédentes. La seconde méthode de calcul
est alors utilisée pour déterminer la valeur du coefficient de Poisson à l’état isotrope de contraintes,
à partir des modules d’Young et des modules de cisaillement (Equation 4.33). Les modules « quasistatiques » sont utilisés tout d’abord et ensuite, les modules « dynamiques ».
4.4.1. Coefficient de Poisson calculé à partir des modules « quasi-statiques »
Dans le cas d’un comportement parfaitement élastique isotrope, le coefficient de Poisson ν se
déduit du module d’Young E et du module de cisaillement G par la formule :
ν = Erreur !– 1
– 205 –
(4.36)
L’application directe de l’expression 4.36 pour chaque essai pris séparément ne permet pas
d’obtenir des valeurs réalistes pour le coefficient de Poisson. Un rapide calcul d’erreur permet
d’obtenir la relation entre l’erreur relative du coefficient de Poisson (δν/ν) due aux erreurs relatives
des modules (δE/E et δG/G) :
δν
= Erreur !Erreur !≈ 6Erreur !
ν
(4.37)
Dans le cas attendu où le coefficient de Poisson est égal à 0,2, l’erreur commise sur le coefficient
de Poisson est égale à 6 fois la somme des erreurs sur chacun des modules. Pour une erreur
acceptable de l’ordre de 10% sur les modules, il est possible d’avoir une erreur de 120% sur le
coefficient de Poisson.
Cependant, les deux expressions 4.29 pour le module d’Young et 4.30 pour le module de
cisaillement peuvent être utilisées pour évaluer le coefficient de Poisson νqs. L’expression obtenue
fait intervenir l’indice des vides e et la pression de confinement (égale à la pression moyenne) P :
νqs = 1,35 Erreur !P 0,028 - 1
(4.38)
Dans ce cas, les valeurs du coefficient de Poisson s’échelonnent en fonction de l’indice des vides
autour d’une courbe moyenne croissant de 0,40 à 0,50 pour des pressions de confinement de 50 kPa
à 300 kPa. Les valeurs obtenues sont trop élevées par rapport à la valeur attendue proche de 0,20.
Cette observation confirme le fait que les modules de cisaillement mesurés sont sous-évalués.
Le calcul précédent donne une expression du coefficient de Poisson, dépendant de l’indice des
vides et de la pression moyenne, puisque les fonctions d’indice des vides et les exposants de la
pression moyenne sont différents pour les modules d’Young et les modules de cisaillement. Il est
possible de supposer le coefficient de Poisson constant, pour obtenir une unique fonction d’indice
des vides f(e) et une unique valeur n pour la puissance de la pression moyenne P. Dans ce cas, une
nouvelle interpolation doit être réalisée.
L’interpolation est réalisée sur les valeurs du module d’Young :
d’une part les valeurs expérimentales des modules d’Young « quasi-statiques » mesurés à l’état
isotrope,
d’autre part les valeurs des modules d’Young calculés à partir des modules de cisaillement
« quasi-statiques » en fonction du coefficient de Poisson νqs (Equation 4.33).
Le coefficient de Poisson νqs est alors ajusté pour déterminer la meilleure interpolation sur
l’ensemble des valeurs du module d’Young.
La figure 4.21 représente l’évolution des modules d’Young en fonction de l’indice des vides et en
fonction de la pression de confinement pour l’interpolation retenue.
La valeur du coefficient de Poisson ainsi estimé est 0,453 et l’expression obtenue pour les modules
d’Young et les modules de cisaillement « quasi-statiques » est la suivante :
Emax,0 = 387 Erreur !P 0,468
Gmax,0 =
Emax,0
= 133 Erreur !P 0,468
2(1+νqs)
– 206 –
(4.39)
(4.40)
νqs = 0,453
(4.41)
1000
0,7
Ecart Type : 10%
900
0,6
800
Ecart Type : 10%
(MPa)
0,5
600
=387
400
(2,48-e)²
1+e
max/f(e)
500
0,3
P^0,468
0
f(e)
0,4
E
E
0
0,468
max/P
700
300
Valeurs expérimentales E
200
Valeurs expérimentales E
0,1
E calculés à partir des valeurs
expérimentales de G
ν = 0,453
E calculés à partir des valeurs
expérimentales de G
100
0,2
0
0,0
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
0
50
Indice des vides e
100
150
200
250
300
350
FIGURE 4.21 : Evolution des modules d’Young à l’état isotrope, mesurés d’une part et calculés à partir des
modules de cisaillement expérimentaux d’autre part, comparée à l’évolution donnée par l’expression 4.36
La valeur de 0,453 obtenue pour le coefficient de Poisson par cette méthode d’interpolation permet
d’estimer l’erreur systématique commise sur le module de cisaillement. La valeur attendue du
coefficient de Poisson se situant autour de 0,20, et en supposant les valeurs du module d’Young
correctes, le module de cisaillement mesuré est environ 20% inférieur aux valeurs attendues.
4.4.2. Coefficient de Poisson calculé à partir des modules « dynamiques »
Dans le cadre de l’hypothèse d’un comportement élastique isotrope, les modules d’Young et de
cisaillement sont liés par l’intermédiaire du coefficient de Poisson (Equation 4.36).
En supposant qu’il demeure indépendant de la pression de confinement et de l’indice des vides, il
est possible d’évaluer le coefficient de Poisson. Pour cela, la méthode utilisée demeure identique à
celle utilisée pour les modules « quasi-statiques » ; il s’agit d’obtenir la meilleure interpolation des
modules d’Young (ceux mesurés expérimentalement ainsi que ceux calculés à partir des modules
de cisaillement) en déterminant la meilleure valeur possible pour le coefficient de Poisson.
L’expression ainsi obtenue pour les modules d’Young et les modules de cisaillement
« dynamiques » à l’état isotrope est la suivante :
Edyn,0 = 417 Erreur !P 0,462
(4.42)
E0,dyn
= 168 Erreur !P 0,462
G ,0 =
2(1+νqs)
(4.43)
νdyn = 0,238
(4.44)
dyn
Le coefficient de Poisson déterminé a la valeur de 0,238. Cette valeur semble bien meilleure que
celle obtenue à partir des modules expérimentaux « quasi-statiques ». Elle se situe en effet proche
des valeurs données dans la littérature et de la valeur 0,2de νθz.
– 207 –
Afin de visualiser la qualité de l’interpolation, les valeurs expérimentales des modules d’Young
« dynamiques » et celles calculées à partir des modules de cisaillement expérimentaux sont
comparées à la fonction d’indice des vides et à la pression de confinement à la puissance 0,46 sur la
figure 4.22.
0,7
Ecart type = 8%
1000
800
0,5
600
0,4
E0dyn/f(e)
E0dyn/P0,48
0,6
400
Ecart type = 8%
0,3
2
f(e) =417 (2,50-e)
1+e
E mesurés
200
0,2
P^0,46
E mesurés
0,1
E calculés à partir des G mesurés
E calculés à partir des G mesurés
0,0
0
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Indice des vides e
1
1,1
0
50
100
150
200
250
300
350
FIGURE 4.22 : Evolution des modules d’Young dynamiques, à l‘état isotrope, mesurés et calculés à partir des
modules de cisaillement dynamiques expérimentaux, comparée à l’évolution donnée par l’expression 4.42
Les deux valeurs du coefficient de Poisson, à l’état isotrope de contraintes, déterminés à partir des
modules « quasi-statiques » et des modules « dynamiques » sont très différentes. L’explication tient
au fait que le module de cisaillement « quasi-statique » est sous-estimé. Néanmoins, l’évaluation du
coefficient de Poisson par ce calcul permet d’obtenir des fonctions d’indices des vides et des
exposants pour la pression de confinement très proches pour les modules « dynamiques » et
« quasi-statiques » :
Emax,0 = 387 Erreur !P 0,468 et EErreur ! = 417 Erreur !P 0,462
– 208 –
4.5 EVOLUTION DES MODULES EN FONCTION DE LA CONTRAINTE
4.5. Evolution des modules maximaux en fonction de l’état de
contrainte
La pression moyenne a souvent été considérée comme étant le paramètre à prendre en compte pour
modéliser les modules d’Young ou de cisaillement. Cependant, comme le montrent les mesures du
module d’Young lors de l’essai C300.86, la pression moyenne n’est pas suffisante pour expliquer
certaines évolutions. La figure 4.32 présente les valeurs obtenues pour le module d’Young maximal
en fonction de la pression moyenne. Jusqu’à une pression de 283 kPa, l’échantillon a été soumis à
une compression isotrope (augmentation de la pression de confinement). A partir de cet état de
contrainte isotrope, un essai de compression a commencé durant lequel seul le déviateur axial a
augmenté. Pour cette phase de l’essai, la pression moyenne n’est plus un paramètre pertinent pour
modéliser l’évolution du module d’Young maximal.
500
Emax dynamiques (Compression isotrope)
450
Emax quasi-statique (compression isotrope)
Emax dynamiques (Déviateur axial appliqué)
400
Module d'Young maximal (Mpa)
Emax quasi-statique (Déviateur axial appliqué)
350
E0 Modèle
300
250
200
150
100
Application d'un
déviateur axial
Compression isotrope
50
Pc=283 kPa
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Pression moyenne (kPa)
FIGURE 4.23 : Evolution du module d’Young maximal lors de l’essai C300.86 (mesures dynamiques et quasistatiques) comparée au modèle obtenu pour le module d’Young maximal à l’état isotrope
4.5.1. Etat de contraintes sans rotation d’axes principaux
Les essais de type « compression » qui ont été réalisés doivent permettre d’étudier l’influence de la
contrainte axiale σz sur l’évolution des modules de déformation. Au cours de ces essais, les
contraintes horizontales demeurent constantes, égales à la pression de confinement Pc appliquée en
début d’essai. Les modules d’Young Ezz et de cisaillement Gθz sont déterminés tout au long de
l’essai pour différentes valeurs du déviateur axial.
– 209 –
a) Evolution du module d’Young en fonction de la contrainte axiale
Les différentes études présentées auparavant montrent que le module d’Young déterminé dans une
direction ne semble influencé que par la valeur de la contrainte dans cette direction (pour des états
de contrainte sans rotation des axes). Une fonction puissance est utilisée pour relier les deux
paramètres. Par conséquent, il convient de déterminer l’influence de la contrainte verticale sur les
modules d’Young déterminés durant cette étude.
Afin de s’affranchir de l’influence des indices des vides (dont les variations peuvent être
considérées comme négligeables lors de l’essai), différents selon les essais, les modules d’Young
sont normés par la valeur du module d’Young déterminé à l’état initial Emax,0. Cet état initial est
défini par un état de contrainte isotrope avec une contrainte verticale :
σz0 = σr = σθ = Pc
(4.45)
La figure 4.24 présente l’évolution des modules d’Young maximaux déterminés au cours des essais
de compression en fonction de la contrainte verticale. Chacun de ces deux paramètres est normé par
sa valeur à l’état initial et le logarithme des valeurs normées est considéré. Certaines valeurs des
essais de type « torsion à K0 » sont aussi représentées. Pour ces essais, les modules d’Young
utilisés sont ceux mesurés durant la phase de consolidation anisotrope (qui correspond à un essai de
type « compression ») qui précède la phase du chargement en torsion. A la fin de la consolidation
la contrainte verticale vaut deux fois la pression de confinement (sur la figure 4.24, les abscisses de
ces points ne dépassent pas log(2)≈0,30). Sur la figure 4.24 apparaît un point pour lequel le module
d’Young semble plus élevé que le module d’Young à l’état initial, alors que la valeur de la
contrainte axiale est égale à la valeur de la contrainte axiale initiale. Ce point appartient à l’essai
C50.81. Il s’agit en fait d’un module déterminé à un état de contrainte isotrope (équivalent à l’état
de contrainte initial) mais mesuré après un chargement puis un déchargement axial. Le module
obtenu alors n’est pas égal au module déterminé à l’état initial.
Logarithme du rapport des modules
max max
d'Young E /E 0
0,5
1
C50.64
0,492
C50.81
0,4
C50.88
C80.63
0,3
C80.75
C300.74
C300.86
0,2
C300.95
K300.74
0,1
K300.99
K50.65
44 points
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Logarithme du rapport des contraintes σz/σz0
FIGURE 4.24 : Evolution du module d’Young « quasi-statique » en fonction de la contrainte verticale au
cours des essais de type « compression » et de type « torsion à K0 » avant la rotation des axes principaux –
Le module Emax et la contrainte axiale σz sont normés par leur valeur respective, Emax0 et σz0, à l’état isotrope
initial et le logarithme décimal est considéré
– 210 –
En considérant tous les essais sans distinction, une relation linéaire est proposée entre le logarithme
du module d’Young normé et le logarithme de la contrainte axiale normée. Cette relation conduit à
l’expression suivante qui donne l’évolution du module d’Young maximal « quasi-statique » en
fonction de la contrainte verticale appliquée :
Emax = E
max
, 0 Erreur !
(4.46)
max
Rapport des modules d'Young Emax/Emax0
avec E , 0 la valeur du module d’Young maximal quasi-statique déterminée pour une contrainte
axiale de σz0 correspondant à un état de contraintes isotrope.
Cette relation est représentée sur la figure 4.25 avec tous les points de mesure et l’écart type des
erreurs relatives calculé à 8%.
3,0
Ecart type : 8%
2,5
2,0
1,5
Emax = σz
max
σz0
E0
0,492
1,0
0,5
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
Rapport des contraintes σz/σz0
FIGURE 4.25 : Evolution du module d’Young maximal « quasi-statique » en fonction de la contrainte
verticale et interpolation proposée
La même démarche est adoptée pour les modules d’Young « dynamiques ». Les essais sont
différents compte-tenu de la disponibilité des mesures de propagation d’ondes. La figure 4.26
présente donc l’évolution du module d’Young « dynamique » normé par la valeur mesurée à l’état
isotrope initial en fonction de la contrainte verticale, normée aussi par sa valeur initiale. Des
mesures réalisées lors des essais de type « compression » et lors des essais de type « torsion à K0 »
sont utilisées. Ces mesures ont été réalisées en des points pour lesquels l’échantillon n’a subi qu’un
essai de compression axiale, ce qui est le cas pour tous les points des essais de compression et pour
les points de la phase initiale de consolidation anisotrope des essais de « torsion à K0 ».
Une interpolation linéaire dans les axes logarithmiques est réalisée et permet de déterminer
l’évolution des modules d’Young « dynamiques » en fonction de la contrainte axiale :
dyn
Edyn = E 0 Erreur !
– 211 –
(4.47)
dyn
avec E 0 la valeur du module d’Young « dynamique » déterminée pour une contrainte axiale de σz0
pour un état de contraintes isotrope.
dyn dyn
d'Young E /E 0
0,5
1
C50.64
0,469
C50.88
0,4
C80.63
C300.74
0,3
C300.86
C300.95
0,2
K300.74
K300.99
0,1
K50.65
42 points
K50.82
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
FIGURE 4.26 : Evolution des modules d’Young « dynamiques » en fonction de la contrainte verticale au cours
des essais de type « compression » et de type « torsion à K0 » avant la rotation des axes principaux –
Les modules Edyn et les contraintes σz sont normés par leur valeur respective, Edyn0 et σz0, à l’état isotrope
initial et le logarithme décimal est considéré
Afin de mieux rendre compte de l’évolution des modules d’Young « dynamiques » en fonction de
la contrainte axiale , la relation obtenue est tracée sur la figure 4.27 dans des axes non
logarithmiques en superposant les différentes mesures disponibles. La valeur de l’écart type des
différences relatives entre les mesures et l’interpolation est calculée.
3,0
Rapport des modules d'Young E
dyn
/E
dyn
0
Ecart type : 6,5%
2,5
2,0
1,5
dyn
E
= σz
dyn
σz0
E0
0,469
1,0
0,5
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
FIGURE 4.27 : Evolution du module d’Young « dynamique » en fonction de la contrainte verticale et
interpolation proposée
– 212 –
b) Evolution du module
contrainte axiale
de
cisaillement
en
fonction
de
la
Le module de cisaillement est sensé dépendre de la contrainte axiale par l’intermédiaire d’une
fonction puissance. Comme pour les modules d’Young, les modules de cisaillement « quasistatiques » sont d’abord traités puis les modules de cisaillement « dynamiques ». Les mesures
réalisées lors des essais de compression sont utilisées, ainsi que les mesures réalisées lors de la
phase de consolidation anisotrope des essais de type « torsion à K0 ». Cette phase correspond tout
simplement à un essai de compression.
Afin de s’affranchir des différences de pression de confinement et d’indice des vides entre essais,
les modules de cisaillement sont normés pour chaque essai par la valeur mesurée à l’état isotrope
initial.
max
max
de cisaillement G /G 0
La figure 4.28 présente l’évolution des modules de cisaillement normés en fonction de la contrainte
verticale, normée elle aussi par sa valeur à l’état isotrope, dans des axes logarithmiques.
0,4
C50.64
C50.88
C80.63
C80.75
C300.74
C300.86
C300.95
K300.74
K300.99
K50.65
K50.72
K50.82
0,3
1
0,239
0,2
0,1
0,0
-0,1
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
FIGURE 4.28 : Evolution du module de cisaillement « quasi-statique » en fonction de la contrainte verticale
au cours des essais de type « compression » – Le module Gmax et la contrainte axiale σz sont normés par leur
max
valeur respective , G , 0 et σz0 , à l’état isotrope initial et le logarithme décimal est considéré
Une régression linéaire est proposée dans ces axes logarithmiques. Cette régression conduit à
l’expression suivante qui donne l’évolution du module de cisaillement maximal « quasi-statique »
en fonction de la contrainte verticale appliquée :
max
Gmax = G
, 0 Erreur !
max
(4.48)
avec G , 0 la valeur du module de cisaillement maximal « quasi-statique » déterminée pour une
contrainte axiale de σz0 correspondant à un état de contraintes isotrope.
Cette relation est représentée sur la figure 4.29 avec tous les points de mesure et l’écart type des
erreurs relatives calculé à 7% environ.
– 213 –
1,8
Rapport des modules de cisaillement
Gmax/Gmax0
Ecart type : 7,4%
1,6
1,4
1,2
1,0
max
G
= σz
max
σz0
G0
0,8
0,283
0,6
0,4
0,2
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
FIGURE 4.29 : Evolution du module de cisaillement maximal « quasi-statique » Gmax en fonction de la
contrainte verticale σz et interpolation proposée
La même démarche est adoptée pour les modules de cisaillement « dynamiques ». La figure 4.30
présente donc l’évolution du module de cisaillement « dynamique » normé par la valeur mesurée à
l’état isotrope initial en fonction de la contrainte verticale, normée aussi par sa valeur initiale. Une
interpolation linéaire dans les axes logarithmiques est réalisée et permet de déterminer l’évolution
des modules d’Young « dynamiques » en fonction de la contrainte axiale :
dyn
Gdyn = G ,0 Erreur !
(4.49)
dyn
max
max
de cisaillement G /G 0
avec G ,0 la valeur du module de cisaillement « dynamique » déterminée pour une contrainte
axiale de σz0 correspondant à un état de contraintes isotrope.
0,4
C50.64
C50.88
0,3
C80.63
1
0,283
C300.74
C300.86
0,2
C300.95
K300.74
0,1
K300.99
K50.65
0,0
K50.72
K50.82
-0,1
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
FIGURE 4.30 : Evolution des modules de cisaillement « dynamiques » en fonction de la contrainte verticale
au cours des essais de type « compression » – Les modules Gdyn et les contraintes σz sont normés par leur
dyn
valeur respective, G ,0 et σz0, à l’état isotrope initial et le logarithme décimal est considéré
– 214 –
La relation obtenue est tracée sur la figure 4.31 dans des axes non logarithmiques en superposant
les différentes mesures expérimentales. La valeur de l’écart type des différences relatives entre les
mesures et l’interpolation est estimée à environ 7%.
2,0
Ecart type : 7,4%
dyn
dyn
G /G 0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
max
G
= σz
max
σz0
G0
0,8
0,283
0,6
0,4
0,2
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
FIGURE 4.31 : Evolution du module de cisaillement « dynamique » en fonction de la contrainte verticale et
interpolation proposée
c) Conclusion
Les relations données dans la littérature pour traduire l’influence de la contrainte verticale sur les
modules d’Young E ou de cisaillement G ont été utilisées :
E = E0 Erreur ! et G = G0 Erreur !
(4.50) et (4.51)
avec E0 et G0 des valeurs références du module d’Young et de cisaillement, choisies dans cette
étude à l’état isotrope initial.
Les exposants ont été déterminés à partir des mesures quasi-statiques et dynamiques, et leurs
valeurs sont regroupées dans le tableau 4.9. Il semble que ces formules puissent traduire l’évolution
des modules observée lors de cette étude.
Modules maximaux « quasi-statiques »
Emax
Gmax
0,492
0,239
Modules « dynamiques »
Edyn
Gdyn
0,469
0,283
TABLEAU 4.9 : Valeur des exposants de la contrainte axiale déterminés pour chacun des modules
– 215 –
4.5.2. Etat de contraintes avec rotation des axes principaux
Durant les essais de type « torsion pure » et les « essais de type « torsion à K0 » (équivalent à un
essai de torsion partir d’un état anisotrope de contrainte pour lequel le rapport des contraintes
horizontales σr=σθ sur la contrainte verticale σz est égal à K0=0,5), une rotation des axes principaux
des contraintes est observée.
Pour les essais de type « torsion pure », dès l’application d’une contrainte de cisaillement τ, les
directions principales de contraintes qui coïncident à l’état isotrope avec e^θ et e^z, opèrent une
rotation de 45°.
Pour les essais de type « torsion à K0 », l’application d’une contrainte de cisaillement τ, crée une
rotation continue à partir de 0° des axes de contraintes qui coïncident avec e^θ et e^z. La rotation des
axes principaux est continue à partir de 0° et augmente avec l’augmentation de τ.
Dans la suite, les modules maximaux « quasi-statiques » et « dynamiques » sont étudiés durant ces
essais.
a) Essais de type « torsion pure »
La figure 4.32 présente l’évolution des modules maximaux « quasi-statiques », Emax et Gmax, durant
les essai de type « torsion pure ». Pour chaque essai, les modules sont normés par leur valeur
max
max
respective, E ,0 et G ,0, déterminée à l’état de contrainte isotrope. L’évolution des modules est
représentée en fonction du rapport des contraintes τ/Pc, représentatif de l’évolution de la contrainte
de cisaillement au cours des essais.
1,2
max
max
G /G 0
max
/E
max
0
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
Essai T80.66
Essai T80.67
Essai T50.65
Essai T50.78
Essai T300.72
Essai T80.79
Essai T300.90
0,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
Rapport des contraintes τ/Pc
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
Essai T80.66
Essai T80.67
Essai T50.65
Essai T50.78
Essai T300.72
Essai T80.79
Essai T300.90
0,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
FIGURE 4.32 : Evolution des module maximaux « quasi-statiques » au cours des essais de torsion – Les
max
max
modules Emax et Gmax sont normés par leur valeur E ,0 et G ,0 à l’état de contrainte isotrope
Les modules semblent assez nettement évoluer en fonction de la contrainte de cisaillement : plus la
contrainte de cisaillement augmente (en valeur absolue) plus les modules diminuent. La
modélisation simple proposée, qui fait dépendre ne permet donc pas de modéliser correctement ce
phénomène.
– 216 –
La figure 4.33 propose une représentation identique pour les modules « dynamiques ». L’évolution
des modules en fonction de la contrainte de cisaillement τ est similaire à celle observée pour les
modules maximaux « quasi-statiques ».
1,2
dyn
dyn
G /G 0
dyn
/E
dyn
0
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,8
-0,6
Essai T80.67
Essai T50.65
Essai T300.72
Essai T300.90
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,8
0,8
-0,6
Essai T80.67
Essai T50.65
Essai T300.72
Essai T300.90
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
FIGURE 4.33 : Evolution des module « dynamiques » au cours des essais de torsion – Les modules Edyn et Gdyn
dyn
dyn
sont normés par leur valeur E ,0 et G ,0 à l’état de contrainte isotrope
b) Essais de type « torsion à K0 »
La figure 4.34 présente l’évolution des modules maximaux « quasi-statiques ». Pour chaque essai
les modules sont normés par leur valeur respective déterminée à l’état de contraintes défini par une
contrainte axiale égale au double de la contrainte de confinement (c’est-à-dire à la fin de la
compression axiale qui suit la compression isotrope). Les axes principaux de contrainte coïncident
encore avec les axes du laboratoire. La contrainte de cisaillement est appliquée à partir de cet état
de contraintes. Une rotation des axes principaux continue s’ensuit en partant de 0°.
1,4
max
max
G /G (τ=0kPa)
Rapport des modules d'Young
max max
E /E (τ=0kPa)
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
Essai K50.65
Essai K50.72
Essai K50.82
Essai K75.65
Essai K70.79
Essai K300.99
Essai K300.74
0,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
Essai K50.65
Essai K50.72
Essai K50.82
Essai K75.65
Essai K70.79
Essai K300.99
Essai K300.74
0,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
FIGURE 4.34 : Evolution des modules maximaux « quasi-statiques » au cours des essais de torsion – Les
modules Emax et Gmax sont normés par leur valeur Emax(τ=0 kPa) et Gmax(τ=0 kPa) à l’état de contrainte
atteint à la fin de la consolidation anisotrope (σr=σθ=Pc, σz=2Pc, τ=0)
De la même façon, l’évolution des modules dynamiques est représentée sur la figure 4.35.
– 217 –
1,4
max
max
G /G (τ=0kPa)
Rapport des modules d'Young
max max
E /E (τ=0kPa)
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
Essai K50.65
Essai K50.72
Essai K50.82
Essai K75.65
Essai K70.79
Essai K300.99
Essai K300.74
0,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
Essai K50.65
Essai K50.72
Essai K50.82
Essai K75.65
Essai K70.79
Essai K300.99
Essai K300.74
0,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
FIGURE 4.35 : Evolution des modules « dynamiques » au cours des essais de torsion – Les modules Emax et
Gmax sont normés par leur valeur Emax(τ=0 kPa) et Gmax(τ=0 kPa) à l’état de contrainte atteint à la fin de la
consolidation anisotrope (σr=σθ=Pc, σz=2Pc, τ=0)
L’évolution des modules en fonction de la contrainte de cisaillement est moins marquée mais
demeure perceptible.
Les modèles développés pour des sollicitations sans rotations des axes, à partir d’essais triaxiaux ne
sont pas capables de modéliser l’évolution des modules en fonction de la contrainte de cisaillement.
Ainsi, l’hypothèse d’un comportement élastique linéaire isotrope ne permet pas de prendre en
compte l’anisotropie induite par les rotations d’axes principaux.
– 218 –
4.6. Conclusion
Le comportement en petites déformations a été étudié au travers de deux paramètres classiques qui
sont le module d’Young et le module de cisaillement.
Deux méthodes sont utilisées pour déterminer ces modules. Des sollicitations cycliques de faibles
amplitudes appliquées par la presse à l’échantillon permettent de déterminer les modules « quasistatiques », Ezz et Gθz , pour lesquels des valeurs maximales sont relevées dans le domaine des très
, à l’état de contrainte isotrope. Des essais de propagation
petites déformations, Emax,0 et Gmax
0
d’ondes permettent de déterminer les modules « dynamiques », Edyn et Gdyn, par analyse inverse.
L’étude des modules maximaux « quasi-statiques » et des modules « dynamiques » à l’état isotrope
permet de déterminer l’influence de l’indice des vides et de la pression de confinement (égale à la
pression moyenne à l’état isotrope).
A partir des résultats expérimentaux, deux expressions 4.29 et 4.30 sont proposées pour les
modules maximaux « quasi-statiques » :
Emax,0 = 350 Erreur !P 0,495 et GErreur ! =148 Erreur !P 0,454
Pour les modules dynamiques, deux expressions 4.31 et 4.32 sont proposées :
0,465
et GErreur !=197 Erreur !P 0,462
Edyn
0 = 364 Erreur !P
Les expressions présentent des coefficients très proches pour la fonction d’indice des vides et pour
l’exposant de la pression moyenne, qui peuvent être utiliser pour estimer les modules à l’état
isotrope de contrainte.
Dans le cas d’un comportement élastique isotrope, il existe une relation entre les deux modules qui
fait intervenir le coefficient de Poisson ν :
E = 2G(1+ν)
Compte tenu des résultats présentés au Chapitre 3, pour les termes de la matrice MEQ à l’état
isotrope de contrainte, l’hypothèse semble raisonnable pour une majorité d’essais. Pour quelques
essais, cette hypothèse peut sembler en contradiction avec certains résultats expérimentaux,
notamment lorsque les déformations radiale et orthoradiale, qui sont supposées égales pour cet état
de contrainte isotrope, sont comparées. Toutefois, des imprécisions sur la mesure de la déformation
radiale ne sont pas exclues pour expliquer ces différences, plutôt qu’un réel comportement
anisotrope du matériau.
Dans le cadre de l’hypothèse d’un comportement linéaire isotrope, et en supposant le coefficient de
Poisson ν constant, il est possible de déterminer une unique fonction d’indice des vides et un
unique exposant pour la contrainte de confinement, dont dépendent les modules. L’expression 4.39
obtenue pour le module d’Young « quasi-statique » est :
Emax,0 = 387 Erreur !P 0,468 avec un coefficient de Poisson ν=0,453
L’expression 4.42 du module d’Young « dynamique » obtenue est :
– 219 –
0,462
Edyn
avec un coefficient de Poisson ν=0,238
0 = 417 Erreur !P
La détermination de ces coefficients Poisson permet de se rendre compte que le module de
cisaillement quasi-statique est sous-évalué. Le Chapitre 3 a montré en effet que la corrélation entre
les modules d’Young « dynamiques » et « quasi-statiques » est bonne. Le faible écart (moins de
10%) s’expliquant par le choix du comportement du matériau pour l’analyse inverse des
propagations d’onde. Par contre, la différence entre les modules de cisaillement « quasi-statiques »
et « dynamiques » est plus importante. Le calcul des coefficients Poisson à partir des mesures
« dynamiques » se rapproche de la valeur 0,206 pour le coefficient de Poisson νθz, déterminé
directement par la mesure des déformations orthoradiales, et des valeurs données par la littérature
autour de 0,2. Le coefficient de Poisson obtenu à partir des modules d’Young et de cisaillement
« quasi-statiques » est, par conséquent, trop élevé, du fait que les modules de cisaillement « quasistatiques » sont trop faibles d’environ 20% en moyenne.
Une amélioration de l’appareillage est donc envisagée. La mesure de la distorsion n’étant effectuée
que d’un côté de l’échantillon, l’ajout de deux capteurs de déplacement s’avère nécessaire pour
réaliser une mesure supplémentaire de la distorsion, en un point diamétralement opposé. Cette
mesure doit permettre de ne pas prendre en compte des déplacements d’ensemble de l’échantillon
qui peuvent fausser les mesures actuelles de la distorsion.
Classiquement, les modules d’Young ou de cisaillement sont mesurés pour des états de contrainte
appliqués à l’aide d’appareils triaxiaux (ou équivalents) et par conséquent sans rotation des axes
principaux. Dans ce chapitre, la modélisation qui est proposée ne s’applique qu’à des états de
contrainte sans rotation des axes principaux et ne permet pas de modéliser les observations
réalisées lors des essais avec rotation des axes principaux. Le chapitre suivant propose un modèle
plus évolué pour tenir compte de l’anisotropie induite par l’état de contraintes, pour des
sollicitations avec ou sans rotation des axes principaux de contraintes.
– 220 –

4. Comportement « élastique » : paramètres E,G

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