1 Présentation générale 2 Exploration des données financi`eres

Université Paris Dauphine-M1MMD
2011-2012
Gestion de Portefeuilles
Projet : partie 2
1
Présentation générale
2
Exploration des données financières
Le but de cette première section est de mettre en oeuvre des méthodes statistiques de
base pour explorer des données financières. Le choix du logiciel n’est pas imposé. Il est
recommandé de recourir à ’R’ ou à ’Scilab’ L’énoncé est accompagné d’indications sur les
commandes ’R’ qui peuvent être utilisées pour répondre aux questions.
2.1
Téléchargement et préparation des données
Le site Yahoo finance propose un ensemble de données et d’analyses financières dont
l’historique des cours d’indices et de titres est téléchargeable à l’adresse suivante :
http://fr.finance.yahoo.com/
1. Télécharger (sous format fichier.csv) les données suivantes :
– les cours journaliers du CAC40 sur les dix dernières années,
– les cours mensules du CAC40 entre janvier 2004 et octobre 2010,
– les cours mensuels entre janvier 2004 et octobre 2010 de dix titres entrant dans la
composition du CAC40 :
S 1 := ACCOR (AC.PA), S 2 := AXA (CS.PA) , S 3 := BNP Paribas (BNP.PA),
S 4 := Crédit Agricole (FR0010729590.PA), S 5 := Danone (BN.PA), S 6 := Michelin
(ML.PA), S 7 := Renault (RNO.PA), S 8 := Schneider electric (SU.PA), S 9 := Total
(FP.PA), S 10 := Veolia (VIE.PA).
Entre parenthèses est indiqué le code du titre correspondant, sur Yahoo finance.
Vous récupérez ainsi 12 fichiers *.csv.
Les données enregistrées sous le format .csv dans un fichier nom fichier.csv peuvent être
importées sur ’R’ par la commande
nom fichier <- read.csv("nom fichier.csv")
2. On s’interesse aux cours de fermeture ajustés. Créer les vecteurs :
– cac40 cd qui contient les cours de fermeture journaliers du CAC40, en ordre chronologique croissant.
1
– cac40 dlogr qui contient les log-rentabilités journalières du CAC40, en ordre chronologique croissant.
– cac40 mr qui contient les rentabilités simples mensuelles du CAC40, en ordre chronologique croissant.
– pour chaque titre nom titre, créer le vecteur nom titre mr qui contient les rentabilités simples mensuelles de nom titre, en ordre chronologique croissant.
On rappelle que sous ’R’ la commande
nom fichier c <- nom fichier $c
permet de stocker le champ c du fichier nom fichier dans le fichier nom fichier c.
2.2
Graphiques à partir des données du CAC40
1. Représentez par un graphique l’évolution chronologiques des cours de fermeture, des
log-rentabilité journalières et des rentabilités simples mensuelles.
La commande permettant de représenter graphiquement le vecteur nom vecteur est
plot(cac40 cd, type = "l")
2. Représentez l’historgramme des log-rentabilités journalières et celui des rentabilités mensuelles. Comparez ces historgrammes avec une loi normale.
L’histogramme des valeurs prises par le vecteur nom vecteur est donné par la commande
hist(cac40 dlogr, prob=T)
Pour afficher la densité d’une loi normale de moyenne m et de variance σ 2 sur ’R’ on peut
utiliser :
x <- seq(-4,4, length = 100)
y <- dnorm(x,mu,sigma)
lines(x,y)
3. Comparez graphiquement chacune des séries de données avec la distribution normale
en effectuant un quantile-quantile plot. Commentez les graphiques obtenus. La commande
permettant de tracer le graphique quantile-quantile du vecteur nom vecteur est
qqnorm(nom vecteur)
2.3
Tests de normalité des données
On veut tester l’hypothèse de normalité des rentabilités simples mensuelles de chacun
des 10 titres S 1 , . . . , S 10 choisis.
1. Précisez l’hypothèse que vous vous proposez de tester.
2. Expliquez la procédure de test que vous allez utiliser.
3. Présentez et commentez vos résultats.
2
3
Approximation de Cornish-Fisher
Au vu de l’étude précédente, la distribution des données financières, n’est pas toujours
normale. Les résultats de maximisation de l’espérance de rentabilité sous contrainte de
risque obtenus dans la première partie ne s’appliquent donc plus. On se propose de recourir
à une approximation de la mesure de risque VaR pour illustrer en pratique l’optimisation
de l’espérance de rentabilité sous contrainte de risque.
De manière générale, pour une variable aléatoire X de carré intégrable, l’approximation
de Cornish-Fisher à l’ordre 2 du quantile qX (α) est donnée par
qX (α) ∼ E[X] + var(X)qN (0,1) (α)
(3.1)
pour α ∈ [0, 1].
1. En utilisant l’approximation (3.1), donnez une approximation de la mesure de risque
ρ(Rπ ) = V aRθ (Rπ ), pour tout portefeuille π ∈ R10 et tout niveau θ ∈]0, 21 [. Dans la suite,
\
on note V
aRθ (Rπ ) cette approximation.
Soit x = 100 un montant que l’on désire investir sur une période = 1 mois sur le marché
financier. On décide d’alloué ce montant entre les dix titres risquées S 1 , . . . , S 10 . On note
Ri la rentabilité mensuelle du titre S i , R = (R1 , . . . , R10 )0 , M := E[R] et Σ la matrice de
variance covariance de R.
2. Donner l’expression du portefeuille optimal πθ (K) pour le problème
(
supπ∈R E Rπ
(3.2)
\
s.c. V
aRθ (Rπ ) ≤ K
Donner également les expressions de E[Rπθ (K) ] et var[Rπθ (K) ].
3. On veut tester la performance d’une telle stratégie à partir des données historiques.
Pour ce faire on se propose d’effectuer la procédure simple suivante :
1. On utilise les données entre octobre 2004- octobre 2009 pour estimer les paramètres
du modèles : M̂ et Σ̂.
2. On utilise les données de novembre 2009-octobre 2010 pour évaluer la rentabilité
réalisée par le portefeuille optimal πθ (K).
3. On compare à la performance du portefeuille optimal π(K) pour le problème moyennevariance de niveau K :
(
supπ∈R E Rπ
(3.3)
s.c. var(Rπ ) ≤ K
On fixera dans la cette procédure les paramètres suivants : θ = 5%, K = 10% et
R0 = 1, 02.
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