Correction de l`interrogation de MATHEMATIQUES Géométrie

Correction de l'interrogation de MATHEMATIQUES
Géométrie analytique.
Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A(-2 ; 2),B(0 ; -1) et C(3 ; 1) .
1. Tracer le repère orthonormé (O, I, J) puis placer les points A,B et C.
D
A
J
C
O
I
B
2. Calculer les distances AC, AB et BC.
Dans un repère orthonormé (O, I, J) ,on a :
AC =
AC =
AC =
AC =
AC =
BC =
BC =
BC =
BC =
BC =
 x
C
– x A 2  y C −y A 2
3−−221−22
322−12
 52−12
 26
 x
B
AB =
AB =
AB =
AB =
AB =
 x
B
– x A 2 y B − y A 2
 0−−22−1−22
22−32
 49
 13
– x C 2  y B −y C 2
 0 – 32−1−12
−32−22
 94
 13
Les longeurs des segments [AC], [AB] et [BC] sont respectivement
 26 ,  13 et  13 .
3. Quel est la nature du triangleABC ? Est-il rectangle en B ? Justifier.
Le triangle ABC est isocèle en B car BC = AB =  13 d'après la question 2.
De plus dans ce triangle, on a
AC² = (  26 )² = 26 et AB² + BC² = (  13 ) ² + (  13 )² = 26.
Donc AC²= AB²+BC², d'apès la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le
triangle ABC est rectangle en B.
Finalement, ABC est un triangle rectangle isocèle en B.
4. Placer sur le repère le point D pour que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.
Par lecture graphique, déterminer les coordonnées de D (aucune justification est demandée).
Les coordonnées du point D sont ( 1; 4).
Le quadrilatère ABCD est un quadrilatère particulier. Lequel ? Justifier.
ON SAIT QUE ABCD est un parallélogramme ayant un angle droit car le triangle ABC est
rectangle en B (d'après la question 2.)
OR si un parallélogramme possède un angle droit alors c'est un rectangle.
DONC ABCD est un rectangle.
MAINTENANT ON SAIT QUE ABCD est un rectangle ayant deux côtés consécutifs égaux car le
triangle ABC est isocèle en B donc AB = BC (d'après la question 2)
OR si un rectangle possède deux côtés consécutifs égaux alors c'est un carré
DONC ABCD est un carré.
Le quadrilatère ABCD est donc un carré.
Correction de l'interrogation de MATHEMATIQUES
Géométrie analytique.
(bis)
Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A(2 ; 2), B(-2 ; 1) et C(-1 ;-3).
1. Tracer le repère orthonormé (O, I, J) puis placer les points A,B et C.
C
A
J
O
I
D
B
2. Calculer les distances AC, AB et BC.
Dans un repère orthonormé (O, I, J) ,on a :
AC =
AC =
AC =
AC =
AC =
 x
C
– x A 2  y C −y A 2
−1−22−3−22
−32−52
 925
 34
AB =
AB =
AB =
AB =
AB =
 x
B
– x A 2 y B − y A 2
−2−221−22
−42−12
 161
 17
BC =
BC =
BC =
BC =
BC =
 x
B
– x C 2  y B −y C 2
−2 – −121−−32
−212132
−1 ²4²
 17
Les longeurs des segments [AC], [AB] et [BC] sont respectivement
 34 ,  17 et  17 .
3. Quel est la nature du triangleABC ? Est-il rectangle en B ? Justifier.
Le triangle ABC est isocèle en B car BC = AB =  17 d'après la question 2.
De plus dans ce triangle, on a
AC² = (  34 )² = 34 et AB² + BC² = (  17 ) ² + (  17 )² = 34.
Donc AC² = AB²+BC², d'apès la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le
triangle ABC est rectangle en B.
Finalement, ABC est un triangle rectangle isocèle en B.
4. Placer sur le repère le point D pour que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.
Par lecture graphique, déterminer les coordonnées de D (aucune justification n'est demandée).
Les coordonnées du point D sont (3; -2)
Le quadrilatère ABCD est un quadrilatère particulier. Lequel ? Justifier.
ON SAIT QUE ABCD est un parallélogramme ayant un angle droit car le triangle ABC est
rectangle en B (d'après la question 2.)
OR si un parallélogramme possède un angle droit alors c'est un rectangle.
DONC ABCD est un rectangle.
MAINTENANT ON SAIT QUE ABCD est un rectangle ayant deux côtés consécutifs égaux car le
triangle ABC est isocèle en B donc AB = BC (d'après la question 2)
OR si un rectangle possède deux côtés consécutifs égaux alors c'est un carré
DONC ABCD est un carré.
Le quadrilatère ABCD est donc un carré.