livret d`énigmes et de jeux - Portail documentaire SCD Doc`INSA

Sources
Tangente n° 111 juillet-août 2006 (2 ; 4)
Tangente n°123 juillet-août 2008 (7 ; 8)
Tangente n°119 mars-avril 2006 (13)
Tours et jeux mathématiques. Paris : Les éditions du Kangourou,
2007 (3)
Site de la fondation pour la culture scientifique et technique
[http://www.cgenial.org/?n=-Les-sept-ponts-de-Konigsberg_166_174]
(1)
Illusions d'optique : le monde fascinant des apparences trompeuses
d’Inga Menkhoff, 2008 (5)
Site Bric a brac d’énigmes et de problèmes [http://bric-abrac.org/enigmes/combinatoire/traversee_pont.php?sol=1]
(6 ;9 ;10 ;11)
Image de couverture : Les Shadoks, de Jacques Rouxel
Venez vous y frotter !
1. Les Ponts de Königsberg
ème
Au début du 18
siècle, la rivière Pregel qui traverse la ville de Königsberg
avait deux affluents et s'écoulait autour d'une île. Il y avait sept ponts qui
reliaient les diverses rives, comme illustré ci-dessous. Le jeu à la mode dans
cette ville consistait à tenter de traverser une fois et une seule fois chacun
des 7 ponts.
Solutions
10. Le menteur, le juste et les deux portes :
La question est : "Quelle porte me désignera l'autre personne si je lui
demande quelle est la porte du paradis ?".
En effet lorsque je la pose au juste, il me désignera la porte de l'enfer (en
effet, le menteur m'aurait montré celle ci). Lorsque je la pose au menteur, il
me désignera aussi la porte de l'enfer (en effet, le juste m'aurait montré la
porte du paradis donc le menteur me montrera l'autre).
Il me suffit de prendre la porte qu'aucun n'aura désignée.
11. Le loup, la chèvre et le chou :
Comme il ne faut jamais laisser sur une même île deux éléments qui
pourraient se nuire, on commence par faire traverser la chèvre. Puis on
revient chercher un des deux autres (par exemple le chou) que l'on fait
traverser. On ne peut laisser en présence la chèvre et le chou ; on fait donc à
nouveau traverser la chèvre qui retourne ainsi sur la première île. Puis on
transporte le loup afin d'éviter à la chèvre de se faire croquer. Sur la seconde
île on laisse ensemble le chou et le loup ; il ne nous reste plus qu'à aller sur
la première île chercher la chèvre.
Pensez-vous que cela soit possible ?
Cette énigme peut aussi se formuler ainsi : est-il possible de tracer le
chemin suivant sans repasser par le même point et sans lever le
crayon ?
12. Cake pratique :
Deux solutions :
Une coupe doit être faite dans le sens de l'épaisseur.
On coupe une première fois à moitié, ensuite on superpose les 2
moitiés. On coupe une seconde fois, nous avons 4 tranches. On
superpose une dernière fois les 4 tranches et au 3ème coup nous
avons 8 tranches de cake identiques.
13. L’octogone :
Les triangles BCD et DYZ sont homothétiques. On en
déduit DP = BC, puis, de manière analogue, EV = BS =
PR = RU = DP. Le carré BCTS a donc une aire égale à
1/9. Par ailleurs, on a OA = ¼, OP = 1/6, d’où AP =
1/12. Le triangle ABC a donc une aire égale à 1/72. On
en déduit l’aire de l’octogone, égale à 1/6.
14. Une journée en enfer :
On remplit le bidon de 5L, et on le vide dans celui de 3L. Reste 2L dans le
premier. On vide le bidon de 3L, puis on y transvase les 2L restant.
On remplit à nouveau le bidon de 5L, puis on le vide dans le 3L.
Il y avait déjà 2L dedans, donc on y met seulement 1L.
Reste 4L dans le grand bidon !
Solutions
5. Cascade de M.C. Escher :
Au centre de l’image, on voit une chute d’eau maintenir en mouvement une
roue à aubes. Rien d’impossible à cela ; seulement les choses se
compliquent lorsque l’on suit le parcours de l’eau : celle-ci s’écoule vers le
bas, tout en s’éloignant de l’observateur. Le point le plus éloigné devrait être
le point le plus bas de cette chute d’eau. Or, sur cette image, le point le plus
éloigné correspond au point le plus élevé, à partir duquel l’eau se jette à
nouveau dans le vide…
Même question pour les dessins suivants :
Lupe de Octavio Ocampo :
Ce tableau illustre bien la façon dont les images à tiroir peuvent paraître
parfaitement homogènes lorsqu’on les observe de loin. Il faut se rapprocher
quelque peu pour s’apercevoir que le visage de la femme aux cheveux noir
est en fait constitué d’une danseuse et de deux autres personnages
masculins.
6. Remplir le triangle :
Voici une solution possible :
7. Les six dés :
On peut obtenir 5 points sur chaque ligne en enlevant le 2 et le 4, ou 4 points
sur chaque ligne en enlevant le 4 et le 5.
8. Le nombre de Pierre Deu :
En notant c,d, u les chiffres des centaines, des dizaines et des unités du
nombre cherché, on a 90c + 9d + u = 283, qui a pour seule solution 314.
9. La traversée du pont :
Tout d'abord 1 et 2 traversent : 2 minutes
Ensuite, 1 ramène la torche : 3 minutes
5 et 10 traversent le pont : 13 minutes
2 ramène la torche : 15 minutes
1 et 2 traversent le pont : 17 minutes
La solution mathématique à ces questions a été démontrée par le
mathématicien suisse Leonhard Euler en 1736. Cela donnera naissance à la
théorie des graphes.
2. Casse-tête des pentominos
Le principe est très simple. Vous disposez des pièces ci à droite et vous
devez toutes les faire entrer dans le carré ci à gauche (toute autre figure de
60 de surface serait envisageable), un peu à la manière de pièces d'un
puzzle ( les quatre cases centrales doivent rester libres ).
Solutions
1. Les Ponts de Königsberg :
Euler s’est aperçu que le passage par un carrefour (sommet) nécessite un
nombre pair de chemins y aboutissant. Si le nombre de chemin arrivant à un
carrefour est impair, alors ce carrefour est un point de départ ou d’arrivée.
2. Le casse-tête des pentominos :
Deux solutions parmi les 21 (en dehors de leurs rotations, symétries ... )
Notez que vous pouvez retourner les pièces comme bon vous semble :
rotations, symétries ...
3. La tour de Hanoï :
Supposons que nous savons déplacer une tour de (n-1) rondelles.
Alors pour déplacer une tour de n rondelles, nous commençons par déplacer
la sous-tour de (n-1) rondelles, puis nous déplaçons la rondelle restante puis
nous déplaçons à nouveau la sous-tour de (n-1) rondelles.
Ainsi, Dn étant le nombre de déplacement de disques nécessaires, on a la
formule de récurrence suivante : Dn=2Dn-1+1.
Avec la condition initiale D1=1 et par récurrence, on trouve : Dn =2n-1.
4. Hitori :
1
2
3
4
12. Cake pratique
J’ai un cake et sept amis.
Comment couper ce cake en huit morceaux en trois coups de couteau ?
13. L’octogone
3. Les tours de Hanoï et le principe de récurrence
Jeu inventé par le mathématicien français Edouard Lucas en 1883.
Principe du jeu :
On dispose de 3 piquets. Sur un des piquets sont enfilés des rondelles de
diamètres décroissants formant une tour. Il faut déplacer l’empilement de
rondelles depuis un piquet vers un autre piquet en respectant les deux règles
suivantes :
Règle 1 : on ne peut déplacer qu’une rondelle à chaque fois.
Règle 2 : on ne peut poser une rondelle que sur une rondelle d’un diamètre
plus grand.
14. Une journée en enfer…
A une fontaine, on dispose de deux bidons, un de trois litres et un de cinq
litres.
Comment peut-on obtenir 4 litres ?
Pour une tour de 1 rondelle, il suffit d’1 coup pour déplacer la « tour »
Pour une tour de 2 rondelles, il faut 3 coups.
Pour une tour de n rondelles combien faut-il de coups ?
Question subsidiaire : peut-on prévoir sur quel piquet sera reconstituée la
tour si le nombre de rondelles est pair ou impair ?
4. Hitori : jeu de logique d’origine japonaise
9. La traversée du pont
Quatre personnes doivent traverser un pont en 17 minutes. Chacune d'entre
elles marche à une vitesse maximale donnée. Appelons 1, la personne qui
peut traverser le pont en 1 minute, 2 celle qui le traverse en 2 minutes, 5
celle qui le fait en 5 minutes et 10 celle qui le traverse en 10 minutes.
Ces quatre personnes n'ont en tout qu'une torche et il est impossible de
traverser le pont sans torche. Le pont ne peut supporter que le poids de 2
personnes.
Dans quel ordre doivent traverser ces quatre personnes ?
Règles du jeu :
Noircir certaines cases de la grille de
manière que :
- Dans chaque ligne et chaque
colonne, les lettres restantes
soient toutes différentes ;
- Deux cases voisines par un coté
ne peuvent pas être toutes deux
noircies ;
- Les cases restantes doivent
former un bloc d’un seul tenant.
10. Le menteur, le juste et les deux portes
1
2
Vous êtes face à 2 portes, l'une donne sur l'enfer et l'autre sur le paradis.
Vous ne savez pas laquelle mène au paradis, et laquelle à l'enfer.
Juste à côté de ces portes sont présentes deux personnes. L'une est un
menteur, l'autre dit toujours la vérité. Vous ne pouvez poser qu'une seule et
même question aux deux personnes pour savoir quelle porte prendre.
Quelle est cette question ?
11. Le loup, la chèvre et le chou
3
4
Vous êtes sur une île avec un loup, une chèvre et un chou ; vous devez au
moyen d'une barque les emmener tous trois sur une autre île. La barque
étant très petite, vous ne pouvez malheureusement n'en transporter qu'un à
la fois.
Comment doivent s'organiser les traversées afin qu'aucun ne se fasse
dévorer par un autre ?
6. Remplir le triangle
Compléter ce triangle de manière à ce que le nombre inscrit dans chaque
case soit égal à la somme des deux nombres inscrits dans les deux cases
juste en dessous celle-ci.
5. Illusions d’optique
Cascade, M.C. Escher
7. Les six dés
Lorsqu’on dispose les six dés côte à côte, on peut compter 8 points sur la
ligne du haut, 5 sur celle du milieu et 8 sur celle du bas.
En enlevant exactement 2 dés, il est possible d’obtenir le même nombre de
points sur les trois lignes.
Quels sont les deux dés qu’il faut enlever ?
8. Le nombre de Pierre Deu
Pierre Deu avait écrit au tableau un nombre à trois chiffres.
Son copain Pierre Troi efface le chiffre des unités du nombre de Deu.
Les deux Pierre constatent alors que la différence entre le nombre
précédemment écrit et le nombre qui apparaît maintenant au tableau vaut
283.
Quel était le nombre écrit par Pierre Deu ?
Pourquoi des chutes d’eau comme celle-ci n’existent-elles pas dans la
réalité ?
Lupe, Octavio Ocampo (1982)
Tout le monde
voit le chat,
mais où est la
souris ?
Outre la grenouille, un autre
animal se cache dans ce
dessin…
(un indice : inclinez l’image de
90° dans le sens inverse des
aiguilles d’une montre)
Combien de personnages peut-on voir sur cette peinture ?