Mécanique quantique – L2 Test :´Etats intriqués de Dicke

Mécanique quantique – L2
Test : États intriqués de Dicke
Adrien Mahé – Sylvain Nascimbène
Les notes et calculatrices sont interdites durant le test. Le test dure une heure.
On considère une assemblée de N atomes indexés par i = 1 . . . N . Chaque atome est
modélisé par un système à deux niveaux |gi et |ei, avec hg|gi = he|ei = 1, he|gi = 0.
1. Quelle est la dimension de l’espace de Hilbert des états décrivant les N atomes ?
2. |gi est l’état fondamental et |ei est l’état excité ; l’écart en énergie de ces deux
niveaux est noté ~ω0 . On suppose que les atomes n’interagissent pas entre eux,
si bien que les états stationnaires sont simplement les états produit du type
|eege...gi.
Écrire le hamiltonien dans le cas où il n’y a qu’un seul atome. Dans le cas
général, exprimer l’énergie d’un état stationnaire en fonction du nombre n
d’atomes dans l’état excité et de ~ω0 .
3. Interaction avec une onde électromagnétique. On excite les atomes, initialement dans l’état fondamental |gggg...gi, avec une onde électromagnétique de
pulsation ω. Chaque atome évolue indépendamment des autres atomes. On se
restreint jusqu’à la question 6 à l’étude de l’évolution de l’état |ψi d’un seul
atome. Cette évolution est régie par le hamiltonien
H=
~ω0
~ω0
|eihe| −
|gihg| + ~ω1 (e−iωt |eihg| + eiωt |gihe|).
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Ce hamiltonien est-il hermitique ?
On écrit explicitement |ψ(t)i sous la forme |ψ(t)i = a(t)|gi + b(t)|ei.
Écrire le système d’équations différentielles couplées décrivant l’évolution de
a(t) et b(t).
4. Afin de se ramener à un système d’équations différentielles linéaires à coefficients constants, on pose
e
a(t) = e−iωt/2 a(t)
eb(t) = eiωt/2 b(t)
Écrire les équations d’évolution de e
a(t), eb(t).
5. Pour simplifier la résolution on se limite jusqu’à la fin au cas où ω = ω0 .
Résoudre le système d’équations différentielles précédent, puis en déduire |ψ(t)i.
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6. Suggérer une procédure
pour faire passer tous les atomes de
√ expérimentale
iφ
l’état |gi à l’état 1/ 2(|gi + e |ei) (à une phase globale près). Ceci étant
réalisé, écrire l’état |Ψi du système de N atomes.
7. Jusqu’à présent l’état des N atomes a toujours été factorisable. L’opération
suivante vise à produire des états de Dicke, qui sont des états à N atomes
intriqués. Le principe de cette procédure est simple : on mesure le nombre
d’atomes de l’état |Ψi qui sont dans l’état |ei. Si le résultat est n, l’état |Ψi
est projeté dans l’état |Ψn i. Les états |Ψn i sont appelés « états de Dicke ».
Quelle est la probabilité de mesurer n atomes dans l’état |ei ?
8. Quel est l’état |Ψ0 i ? l’état |ΨN i ? l’état |Ψ1 i ? Ces états sont-ils intriqués ?
Selon vous, pour quels n l’état |Ψn i n’est pas factorisable ?
9. On considère l’état |Ψ1 i. On mesure si l’atome N est dans l’état |ei ou |gi.
Quelle est la probabilité pour chaque éventualité. Pour chacun des résultats,
écrire le vecteur d’état des N − 1 autres atomes. Sont-ils encore intriqués ?
10. On considère à nouveau l’état |Ψ1 i. L’état des N − 1 premiers atomes est-il
pur ? Comment doit-on le représenter ?
11. Questions subsidiaires : Suggérer une méthode expérimentale pour mesurer n.
Comment tenir compte de la désexcitation des atomes du niveau excité vers
le fondamental ?