Chapitre : Système

Chapitre : Système
I Système d’équations

3x – y =3
 4 x + 5 y = 23
Définition : Résoudre un système consiste à trouver la valeurs de x et celle de y qui sont solutions des deux
équations en même temps.
Voici un système de deux équations à deux inconnues : 
Exemples : ╟ x = 1 et y = 0 n’est pas solution car : 3 × 1 – 0 = 3 mais 4 × 1 + 5 × 0 ≠ 23.
3×2–3=3
╟ x = 2 et y = 3 est la solution car 
 4 × 2 + 5 × 3 = 23
 4 x + 3 y = 63
L1
Notation : 
: L1 désigne la 1e ligne et L2 désigne la 2e du dernier système écrit.
2
x
+
7
y
=
92
L2

L’équation qu’on obtient en faisant L1 + L2 est : 6 x + 10 y = 155
L’équation qu’on obtient en faisant 2 × L1 est : 8 x + 6 y = 126.
Règles pour résoudre un système : Pour résoudre un système on peut :
– multiplier une équation par un nombre
– additionner ou soustraire les deux équations.
Résolution d’un système par la méthode des combinaisons linéaires
 6 x – 5 y = 25
On va résoudre le système suivant : 
 4 x + 3 y = 61
étape 1 : on "aligne" les x ou les y en multipliant les équations par des nombres.
 12 x – 10 y = 50
ici, on a fait 2 × L1 et 3 × L2 pour aligner les x à 12.
donc 
 12 x + 9 y = 183
étape 2 : On se débarrasse des x ou y alignés en additionnant ou soustrayant les deux équations.
On garde une autre équation (la plus simple tant qu’à faire) qui nous permettra de trouver l’autre inconnue.
 19 y = 133
ici on a fait L2 – L1 pour ne plus avoir de x et trouver y. Attention : + 9 – ( – 10 ) = + 19
donc
 4 x + 3 y = 61 cette équation permettra de trouver x
étape 3 : on trouve l’inconnue puis on la remplace par sa valeur dans l’autre équation
y=7
on a divisé par 19 des deux côtés pour trouver y
donc 
on a remplacer 3 y par 3×7 = 21
 4 x + 21 = 61
étape 4 : on résout la 2e équation
y=7
 x =10
donc  4 x = 40 on a fait – 21 des deux côtés
donc  y = 7


Résolution par substitution : Dans certains cas, il est simple d’isoler une inconnue.
 4 x + y = 10
Résolvons ce système : 
 7 x – 3 y = 27
étape 1 : on isole x ou y dans l’une des équations.
 y = 10 – 4 x
donc 
on a isolé y dans L1.
 7 x – 3 y = 27
étape 2 : On substitue (remplace) y par 10 – 4 x dans l’autre équation ce qui nous donnera une équation à une
seule inconnue.
 y = 10 – 4 x
donc 
 7 x – 3 (10 – 4 x ) = 27
étape 3 : On résout l’équation à une inconnue.
 y = 10 – 4 x
 y = 10 – 4 x
 y = 10 – 4 x

donc  19 x = 57
donc  x = 3
 7 x – 30 + 12 x = 27


étape 4 : On trouve y en remplaçant x par 3 dans l’autre équation.
 y = 10 – 12
donc  x = 3

x =3
La solution est  y = – 2

II Interprétation graphique
Traçons les droites suivantes dans un repère :
d : 3 x + 2 y = 13
Complétons des tableaux de solutions :
Pour d
x
1
5
Pour d’
y
5
–1
et
x
y
d’ : 2 x – 3 y = 0
0
0
6
4
y
5
I(3;2)
1
O
1
5
x

3 x + 2 y = 13
juste en observant le graphique.
 2x–3y =0
On peut trouver la solution du système 
x=3
La solution est  y = 2

La solution correspond aux coordonnées du point d’intersection I des droites d et d’.
Activité : Dans un magasin on vend des films en DVD et de la musique en CD :
• 6 DVD et 5 CD coûtent 118 €
• 4 DVD et 2 CD coûtent 68 €
Dans la suite, on appelle x le prix d’un DVD et y le prix d’un CD.
a ) Traduire les informations précédentes par 2 équations d’inconnues x et y.
On notera la 1e équation L1 et la 2e équation L2.
b ) Dans chaque cas et complétant le tableau : trouve le prix, traduis l’information par une équation et indique
à quoi correspond cette nouvelle équation par rapport à L1 et L2.
achats
prix
équation
lien avec L1 et L2
8 DVD et 4 CD
10 DVD et 7 CD
2 DVD et 3 CD
12 DVD et 10 CD
12 DVD et 6 CD
c ) à partir des 2 dernières lignes du tableau précédent, trouve le prix de 4 CD.
Quel est alors le prix d’un CD ? et celui d’un DVD ?
 3 x – 2 y = 13
Exercice 1 : On va résoudre "proprement" le système d’équation suivant : 
 7 x + 3 y = 15
L1 et L2 désignent toujours les 2 équations du dernier système écrit. E1 et E2 désignent les équations initiales.
Ecrire les systèmes obtenus en faisant successivement :
 3 L1
 L1 + L2
x =…
x =…
x =…





donc
donc
donc
donc
 2 L2
 E1
 remplacer x par sa valeur dans E1
 résoudre et trouver y
y=…
Exercice 2 : En observant les représentations graphiques ci-dessous :
1° ) Trouve la solution des systèmes suivants :
 x – 3y = – 5
 3 x + 5 y = 11
a)
b)
 x –y=1
3x +y= –5
 x – 3y = – 5
c)
3x+y= –5
2° ) Trouve un système qui a pour solution:
x=–1
x= 2
a) 
b) y=1
y=–2

y
1
0
Exercice 3 : a ) En utilisant le quadrillage de ta feuille,
trace les droites suivantes :
d:2x –y=4
et d’ : x – 3 y = – 3
2x –y=4
b ) Trouve graphiquement la solution de 
 x – 3y = – 3
c ) Vérifie par le calcul le résultat trouvé en b ).
1
x
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Exercices pour préparer le contrôle
Exercice 1 : Exercice pour se préparer au brevet (7 points)
Exercice 2 : Résoudre les systèmes suivants :
 2 x + 5 y = – 11
 5 x – 4 y = 22
a) 
b)
 2 x – 7 y = 25
 10 x + y = 17
Refaire l’exercice 3 de la feuille.
Exercice 59 P 179

7x +3y=5
 4 x – 8 y = 32
c)

4,2 x – 7 y = 29,4
 3,6 x + 2 y = 1,2
d)
Exercice supplémentaire
 7 x – 4 y = 14
Résous les systèmes suivant comme dans l’exemple suivant : 
9x –6y=6
on "aligne" les x ou les y en multipliant les équations par des nombres adaptés en
 21 x – 12 y = 42
donc 
 –18 x + 12 y = – 12 s’arrangeant pour que les signes soient différents :e
ici, on a "aligné" les y à 12 en multipliant la 1 équation par 3 et la 2e par – 2.
donc



3 x = 30
7 x – 4 y = 14
on additionne les 2 équations afin de supprimer les x ou y "alignés" :
l’équation obtenue permet de trouver x ou y (ici : 3 x = 30 permet de trouver x )
il faudra une autre équation (n’importe laquelle mais de préférence la plus simple) pour
trouver l’autre inconnue. (ici on prend par exemple 7 x – 4 y = 14)
donc



x = 10
70 – 4 y = 14
on trouve x ou y grâce à l’équation obtenue précédemment (ici, on trouve x = 10 )
on remplace la valeur trouvée dans l’autre équation (ici, on remplace 7x par 7×10 = 70)
donc




x = 10
– 4 y = – 56 donc
6 x + 10 y = 10
 8 x – 4 y = 100
a)




Il n’y a plus qu’à résoudre cette dernière équation pour trouver la dernière
x =10
inconnue. Ici, on résout 70 – 4 y = 14 en faisant – 70 des deux cotés puis en
y = 14
divisant par – 4 les deux cotés.
7x+6y=3
5x+4y=1
b)

8 x + 3y = 1
 4 x + 5y = 11
c)

6 x – 8y = 4
 5 x + 6 y = 54
d)

4x+5y=8
 3 x – 7y = 49
e)
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
résultats des exercices pour préparer le contrôle :
Exercice 2 : Trouver x = 2 et y = – 3 pour tous les systèmes.
Exercice 3 : solution x = – 1 et y = 7
Exercice 59 P 179 : corrigé P 284 ( x = 7,5 et y = 11 )