Sous-espaces invariants de perturbations compactes d`opérateurs

Titre : Sous-espaces invariants de perturbations compactes d'opérateurs normaux
Financement(s) demandé(s) : Établissement
Directeur de thèse : Sophie GRIVAUX
E-mail : [email protected]
Co-directeur de thèse :
E-mail :
Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé, UMR 8524
Equipe ou Groupe de recherche : Équipe d'Analyse
Descriptif :
Le Problème du Sous-espace invariant est un problème fondamental en Analyse Fonctionnelle qui se formule
ainsi : si T est un opérateur linéaire borné sur un espace de Banach séparable de dimension infinie X, est-il
toujours vrai que T possède un sous-espace invariant non-trivial, c'est-à-dire un sous-espace fermé M de X
distinct de {0} et X tel que T(M) soit contenu dans M ? On sait depuis les travaux d'Enflo [E] et Read [R1] que la
réponse à cette question est négative, et que par exemple on peut construire sur l_1 un opérateur qui n'a pas de
sous-espace invariant non-trivial [R2]. Mais la question reste ouverte sur les espaces réflexifs, en particulier
dans le cadre des espaces de Hilbert.
Ce problème a été et est actuellement l'objet de recherches intensives, comme en témoigne par exemple le tout
récent ouvrage « Modern approaches to the Invariant Subspace Problem » d'I. Chalendar et J. Partington [CP],
ou encore les travaux récents de Argyros et Motakis [AM] qui font suite à la résolution en 2009 par Argyros et
Haydon [AH] d'une ancienne question qui était de savoir s'il existait un espace de Banach sur lequel tout
opérateur pouvait s'écrire comme une perturbation compacte d'un multiple de l'opérateur identité.
Ce sujet de thèse concerne l'étude du Problème du Sous-espace invariant pour certaines classes d'opérateurs
sur un espace de Hilbert qui sont des perturbations compactes d'opérateurs normaux. On ne sait pas en général
si tout opérateur T de la forme N+K avec N normal et K compact sur un espace de Hilbert complexe H admet un
sous-espace invariant non-trivial, mais des résultats partiels sont connus, notamment dans les cas où S est un
opérateur autoadjoint sur un espace de Hilbert réel [S], ou lorsque N est un opérateur diagonal et K appartient a
une certaine classe d'opérateurs de rang 1 sur un espace de Hilbert complexe [FJKP]. Dans cette thèse, on
cherchera à généraliser ces résultats à d'autres classes de perturbations compactes d'opérateurs normaux, en
utilisant des méthodes récentes pour obtenir des sous-espaces invariants basées sur un calcul fonctionnel
adapté.
Prérequis : Analyse fonctionnelle, analyse complexe, probabilités.
Bibliographie :
[AH] S. Argyros, R. Haydon, A hereditarily indecomposable $\mathcal L_{\infty}$-space that solves the scalarplus-compact problem, Acta Math. 206 (2011), pp 1 – 54.
[AM] S. Argyros, P. Motakis, A reflexive HI space with the hereditary Invariant Subspace Property, preprint 2011.
[CP] I. Chalendar, J. Partington, Modern approaches to the invariant subspace problem, Cambridge Tracts in
Mathematics 188 (2011), Cambridge University Press.
[E] P.Enflo, On the Invariant Subspace Problem, Acta Math., 158 (1987), pp 212 – 313.
[FJKP] C. Foias, I. Jung, E. Ko, C. Pearcy, On rank-one perturbations of normal operators, J. Funct. Anal., 253
(2007), pp 628 – 646.
[R1] C. Read, A solution of the Invariant Subspace Problem, Bull. London Math. Soc., 16 (1984), pp 337 – 401.
[R2] C. Read, A solution of the Invariant Subspace Problem on the space $\ell_{1}$, Bull. London Math. Soc., 17
(1985), pp 305 – 317.
[S] A. Simonic, An extension of Lomonosov's techniques to non-compact operators, Trans. Amer. Math. Soc.,
348 (1996), pp 975 – 995.