Baccalauréat S Métropole 23 juin 2009

Sujets sur les suites – Preparation Bac Blanc décembre 2013 ! Baccalauréat S Métropole 23 juin 2009 "
E XERCICE 1
Commun à tous les candidats
4 points
Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.
1. On considère la suite (un ) définie par :
1
u0 = 1 et, pour tout nombre entier naturel n, un+1 = un + 4.
3
On pose, pour tout nombre entier naturel n, v n = un − 6.
a. Pour tout nombre entier naturel n, calculer v n+1 en fonction de v n . Quelle
est la nature de la suite (v n ) ?
! "n
1
b. Démontrer que pour tout nombre entier naturel n, un = −5
+ 6.
3
c. Étudier la convergence de la suite (un ).
2. On considère la suite (w n ) dont les termes vérifient, pour tout nombre entier
n!1:
nw n = (n + 1)w n−1 + 1 et w 0 = 1.
Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite.
w0
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
w8
w9
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
a. Détailler le calcul permettant d’obtenir w 10 .
b. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Donner la nature de la suite (w n ). Calculer w 2 009 .
E XERCICE 2
Commun à tous les candidats
6 points
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par
#
$
f (x) = ln 1 + xe−x .
On note f # la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. La
courbe C est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie).
PARTIE I
1. Justifier que lim f (x) = 0.
x→+∞
2. Justifier que pour tout nombre réel positif x, le signe de f # (x) est celui de 1−x.
3. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
PARTIE II
Soit λ un nombre réel strictement positif. On pose A (λ) =
de majorer A (λ) à l’aide de deux méthodes différentes.
1. Première méthode
%λ
0
f (x)dx. On se propose
a2 a
e. Justifier que 3, 43 < m < 3, 45.
E XERCICE 2
Commun à tous les candidats
5 points
Soient deux suites (un ) et (v n ) définies par u0 = 2 et v 0 = 10 et pour tout entier naturel n,
Baccalauréat S
A. P. M. E. P.
un + 3v n
2un + v n
et v n+1 =
.
un+1 =
3
4
PARTIE A
Variables : N est un entier
Baccalauréat S
A. P. M. E. P.
On considère l’algorithme suivant : U ,V,W sont des réels
K est un entier
Début :
Affecter 0 à K
Variables : Affecter
N est un2 entier
àU
U
,V,W 10
sont
Affecter
à Vdes réels
K
est
un
entier
Saisir N
Début :
Affecter
Tant
que 0K à<KN
Affecter
2 àU
Affecter
K +1 à K
Affecter
10 àUV à W
Affecter
Saisir N
2U + V
àU
TantAffecter
que K < N 3
3Và K
AffecterW
K +1
àV
Affecter
Affecter U à4 W
Fin tant que 2U + V
Affecter
àU
Afficher
U
3
W
+
3V
Afficher
V
àV
Affecter
4
Fin
Fin tant que
Afficher
U 2. Recopier et compléter le tableau
On exécute cet algorithme en saisissant
N =
Afficher
V au cours de l’exécution de l’algodonné ci-dessous donnant l’état des variables
Fin
rithme.
On exécute cet algorithme
en saisissant
N =U2. Recopier Vet compléter le tableau
K
W
donné ci-dessous donnant
l’état
des
variables
au cours de l’exécution de l’algo0
rithme.
1
2
K
W
U
V
0
PARTIE B
1
5
1. a. Montrer que 2pour tout entier naturel n, v n+1 − un+1 =
(v n − un ).
12
PARTIE
b.BPour tout entier naturel n on pose w n = v n − un .
! "n
5
. 5
Montrer que pour tout entier naturel n, w = 8
1. a. Montrer que pour tout entier naturel n, vnn+1 − u12
(v n − un ).
n+1 =
12
2. a.b. Démontrer
que lanaturel
suite (unn on
croissante
) estpose
Pour tout entier
w n = v net−que
un . la suite (v n ) est décrois! "n
sante.
5
.
Montrer
que
pour
tout
entier
naturel
n,
w
=
8
b. Déduire des résultats des questions 1. b. etn2. a. que
12 pour tout entier nan on a uque
10suite
et v n(u" )2.est croissante et que la suite (v ) est décroisn !la
2. a. turel
Démontrer
n
n
sante.
c. En
déduire que tes suites (un ) et (v n ) sont convergentes.
b. Déduire
résultats
questions
1. b. et limite.
2. a. que pour tout entier na3. Montrer
que des
les suites
et (v
(un )des
n ) ont la même
turel
n
on
a
u
!
10
et
v
"
2.
n (t ) définie
n
4. Montrer que la suite
par t = 3u + 4v est constante.
n
n
n
n
c. En déduire que tes suites (un ) et (v n ) sont convergentes. 46
En déduire que la limite commune
des suites (un ) et (v n ) est
.
7
3. Montrer que les suites (un ) et (v n ) ont la même limite.
4. Montrer que la suite (tn ) définie par tn = 3un + 4v n est constante.
E XERCICE 3
5 points
46
Enàdéduire
la limite commune des suites (un ) et (v n ) est
.
Commun
tous lesque
candidats
7
Tous les résultats numériques devront être donnés sous forme décimale et arrondis au
dix-millième
E XERCICE 3
5 points
Commun à tous les candidats
Une usine fabrique des billes sphériques dont le diamètre est exprimé en millimètres.
Une
est dite hors
norme lorsque
est inférieur
à 9 mm et
ouarrondis
supérieur
Tousbille
les résultats
numériques
devrontson
êtrediamètre
donnés sous
forme décimale
au
àdix-millième
11 mm.
Une usine fabrique des billes sphériques dont le diamètre est exprimé en millimètres.
Partie A
Une bille est dite hors norme lorsque son diamètre est inférieur à 9 mm ou supérieur
à 11 mm.
Nouvelle-Calédonie
Partie A
2
14 novembre 2013
>
∈
croissante sur [0; 1] puis strictemen
E XERCICE 1
1.a. v n+1 = un+1 − 6 =
1
3 un
+4−6 =
géométrique de raison q =
1
3 un
−2 =
1
3 (u n
− 6) =
1
3 vn
II.1.a. Représentation graphique de A(λ)
La fonction f est continue et posit
4 points
(en unité d’aire) de la partie du plan
droites verticales d’équation x = 0
donc la suite (v n ) est
1
3
et de premier terme v 0 = u0 − 6 = 1 − 6 = −5.
! "n
Baccalauréat
P. donc
M. E. u
P.n = v n +6
1.b. DoncSpour tout n dans N, on a v n = v 0 × q n = −5× 31 . Or v n = unA.−6
Baccalauréat S
A. P. M. E. P.
! 1 "n
et on obtient bien un = −5 × 3 + 6
! 1 "1n
! "n
1.c. 13 ∈ ]−1
; 1[déduit
donc lim
=
011donc
lim
−5 × 13 que
= 0laetfonction
donc onfen déduit
n→+∞
On en
quen→+∞
f (a) =3 1
+
et
on
a
donc
démontré
On en déduit que f (a) =a 22 +a et on a donc démontré que la fonction f
facilement que la suite (un ) converge
a
a et que limn→+∞ un = 6 1
1
+ 1.
admettait pour minimum sur ]0 ; +∞[ le nombre réel m = 1
2
2.a. Appliquons
la formule
de récurrence
(w n ) pour
=a102 :+a .
admettait
pour minimum
sur ]0 ;définissant
+∞[ le nombre
réel mn =
a
a
e. On
successivement(en
:
10w
= 11 × approchées)
19 + 1 = 210 donc
w 10 = 21
10 =a11w
9 + 1 donc 10w 10valeurs
e. On a successivement(en valeurs approchées) :
2.b. On conjecture que la suite (w n ) est arithmétique de raison r = 2 et de premier terme
0,703 < a < 0,704
0,703 < a < 0,704
II.1.b.
< a <
w 0 = 1, 0,703
autrement
dit0,704
que pour tout n dans0,703
N, on<aaw<
= 2n + 1. Démontrons-le par
n 0,704
2
1
1
1
0,4942sur
<a
< 0,4957P la proposition « w n =
récurrence
n : notons
< 1 ». 1
1 <2n1+
0,4942 < a 2 < 0,4957n
0,704
a
<
<0,703
• Initialisation
:
w
=
1
et
2
×
0
+
1
=
1
donc
P
est
vraie.
1
1 0
1
0
0,704
a 0,703
1 :<
12 n< un entier
1
1
• Hérédité
Soit
quelconque
dans
N
.
Supposons
Pn vraie. On sait queII.2.a.
0,4957 < a 2 <0,4942
1,420 < 1 < 1,423
0,4957
a
0,4942
a
1,420
<
<
1,423
(n + 1)w
=
(n
+
2)w
+
1.
Or
par
hypothèse
de
récurrence,
on
sait que w n = 2n + 1
n+1
n
1
a
2
2,017
< n+1
2,024
12 <
donc (n
+ 1)w
=
(n
+
2)(2n
+
1)
+
1
=
2n
+
5n
+
3
=
(2n
+
3)(n
+ 1). Or n + 1 &= 0
2,017 < a 2 < 2,024
a que w n+1 = 2n + 3 = 2(n + 1) + 1 et donc Pn+1 est vraie. Ainsi, la
donc on en déduit
1
1
proposition
n est héréditaire.
donc parPsomme
: 2,017 + 1,420 < 1
+ 1 < 2,024 + 1,423 et donc :
2
donc par :somme
: 2,017 + 1,420
<a 2 +a <
2,024 + 1,423 et donc :
• Conclusion
par le principe
de récurrence,
a
a la proposition Pn est vraie pour tout n
3,43 < m < 3,45
dans3,43
N, à<savoir
que
pour
tout
n
dans
N
,
w
=
2n
+ 1 d’où w 2009 = 4019
m < 3,45
n
II.2.b.
O
λ
D’après la question I.3. on sait que
dans [0; +∞[, f (x) ≤ f (1). Par crois
#λ
0 f (1) dx, soit A(λ) ≤ λ × f (1) (c’
On procède par intégration par par
u ' (x) = e−x
u(x) = −e−x
v(x) = x
v ' (x) = 1
$
% #λ −x
#λ −x
−x λ
− 0 −e d x
0 xe d x = −xe
0
#λ −x
lement 0 xe d x = −λe−λ − e−λ +
On sait que pour tout x dans [0; +∞
de l’intégrale (les fonctions sont bi
E XERCICE
22
5 points 6 points
XERCICE
EEXERCICE
2
5 points
&λ
Commun à tous les candidats ex
I.1. D’après
le cours,
limx→+∞ x = +∞ donc par passage à l’inverse, on a limx→+∞ xe−x =
Commun
à tous
les candidats
A(λ)
=
ln(1 + xe−
x (u )+et (v ) définies par u −x
−x
Soient lim
deux
suites
= 2=et
vet0 donc
= 10 et
pour
tout
n+
∈N
par
=
0
donc
lim
1
+
xe
1
lim
ln(1
xe
)
=
ln(1)
=
0
n
n
0
0
x
x→+∞
x→+∞
x→+∞
Soient 2u
deux
v n e (un ) et (v n )udéfinies
n + 3v n par u 0 = 2 et v 0 = 10 et pour tout n ∈ N par
n +suites
v n+1
= un + 3v
un+1 =par
la fonction
ln nen 1. On a donc bien lim x→+∞ f (x) = 0
2ucontinuité
n + v n et de
3
4
et v n+1 =
un+1 =
II.3. Pour λ = 5, une calculatrice donne
−x
3
4
I.2. Posons
u(x) = 1+xe pour tout x dans [0; +∞[. La fonction u est clairement dérivable
PARTIE
A
la deuxième méthode qui donne le
PARTIE
surA[0; +∞[ et pour tout x dans [0; +∞[, on a :
A(λ) ≤ 0, 96
Variables :
Variables :
N est un entier
'
est un
entier
(x) = 0 + 1 × e−x + x × (−e−x ) = (1 − x)e−x
UN,V,W
sont
desuréels
U
,V,W
sont
des
réels
K est un entier
−x entier
−x
K esteun
que
DébutOn
: sait Affecter
0>
à K0. D’autre part, x ≥ 0 donc xe ≥ 0 donc u(x) ≥ 1 > 0. La fonction
Début
Affecter
0
à
K
u :est dérivable
et
strictement
positive
sur
[0;
+∞[
donc d’après le cours, f = ln ◦ u est
Affecter 2 à U
Affecter
2+∞[
ààU
Affecter
10
V et pour tout x dans [0; +∞[,
dérivable
sur [0;
on
a : variables :
État des
Affecter
État des variables :
Saisir
N 10 à V
Saisir
N K <N
u ' (x) (1 − x)e−x
Tant
que
f ' (x) =
=K
W −x
U
V
Tant que
K
<
N
Affecter K + 1 à K
u(x) K1 + xe
W
U
V
0
—
2
10
AffecterUK à+W
1àK
Affecter
0
—
2
10
U à W= 1 + xe−x > 0 donc
1 f ' (x)2 est bien
14/3du signe
8 de 1 − x.
On sait que e−xAffecter
> 0 et u(x)
2U + V
1 14/3
2
14/3 43/6
8
2
52/9
Affecter 2U + V à U
3
2
14/3
52/9
43/6
Affecter
àU
W +33V
Affecter W + 3V à V
Affecter 4
àV
4
Fin tant que
Fin tantUque
Afficher
AfficherVU
Afficher
Afficher V
Fin
Fin
PARTIE B
PARTIE B
1. a. Pour tout entier naturel n,
1. a. Pour tout entier
2un + v n 3(un + 3v n ) 4(2un + v n )
un naturel
+ 3v n n,
v n+1 − un+1 = un + 3v n− 2un + v n = 3(un + 3v n )− 4(2un + v n )
4
3
12
12
−
=
−
v n+1 − un+1 =
4
3
12
12
5
3un + 9v n − 8un − 4v n 5v n − 5un
= 3un + 9v n − 8un − 4v n = 5v n − 5un = 5 (v n − un )
12
12
=
=
=12 (v n − un )
12
b. Pour tout entier naturel n12
on pose w n = v n −12
un .
b. Pour tout entier naturel n on pose w n = v n − un .
D’après la question précédente, on peut dire que la suite (w n ) est géoméD’après la question
5 précédente, on peut dire que la suite (w n ) est géométrique de raison 5 et de premier terme w 0 = v 0 − u0 = 10 − 2 = 8.
12
trique de raison
et de premier terme w 0 = v 0 − u0 = 10 − 2 = 8.
12
D’après le cours (forme
explicite d’une! suite
on peut dire
"n géométrique)
D’après le cours (forme explicite d’une
"n géométrique) on peut dire
! 5suite
que, pour tout entier naturel n, w n = 8 5 .
que, pour tout entier naturel n, w n = 8 12 .
12
Nouvelle-Calédonie
Nouvelle-Calédonie
2
2
14 novembre 2013
14 novembre 2013
La suite (un ) est croissante donc pour tout n, un " u0 ⇐⇒ uA.
n"
P.2.
M. E. P.
#
v n > un
Pour tout entier naturel n,
=⇒ v n " 2.
un " 2
Baccalauréat S
v n 3un majorée
2un + vpar
3undonc,
v nd’après
− un le
w nthéorème de
c. La suite (u 2u
) est
n +croissante
n − 10
2. a. un+1 − un =n
−
=
=
=
la convergence 3monotone,
est convergente
vers3 un réel !u .
(u
)
3 la suite
3
3
n
! "n
5
La asuite
est décroissante
2 donc,
même
(v n )pour
;par
on peut
en d’après
déduirece
que
pourthéotout
On
vu que,
tout n, w n =minorée
8
12vers un réel !v .
rème, la suite (v n ) est convergente
n, w n > 0 et donc que, pour tout n, un+1 − un > 0.
3. La suite (w n ), définie par w n = v n −un , est convergente comme différence de
Donc la suite (un ) est croissante.
deux suites convergentes,
et sa limite est égale à !v − !u .
un + 3v n 4v n un + 3v n − 4v
un − v n −w n
n
− v n(w=n ) est géométrique
−
= de raison 5 et=−1 < 5 <=1 ; donc on peut
Or vlan+1
suite
4
4
4 12
412
4
Etque
comme
w n(w
> 0,
dire que vers
v n+10.− v n < 0 pour tout n.
dire
la suite
estpeut
convergente
n ) on
suitesuite
(v n ) est
La Donc
limitelad’une
est décroissante.
unique donc !v − !u = 0 et donc !v = !u ; les suites
et
ont
donc
même
qu’on appelle !.
(unOn
) a(vvu
n )que, pour la
tout
n, wlimite
b.
n > 0 ; donc, pour tout n, v n − u n > 0 c’est-àun + 3v n
2un + v n
dire v > u .
4. tn+1 = 3unn+1 +n 4v n+1 = 3 ×
+4×
= 2un + v n + un + 3v n
3
4 n, v n ! v 0 ⇐⇒ v n ! 10.
La suite (v n ) est décroissante donc, pour tout
#
= 3un + 4v n = tn donc la suite
v n >(tunn) est constante.
Pour tout entier naturel n,
=⇒ un ! 10.
t0 = 3u0 + 4v 0 = 3 × 2 + 4 × 10 = v
6 n+!
4010
= 46
Comme
la (u
suite
46 ; la
(t ) est constante, pour tout n, t = t0 =⇐⇒
La suite
unsuite
" 2. (tn ) est
n ) estncroissante donc pour tout n, unn " u
0
#
donc convergente vers 46.
v n > un
tout
n,
=⇒ v n " 2.
LesPour
suites
vers ! donc la suite
(unentier
) et (vnaturel
n ) sont toutes
unles
" 2deux convergentes
(tn ) définie par tn = 3un + 4v n est convergente vers 3! + 4! = 7!.
c. La suite (un ) est croissante majorée par 10 donc, d’après le théorème de
46
La la
limite
d’une suite
est unique
7!n=) est
46 convergente
⇐⇒ ! =
. vers un réel !u .
convergence
monotone,
la donc
suite (u
7
La suite (v n ) est décroissante minorée par 2 donc,46
d’après ce même théoLa rème,
limite la
commune
est réel
donc
(un ) et vers
(v n ) un
suite (v n )des
estsuites
convergente
!v .7 .
3. La suite (w n ), définie par w n = v n −un , est convergente comme différence de
deux suites convergentes, et sa limite est égale à !v − !u .
5
5
Or la suite (w n ) est géométrique de raison
et −1 <
< 1 ; donc on peut
12
12
dire que la suite (w n ) est convergente vers 0.
La limite d’une suite est unique donc !v − !u = 0 et donc !v = !u ; les suites
(un ) et (v n ) ont donc la même limite qu’on appelle !.
un + 3v n
2un + v n
4. tn+1 = 3un+1 + 4v n+1 = 3 ×
+4×
= 2un + v n + un + 3v n
3
4
= 3un + 4v n = tn donc la suite (tn ) est constante.
t0 = 3u0 + 4v 0 = 3 × 2 + 4 × 10 = 6 + 40 = 46
Comme la suite (tn ) est constante, pour tout n, tn = t0 = 46 ; la suite (tn ) est
donc convergente vers 46.
Les suites (un ) et (v n ) sont toutes les deux convergentes vers ! donc la suite
3
14 novembre 2013
(tn ) définie par tn = 3un + 4v n est convergente vers 3! + 4! = 7!.
46
La limite d’une suite est unique donc 7! = 46 ⇐⇒ ! = .
7
46
.
La limite commune des suites (un ) et (v n ) est donc
7
Nouvelle-Calédonie
Nouvelle-Calédonie
3
14 novembre 2013