OUTILS MATHÉMATIQUES POUR LA BIOLOGIE EXAMEN

OUTILS MATHÉMATIQUES POUR LA BIOLOGIE
EXAMEN PARTIEL (CORRECTION)
LSV 1 — 2013-2014
Durée : 2 heures
Documents et calculatrice non autorisés
Justifier les réponses. Les notes tiendront compte de la qualité de la rédaction. Dans
toutes les questions, sauf les quatre premières de l’exercice 5, on cherchera à donner
pour les quantités à calculer les valeurs numériques les plus explicites possibles.
Question de cours. On considère un univers Ω, dont on note P la probabilité.
1. Soit X une variable aléatoire discrète, donner la définition de l’espérance de X dans le cas où l’univers est fini. Penser à bien expliciter les notations.
Supposons que X prenne n valeurs distinctes x1 , x2 , . . . , xn , alors l’espérance est la somme
pondérée
E(X) = x1 P (X = x1 ) + x2 P (X = x2 ) + · · · + xn P (X = xn ).
2. Donner la définition de l’indépendance de deux événements A et B de Ω.
Deux événements A et B sont indépendants si la probabilité de A et B est le produit des
probabilités de A et de B
P (A ∩ B) = P (A)P (B).
3. Soient deux événements A et B avec P (B) > 0. Donner la définition de la probabilité conditionnelle
de A sachant B.
La probabilité conditionnelle de A sachant B est
P (A|B) =
P (A ∩ B)
.
P (B)
Exercice 1. Devant un certain tableau clinique, on estime qu’une personne a 6 chances sur 10 d’être
malade. On effectue alors deux tests biologiques. Le premier est positif à 70% sur les malades, et à 20%
sur les personnes saines tandis que le second l’est à 90% sur les malades, et à 30% sur les personnes
saines. On note
– M l’événement être malade ,
– T + l’événement le premier test est positif ,
– U + l’événement le second test est positif .
1. Calculer la probabilité que le premier test soit positif.
Pour calculer la probabilité que le premier test soit positif, on peut utiliser la formule des probabilités totales
P (T + ) = P (T + |M )P (M ) + P (T + |M c )P (M c )
= P (T + |M )P (M ) + P (T + |M c )(1 − P (M ))
ce qui donne numériquement
P (T + ) =
3 1 2
1
7
× + × = .
10 5 5 5
2
1
2
2. Calculer la probabilité que la personne soit malade sachant que le premier test est positif.
Il s’agit d’un inversement de conditionnement, on peut donc utilier la formule de Bayes pour
calculer la probabilité que la personne soit malade sachant que le premier test est positif
P (M |T + ) =
P (T + |M )P (M )
P (T + )
ce qui donne
3
7
21
×
= .
5 10
25
3. On suppose à présent que les résultats des deux tests sont indépendants sachant que la personne
soit malade, c’est-à-dire
P (M |T + ) = 2 ×
P (T + ∩ U + |M ) = P (T + |M ) × P (U + |M )
ou que la personne soit saine, c’est-à-dire
P (T + ∩ U + |M c ) = P (T + |M c ) × P (U + |M c ).
Calculer la probabilité que le second test soit positif sachant que le premier l’est.
Par définition, on a
P (U + ∩ T + )
= 2P (U + ∩ T + )
P (T + )
or par la formule des probabilités totales, on a
P (U + |T + ) =
P (U + ∩ T + ) = P (U + ∩ T + |M )P (M ) + P (U + ∩ T + |M c )P (M c )
et avec l’hypothèse d’indépendance qui est faite
P (U + ∩ T + ) = P (T + |M )P (U + |M )P (M ) + P (T + |M c )P (U + |M c )P (M c )
soit
P (U + ∩ T + ) =
9
3
3
3
2
201
7
×
× +
×
× =
10 10 5 10 10 5
500
et finalement
201
.
250
Exercice 2. Dans un jeu télévisé, un candidat a répondu à une première série de questions, et affiche
un gain de 400 euros. Il décide alors de tenter la question banco , et remet en jeu son gain de 400
euros : s’il répond correctement à la question, il repart avec 1000 euros, sinon il repart avec seulement
100 euros. Le candidat estime qu’il a une probabilité p (comprise entre 0 et 1) de répondre correctement
à la question banco . On note X la variable aléatoire égale au gain du joueur.
1. Quelles sont les valeurs que peut prendre X ?
P (U + |T + ) =
Le joueur a remis en jeu son gain, il peut repartir soit avec 100 euros soit avec 1000 euros donc
X(Ω) = {100, 1000}.
2. Calculer l’espérance de X en fonction de p.
La probabilité de (X = 100) est 1 − p, celle de (X = 1000) est de p, l’espérance est donc
E(X) = 100(1 − p) + 1000p = 900p + 100.
3. Comparer selon les valeurs de p cette espérance au gain de 400 euros avec lequel il serait reparti s’il
n’avait pas tenté le banco. Expliquer pour quelles valeurs de p il aurait mieux valu ne pas tenter le
banco. Dans quel cas le choix est-il indifférent ?
La différence
E(X) − 400 = 900p − 300
1
3,
négative lorsque p ≤ 31 et nulle lorsque p = 13 . Il vaut mieux tenter le
est positive lorsque p ≥
banco lorsque l’on a plus d’une chance sur trois de répondre à la question.
3
Exercice 3. On tire 2 cartes au hasard dans un paquet de 52 cartes. Ce tirage est un blackjack s’il est
constitué d’un as et de l’une des 4 cartes suivantes : dix, valet, dame ou roi. Quelle est la probabilité
de tirer un blackjack ?
Il y a 52
2 = 1326 tirages de deux cartes dans un paquet de 52. Il y a 4 × 16 tirages de blackjack
possibles (4 choix pour les as et pour chacun de ces choix 16 choix pour les têtes), la probabilité de
tirer un blackjack est donc de
64
32
=
.
1326
663
Exercice 4. Le chuck-a-luck est un jeu de dés. Il consiste pour la banque à jeter 3 dés. Un joueur
peut miser sur n’importe quel nombre compris entre 1 et 6. Si exactement un de ces 3 dés montre le
chiffre sur lequel le joueur a parié, le joueur récupère deux fois sa mise. Si 2 dés montrent ce résultat,
le joueur récupère trois fois sa mise ; si les 3 dés indiquent le chiffre sur lequel le joueur a parié, le
joueur récupère quatre fois sa mise. Si aucun dé ne montre le chiffre choisi par le joueur, ce dernier
perd sa mise. Pour jouer, il faut miser 1 euro.
1. Calculer l’espérance de gain.
Notons G la variable aléatoire égale au gain du joueur. Elle peut prendre les valeurs suivantes :
-1 euro (si le joueur perd sa mise), 1, 2, 3 euros
G(Ω) = {−1, 1, 2, 3}.
63
Il y a
= 216 tirages de dés possibles en tout, sur ces 216 tirages 53 = 125 ne comporte pas le
numéro sur lequel le joueur a misé, donc
125
.
P (G = −1) =
216
Sur les 216 tirages, il y en a 3 × 52 = 75 comportant le numéro sur lequel le jour a misé (3 choix
possibles pour le dé comportant le bon numéro et pour chacun de ces 3 choix, 52 = 25 tirages
possibles sur les deux dés restant ne comportant pas le numéro), 32 5 = 15 comportant deux foix
le numéro sur lequel le joueur a misé (3 choix possibles pour le dé ne comportant pas le numéro et
pour chacun de ces choix 5 tirages possibles), et un seul comportant trois fois le numéro sur lequel
le joueur a misé, donc
15
1
75
, P (G = 2) =
, P (G = 3) =
.
P (G = 1) =
216
216
216
L’espérance est alors
125
75
30
3
17
E(G) = −
+
+
+
=−
.
216 216 216 216
216
Avec ces règles, on s’attend donc à une perte pour le joueur.
Une autre manière de procéder est de noter X la variable aléatoire qui donne le nombre de dés
tombant sur le numéro sur lequel le joueur a misé. X suit une loi binomiale de paramètre p = 61 et
n = 3. Le gain est donné par G = g(X) où
g(0) = −1,
g(1) = 1,
g(2) = 2,
g(3) = 3
et on peut appliquer le théorème de transfert
E(G) = g(0)P (X = 0) + g(1)P (X = 1) + g(2)P (X = 2) + g(3)P (X = 3)
17
ce qui donne à nouveau E(G) = − 216
.
2. Supposons que la banque change les règles du jeu : le montant reçu par le joueur lorsque les 3 dés
montrent le chiffre sur lequel il a parié est maintenant de x euros. Comment la banque doit-elle
choisir x pour que le jeu soit fair (c’est-à-dire pour que l’espérance de gain soit nulle) ?
On calcule
125
75
30
x
−20 + x
E(G) = −
+
+
+
=
.
216 216 216 216
216
Pour que le jeu soit fair , il faut choisir x = 20.
4
Exercice 5. Un ascenseur dessert les 20 étages d’un immeuble. Au rez-de-chaussée entrent 8 personnes
dans l’ascenseur (vide auparavant). On suppose que chacune de ces personnes, indépendamment des
autres, a une probabilité 1/20 de sortir à l’un des étages, et que personne ne monte dans l’ascenseur
en cours de route. Dans les quatre premières questions de cet exercice, on ne cherchera pas à faire de
calculs numériques.
1. Quelle est la probabilité qu’aucun passager ne descende à un étage donné ?
Supposons que les 8 personnes dans l’ascenseur porte des numéros, notons Ak l’événement la
personne portant le numéro k ne sort pas à l’étage donné . Avec les données de l’énoncé, on a
19
P (Ak ) = 20
, et les événements A1 , A2 , . . . , A8 sont deux à deux indépendants, on a donc
8
19
P (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ A8 ) = P (A1 )P (A2 ) · · · P (A8 ) =
.
20
Or l’événement A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ A8 est l’événement aucune personne ne sort à l’étage donné. La
probabilité recherchée est donc (19/20)8 .
2. En déduire la probabilité que l’ascenseur s’arrête à un étage donné.
L’événement l’ascenseur s’arrête à l’étage donné est le contraire de l’événement
passager ne descende à l’étage donné . La probabilité recherchée est donc
8
19
.
1−
20
aucun
3. On note X3 la variable aléatoire qui vaut 1 lorsque l’ascenseur s’arrête au troisième étage et 0 sinon.
Quelle est la loi de X3 ? Quelle est son espérance ?
Les deux questions précédentes donnent la loi de X3
8
8
19
19
, P (X3 = 0) =
.
P (X3 = 1) = 1 −
20
20
X3 suit une loi de Bernouilli de paramètre p = 1 − (19/20)8 . L’espérance de X3 se calcule facilement
8
19
E(X3 ) = 1 −
.
20
4. Plus généralement, on note Xk la variable aléatoire qui vaut 1 lorsque l’ascenseur s’arrête à l’étage
numéro k et 0 sinon. On note Y = X1 + X2 + · · · + X20 . Que permet de calculer Y ? Quelle est son
espérance ?
La linéarité de l’espérance donne
E(Y ) = E(X1 ) + E(X2 ) + · · · + E(X20 )
et les espérances E(Xk ) se calculent comme à la question précédente ; elles sont égales et
8 8
19
19
, E(Y ) = 20 1 −
.
E(Xk ) = 1 −
20
20
La variable aléatoire Y permet de calculer le nombre d’arrêts de l’ascenseur.
5. Calculer l’espérance du nombre d’arrêts de l’ascenseur dans cette situation. Pour obtenir une approximation numérique, on pourra utiliser (1 − x)8 ' 1 − 8x pour des petites valeurs de x.
On a
8 19
1 8
= 20 1 − 1 −
E(Y ) = 20 1 −
20
20
8
' 20 1 − 1 −
=8
20
Un calcul avec une meilleur précision donne en fait E(Y ) = 6.73.