NB : les 5

Lycée Saint Sernin – Toulouse – Devoir Commun aux classes de 1S – 26 Mai 2016. 3 h
CORRECTION
Exercice 1
(NB : les 5 exercices qui suivent sont indépendants et directement
inspirés de « Savoir-faire » de votre livre)
aRésoudre dans  l’inéquation : -5x² + 2x < 3.
C’est une inéquation du second degré. Nous cherchons les racines de -5x² + 2x - 3 : il n’y en a pas car le
discriminent est négatif. Le coefficient de x² est -5 (négatif) donc ce trinôme est négatif pour tout réel x. Nous
pouvons conclure : S = ]- ; + [
2
bOn considère la fonction f définie par f(x) =
3x²  5
1En utilisant l'inverse d'une fonction, donner le sens de variation de f sur son ensemble de définition.
On peut observer que f est le produit du réel -2 par l’inverse de la fonction du second degré x  3x² + 5
Dont on connaît les variations (soit par : “-b/2a” vaut ici 0 et “a” est ici 3 donc positif, soit par : “3 fois la
fonction carré plus 5). Comme 3x² + 5 ne s’annule pas sur , on peut donc conclure (faire un tableau) : f a les
mêmes variations que x  3x² + 5 sur 
2Calculer la dérivée de f en exprimant clairement la ou les formules que vous avez utilisées. Retrouver
ensuite ses variations sur 
O reconnaît dans f la structure (forme) « -2 fois 1 sur V » avec V(x) = 3x² + 5. Comme V est dérivable sur 
et ne s’annule pas sur , f est aussi dérivable sur  et sa dérivée est x  (-2)(-V’)/V²
2(6 x)
12 x
On obtient f ’(x) =
=
.
(3x ²  5)²
(3x ²  5)²
Le dénominateur étant strictement positif (C’est un carré !) f ’(x) est du signe de x sur . On retrouve bien
les variations de f obtenues à la question précédente.

cOn donne un point A du plan et un vecteur u . Déterminer une équation de la droite d passant par A(1; -3)
et de vecteur directeur (-2 ; 5)
Soit M(x;y)
Dire que M estun point de d équivaut à dire que les vecteurs
 un point quelconque du plan.


AM et u sont colinéaires. Nous avons AM (x-1; y+3) et u (-2; 5). La condition s’écrit ici 5(x-1) -(-2)(y+3) =
0 c’est à dire 5x + 2y + 1 = 0 qui est une équation de d.
d-
Soit h la fonction définie sur  par h(x)=x3-3x+2.
1. Construire le tableau de variations de h sur  et en déduire le signe de h sur [-1 ; +[
h est dérivable sur  car c’est un polynôme. Sa dérivée est h’ x  3x² - 3 = 3(x – 1)(x + 1).
h’ est un trinôme dont les racines sont 1 et -1. Le signe de “a”
x
-1
1
étant positif, on connaît le signe de h’ sur  
4
Les variations sont immédiates.
h
0
L’observation du tableau de variations de h montre que h est
positive sur [-1 ; +[. En effet, le minimum de h sur [-1 ; +[ est 0
2. Calculer h (-2) et en déduire le signe de h sur ]-7 ; -1].
h(-2) vaut 0 et h est croissante sur ]- ; -1] donc hest négative sur ]- ; -2] et positive sur [-2 ; -1] et plus
généralement sur [-2 ; +[
3. Démontrer que, pour tout x de [-2; +[, x3  3x – 2
Nous venons d’établir que pour x [-2 ; +[, h(x) est positive c’est à dire : x3-3x+2 0 ce qui s’écrit :
Pour x réel , x -2 on a : x3  3x – 2
e-
Résoudre dans ]-2π; π] l'équation cos x =
2
et représenter ses solutions sur le cercle trigonométrique.
2
On sait que
2
est cos( π/4). L’équation proposée est donc équivalente à cos x = cos( π/4), c’est à dire au
2


 x  4  2k
système 
où k désigne un entier naturel. L’observation du cercle trigonométrique montre

ou x    2k

4
que dans ]-2π; π] nous trouvons les 3 solutions : -7π/4; -π/4 et π/4
Exercice 2
Soit A et B deux points tels que AB = 4 et K le milieu du segment [AB].
1Démontrer que pour tout point M du plan, on a : MA² + MB² = 2 (KM² + 4)

 
MA par MK  KA et
Utilisons
la
relation
de
Chasles
pour
transformer
le
premier
membre
en
remplaçant

 
MB par MK  KB . En développant le carré de ces deux sommes (comme produit scalaire d’un vecteur par
lui-même ou en reconnaissant le carré de la norme d’une somme) on obtient :



   
2 MK ²  KA ²  KB ²  2 MK KA  2MK KB soit en groupant les deux produits scalaires :



  
 
2 MK ²  KA ²  KB ²  2 MK ( KA  KB ) . Le vecteur ( KA  KB ) étant nul (car K est le milieu de [AB]) et



AB ²
AB
KA ²  KB ² = 2 
= 8 (car K est le milieu de [AB]) . D’où le résultat demandé : MA² + MB² =
²=
2
2
2 (KM² + 4)
2En déduire que l'ensemble E des points M du plan tels que : MA² + MB² = 40 est un cercle C de centre K et
dont vous préciserez le rayon.
Le résultat précédent permet de transformer la condition donnée en 2(KM² + 4) = 40 c’est à dire KM² = 16.
Cette dernière affirmation caractérise l’appartenance de M au cercle de centre K et de rayon 4 (car 4² = 16)
On se place désormais dans un repère orthonormé (O ; I ; J). On donne A (- 2 ; 2) et B (2 ; 2).
3Montrer que l’équation (4+x)(4-x) - (2-y)² = 0 est celle d’un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Transformons l’équation proposée en développant seulement une partie du premier membre. On arrive à :
4² – x² - (2 – y)² = 0 qui se transforme en x² + (y – 2)² = 4² qui est une équation du cercle de centre K(0; 2) et de
rayon 4. Nous pouvons remarquer que K le milieu de [AB], est aussi le centre de ce cercle. Comme le rayon
est 4 c’est donc une équation du cercle C.
4Déterminer les coordonnées des (éventuels) points d'intersection de C avec l'axe des abscisses.
Ici nous avons le choix entre deux équations pour le cercle C. Dans les deux cas, remplacer y par 0 donne
l’équation du second degré x² = 12 qui a deux solutions 2 3 et -2 3 . les coordonnées des deux points
d'intersection de C avec l'axe des abscisses sont donc (2 3 ; 0) et (2 3 ; 0).
5Déterminer une équation de la tangente à C en D( 2 3 ;0)
Nous reconnaissons un des points obtenus précédemment. Cette tangente est la droite passant par D et de
 
vecteur normal (2 3 ; -2 ). Son équation s’obtient en écrivant la nullité du produit scalaire KD . DM (où M


désigne un point quelconque du plan, M(x ; y).). Avec KD ( 2 3 ; -2 ) et DM (x - 2 3 ; y ), on obtient :
2 3 x - 2y - 12 = 0 c’est à dire plus simplement : 3 x - y - 6 = 0
Exercice 3
 
A, B, C et D sont 4 points distincts. Dans chaque cas, calculer AB. AC
Il est bon de proposer chaque fois un schéma. Je ne vous donne chaque fois que le résultat numérique et
une piste qui peut conduire au résultat.
1) ABCD est un rectangle avec DC = 3.
On peut projeter orthogonalement C sur (AB) ou transformer un vecteur avec Chasles. On trouve 9.
2) A appartient au segment [BC] avec AB = 1 et AC = 4.
Les deux vecteurs sont ici colinéaires et de sens contraire. On trouve -4
 vaut 60°, AB = 3 et AC = 2.
3) L'angle BAC
La formule du cosinus est adaptée à cet exercice. On trouve 3.
4) ABCD est un parallélogramme avec AB = 4, AC = 6 et AD = 3.
Dans le triangle ABC, on connaît la longueur des côtés. Les 2 formules avec les normes sont adaptées ici (une
des deux étant plus rapide !). On trouve : 43/2.
5) En repère orthonormé, A(2 ; -3), B(4 ; 2) et C (-4 ; 1).


Les coordonnées des vecteurs AB et AC sont immédiates. On trouve : 8
Exercice 4
 3 
ABCD est un carré de côté 1. On note E et F les points caractérisés par les égalités vctorielles : AE  AB et
2
 1 
AF  AB .
3
En utilisant un produit scalaire, montrer que les droites (FC) et (DE) sont orthogonales. (NB : vous expliciterez
clairement la méthode utilisée.)
FAIRE une FIGURE et RAPPELER les DONNÉES
Ici nous avons plusieurs possibilités. Une solution simple consiste à “choisir” un repère. Il DOIT être
orthonormé. Le carré de côté 1 est une aubaine qu’il faut ne pas hésiter à saisir.
1ère méthode:
Soit (A;B;D) le repère orthonormé que je choisis. Dans ce repère on a de toute évidence : A(0;0); B(1;0);
 3 
C(1;1) et D(0; 1). Si on note (x;y) les coordonnées du point E, l’égalité vectorielle AE  AB se transforme
2
3

3

 x  2 (1  0)
x 
en deux égalités numériques (les coordonnées) : 
c’est à dire 
2 . Le point E a donc pour
1
 y  0
 y  (0  0)

3
3
coordonnées E( ;0).
2
1
De la même façon, on calcule les coordonnées de F et on trouve : F( ; 0)
3
 
Nous pouvons maintenant calculer le produit scalaire FC.DE .

 2
 3
 3
1
FC (1- ; 1-0) et DE ( -0 ; 0-1) c’est à dire FC ( ; 1) et DE ( ; -1). Le produit scalaire de ces deux
3
2
3
2
vecteurs,
 
2 3
+ 1(-1) = 0 on peut donc conclure que les deux vecteurs FC et DE sont orthogonaux c’est à dire que les
3 2
droite (FC) et (DE sont perpendiculaires.
2ème méthode
On pouvait aussi utiliser Chasles dans le calcul du produit scalaire.
On peut remarquer avant de commencer les calculs que les deux égalités données montrent que E et F sont
alignés
et donc que les 4 points A, E, B et F sont alignés.
 avec
 A
 et B
 
FC  FB  BC et DE  DA  AE . Développons maintenant le produit scalaire
 
   
FC.DE = ( FB  BC ).( DA  AE ) Parmi les 4 produit scalaire qui apparaissent deux sont nuls, nullité qui
   
correspond à l’orthogonalité des côtés consécutifs du carré. Il ne reste que les deux autres : FB. AE + BC.DA
 
  
Le premier FB. AE est aussi ( FA  AB ). AE Utilisons maintenant les définitions des points E et F, c’est à dire
 3 
 1 
1   3 
2  3 
AE  AB et AF  AB . Notre produit scalaire s’écrit alors : ( AB)  AB).( AB) = ( AB ).( AB ) 
2
3
3
2
3
2
AB²= 1
 
 
 
Le second : BC.DA est aussi  BC. AD ou encore  BC.BC car ABCD est un carré. On obtient ici -1 . La
somme des deux est donc nulle. Nous pouvons conclure.
Exercice 5
Le nombre d'arbres d'une forêt, en milliers d'unités, est modélisé par la suite u
où un désigne le nombre d'arbres, en milliers, au cours de l'année (2010 + n). En 2010, la forêt possèdait 50 milliers
d’arbres. Afin d'entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre
chaque année 5 % des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.
1Montrer que la situation peut être modélisée par : pour tout entier naturel n, un+1 = 0,95 un + 3 et u0 = 50.
Nous savons ce que désigne un et nous traduisons avec cette notation les données de l’énoncé : pour n entier
naturel, un+1 = un – (5/100) un + 3 c’est à dire un+1 = 0,95 un + 3. Par ailleurs, u0 = 50
2On considère la suite v définie pour tout entier naturel n par vn =60 - un.
aMontrer que la suite v est une suite géométrique de raison 0,95.
Il suffit de chercher à exprimer vn+1 en fonction de vn :
vn+1 = 60 - un+1 = 60 – (0,95 un + 3) = 57 –0,95 un. Mettons 0,95 en facteurs en remarquant que 57 = 0,95  60
Il vient : vn+1 =0,95(60 - un) = 0,95 vn . La suite (vn) est donc géométrique de raison 0,95
bCalculer v0. Déterminer l'expression de vn en fonction de n
La suite (vn) est géométrique de raison 0,95 et v0 = 60 – 50 = 10, donc vn= 10(0,95)n
Démontrer que, pour tout entier naturel n, un = 60 -10  (0,95)n. De vn =60 - un on déduit un= 60 10(0,95)n
3Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur approchée arrondie à l'unité.
Pour 2015, n = 5. u5 = 52,262... soit : il y aura 52 262 arbres en 2015.
4aPour tout entier naturel n, factoriser la différence un+1 -un.
un+1 -un = (60 - 10(0,95)n+1) – (60 - 10(0,95)n) = -10[(0,95)n+1 –
Variables :
A et U sont des réels.
0,95n] = -10(0,95)n [0,95 – 1] = -10(0,95)n [-0,05] = 0,5(0,95)n
N est un entier naturel
bEn déduire les variations de la suite u. Le nombre
n
Initialisation
:
-0,5(0,95) étant évidemment positif pour tout entier n, la suite
Affecter à U la valeur 50.
(un) est croissante.
Affecter à A la valeur U + 0,1 U
5Conjecturer la limite de la suite u. Donner une interprétation
Affecter à N la valeur 0
du résultat.
n
Traitement
:
En observant un= 60 - 10(0,95) on voit que la limite du
Tant Que U < A faire :
deuxième terme est 0 (car 0,95 est entre -1 et 1). La limite de u
Affecter à N la valeur N+1
est donc 60. Ce qui signifie que – d’après ce modèle – le nombre
Affecter à U la valeur U – 0,05U + 3
d’arbres augmentera en restant plafonné à 60 000 unités.
Fin Tant Que.
6L’algorithme ci-contre parle de notre forêt. Quelle
Sortie
: Afficher N
information sa sortie donne t-elle aux forestiers ?
Le N affiché dit aux forestiers la date (à un ajout de 2010 près !)
à partir de laquelle le nombre d’arbres aura augmenté de 10
%, cad 55 000 arbres.
Exercice 6
Un QCM (questionnaire à choix multiples) est composé de cinq
questions numérotées de 1 à 5.
Pour chacune d'elles, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte.
Partie A :
Le candidat répond à ce QCM en cochant, au hasard et de façon indépendante. chacune des 5 questions. On décide
de donner au candidat un point par réponse exacte.
Soit X la variable aléatoire associant aux réponses du candidat la note obtenue sur 5.
1Justifier que X suit une loi binomiale et en préciser les paramètres.
Répondre au hasard à une des 5 questions est une expérience à deux issues dont la probabilité du succès
(donner le bon résultat) a une probabilité p de 0,25. Cette épreuve de Bernoulli est répétée à l’identique et de
façon indépendante 5 fois ( n = 5). La note obtenue est en fait le nombre de réponses justes cad le nombre de
succés. Nous pouvons donc affirmer que cette variable X suit la loi binomiale B(0,25; 5)
2Quelle est la probabilité, qu'un candidat obtienne la note maximale ?
La note maximale correspond à 5 succés. On peut imaginer un arbre et “voir” que cet événement n’est
réalisé que lorsque les 5 épreuves répétées donent le succés de proba 0,25. Sa probabilité est donc 0,255 = 1/45
soit 0,00098 autant dire … peu probable ! On peut aussi calculer P(X=5) avec la loi binomiale B(5 ; 0,25)
(dernière colonne du tableau ci-dessous)
3. On remplit un très grand nombre de QCM dans ces conditions. Chacun reçoit donc une note. De quelle valeur
s’approchera la moyenne de toutes les notes ainsi obtenues ?
Nous savons que si on recommence une expérience aléatoire un “grand” nombre de fois, la moyenne des
valeurs obtenue pour une variable aléatoire est proche de son espèrance mathématique.
Calculons l’espérance de X: On sait par coeur le résultat quand X suit la loi B(n;p) : E(X) = np donc ici, le
candidat qui agit ainsi peut espèrer un royal “1 sur 5”, car 5 fois 0,25 = 1,25.
4Etablir la loi de probabilité, de X en complétant un tableau donnant pour chaque note possible leur
probabilité. NB : On donnera les valeurs arrondies au millième des probabilités, puis la valeur exacte de P(X = 3) en
détaillant les calculs.
k
0
1
2
3
4
5
P(X=k)
0,237 0,396 0,264 0,088 0,015 0,001
approché
 5
P(X=3) est égal à   0,253  0,752 c’est à dire 100,253  0,752 dont la valeur exacte est 90/45 = 45/512 soit
 3
environ 0,088.
5Quelle est la probabilité, qu'un candidat obtienne au moins deux points ?
Obtenir au moins deux points est l’événement contraire de “obtenir 0 ou 1” dont la probabilité est P(X=0) +
P(X=1) c’est à dire : 0,633. La probabilité demandée est donc 1 – 0,633 soit 0,367.
Partie B
Pour pénaliser les candidats qui ne comptent que sur le hasard, on décide de toujours accorder 1 point par réponse
exacte, mais cette fois d'enlever 0,2 points par réponse inexacte, sachant que toute note négative sera ramenée à 0
sur 5. Soit Y la nouvelle variable aléatoire associant aux réponses du candidat la note obtenue sur 5.
1.
Donner les 6 valeurs que peut prendre la variable aléatoire Y
Les valeurs demandées sont : -1 ; -0,2; 1,4 ; 2,6 ; 3,8 ; 5.
2.
La variable aléatoire Y suit-elle une loi binomiale.
Evidemment pas ! car Y ne compte pas les succés dans l’expérience de Bernoulli !
Si oui, préciser ses paramètres, si non, justifier.
3.
Prouver qu'avec cette nouvelle règle, la variable aléatoire Y s'exprime par Y = l,2X – l.
On peut exprimer Y en fonction de X : Quand il y a X succés, la note Y est X diminuée de 0,2 points pour
chacun des 5-X erreurs soit Y = X – 0,2(5-X) et on obtient le résultat annocé : Y = l,2X – l.
4.
Quel calcul montre que cet l'objectif est atteint.?
L’espérance devient dans ce cas E(Y) = 1,2E(X) -1 = 0,5. L’opération est nettement moins alléchante pour
ceux qui “répondent au hasard”!