Espaces probabilisés

Espaces probabilisés
Exercice 1.
Vrai ou faux ?
Exercice 2.
Tribu sur
Exercice 3.
Équité ?
Exercice 4.
Probabilité des causes
Exercice 5.
Temps d'attente
Exercice 6.
Évènements
Dire si chaque armation est vraie (alors la prouver) ou fausse (donner un contre-exemple) :
1) Si est un univers et A; B alors f?; ; A; A; B; B g est une tribu sur .
2) Si = f1; 2; 3; 4g, la tribu engendrée par f1g; f1; 2g; f2; 3g est égale à P (
).
3) Si P(A) + P(B ) = 1 alors B = A.
4) Si A et B sont deux évènements indépendants alors P(A [ B ) = P(A) + P(B ).
5) Si P(A [ B ) = P(A) + P(B ) alors A et B sont incompatibles.
6) Si (Ak )k2NP
est un système complet d'évènements de probabilités non nulles alors pour tout évènement
A la série k2N P(A j Ak ) est convergente.
Montrer que
T
N
N tq 8 n 2 N; 2n 2 X , 2n + 1 2 X g est une tribu.
= fX
On considère une société dont chaque individu peut avoir les caractéristiques suivantes :
il peut être bleu (probabilité p) ou rouge (probabilité 1 p) ;
il peut être riche (probabilité q ) ou pauvre (probabilité 1 q ) ;
On sait de plus que 70% des bleus sont riches et 70% des riches sont bleus. La richesse est-elle équitablement répartie entre les bleus et les rouges ?
On cherche un objet dans un meuble constitué de sept tiroirs. La probabilité qu'il soit eectivement dans
ce meuble est p. Sachant qu'on a examiné les six premiers tiroirs sans succès, quelle est la probabilité
qu'il soit dans le septième ?
On dispose d'un trouseau de n clés, une seule d'entre elles pouvant ouvrir la porte de l'appartement.
1) On essaie une clé au hasard, puis on recommence tant qu'on n'a pas trouvé la bonne clé. Les essais
étant supposés indépendants et le choix d'une clé à chaque essai étant supposé uniforme, déterminer
la probabilité qu'on trouve la bonne clé au k-ème essai et la probabilité qu'on ne trouve jamais la
bonne clé.
2) Mêmes questions mais en supposant qu'à chaque nouvel essai on choisit uniformémént une clé autre
que celle que l'on vient d'essayer.
3) Mêmes questions mais en supposant qu'à chaque nouvel essai on choisit uniformémént une clé autre
que toutes celles que l'on a déjà essayé.
Soit (An )n2N une suite d'évènements dans un même espace probabilisé.
1) Montrer que les ensembles suivants sont des évènements :
A = Il y a une innité d'évènements parmi les An qui sont réalisés .
B = A partir d'un certain rang, tous les An sont réalisés .
C = Il n'y a jamais deux évènements consécutifs réalisés .
2) On suppose les An mutuellement indépendants et P(An ) = 12 pour tout n 2 N.
Calculer P(A), P(B ), P(C ).
3) On suppose les An mutuellement indépendants et P(An ) = 1=2n+1 pour tout n 2 N.
Calculer P(A), P(B ) et montrer sans la calculer que 0 < P(C ) < 1.
4) Donner des exemples de telles suites (An ).
probas.tex jeudi 4 août 2016
Exercice 7.
Temps d'attente
Exercice 8.
Lemme de Borel-Cantelli
Exercice 9.
Non indépendance
On lance une innité de fois une pièce et on considère l'évènement Ak = au cours des k premiers
lancers, il n'est jamais sorti trois pile de suite avec la convention A0 = .
1) En supposant les lancers mutuellement indépendants et la pièce équilibrée, montrer que
P(Ak ) = 12 P(Ak 1 ) + 14 P(Ak 2 ) + 18 P(Ak 3 ) pour k > 3.
2) On note ; ; les racines dans C du polynôme X 3 X 2 =2 X=4 1=8. Montrer, sans les calculer,
que max(jj; j j; j j) < 1 et en déduire limk!1 P(Ak ).
3) Reprendre l'exercice avec l'évènement Bk = au cours des k premiers lancers, il n'est jamais sorti la
séquence PFP .
4) Soit S une suite xée dans fP; F gN . Montrer, sans calcul, qu'il est presque certain que S apparaît au
moins une fois lors d'une innité de tirages mutuellement indépendants, avec P et F de probabilité 12
à chaque lancer. Montrer qu'il est presque certain que S apparaît une innité de fois dans les mêmes
conditions ; et montrer enn que ceci reste vrai pour toute pièce vériant P(P ) = p 2 ]0; 1[, les lancers
étant toujours mutuellement indépendants.
Soit (An )n2N une suite d'évènements dans un même espace probabilisé. On note A = Il y a une innité
d'évènements parmi les An qui sont réalisés .
1) Montrer que
P A est un évènement.
2) Si la série P k P(Ak ) est convergente, montrer que P(A) = 0.
3) Si la série k P(Ak ) est divergente et si les Ak sont mutuellement indépendants, montrer que P(A) = 1.
4) Donner un cas où P(A) = 12 .
On lance une pièce équilibrée n fois (les lancers sont mutuellement indépendants) et on note Ak = le
k-ème lancer donne P , B = le nombre total de P est pair . Montrer que parmi les n + 1 évènements
A1 ; : : : ; An ; B , n quelconques sont mutuellement indépendants mais les n + 1 ne le sont pas.
Exercice 10.
Pièces variables
Exercice 11.
Limite de probabilités
On lance n pièces, l'une après l'autre, et on fait l'hypothèse que les lancers sont mutuellement indépendants et que la k-ème pièce a une probabilité 1=(2k + 1) de produire pile. Quelle est la probabilité que
le nombre de pile obtenu soit pair ?
Soit (Pk )k2N une suite de probabilités sur N (avec la tribu P (N)). On suppose que pour tout entier
n 2 N, la suite (Pk (fPng)) est convergente, de limite pn 2 [0; 1].
1) a) Montrer que n2N pn 6 1.
b) Donner un exemple
où la somme est strictement plus petite que 1.
P
2) On suppose que P n2N pn = 1 et on pose pour k;P
n 2 N : an;k = min(Pk (fng); pn ).
a) Montrer que n2N an;k ! 1 et en déduire n2N jPk (fng) pn j ! 0.
k!1
k!1
P
b) Pour X N, montrer que Pk (X ) ! n2X pn .
k!1
c) Prouver enn que l'application X 7! limk!1 (Pk (X )) est une probabilité sur N.
P(kN) = 1=k ?
On démontre dans cet exercice qu'il n'existe par de probabilité
Exercice 12.
P sur N vériant : pour tout k 2 N , la
probabilité qu'un entier choisi au hasard selon la probabilité P soit divisible par k est égale à 1=k.
Pour cela, on raisonne par l'absurde ; soit P une telle probabilité.
1) Montrer que si k1 ; : : : ; k sont des entiers non nuls et deux à deux premiers entre eux, alors les
évènements A = n est divisible par k sont mutuellement indépendants.
2) Montrer que l'évènement A = n n'est divisible par aucun facteur premier est de probabilité nulle.
m
i
i
3) Généraliser et conclure.
probas.tex page 2
Exercice 13.
Permutation aléatoire
On veut tirer au hasard une permutation des entiers 1; : : : ; n et on envisage les deux méthodes suivantes.
1) On xe un entier N , et on tire 2N entiers i1 ; j1 ; : : : ; iN ; jN 2 [[1; n]] de manière uniforme et indépendante. On calcule alors = (i1 j1 ) : : : (iN jN ) avec la convention (ik jk ) = id si ik = jk .
a) Comment choisir N pour être sûr de pouvoir obtenir chaque permutation ?
b) Lorsque cette condition est remplie, permutation obtenue est-elle uniformément distribuée sur Sn ?
k1 2 [[0; 1]], k2 2 [[0; 2]],: : : ,kn 1 2 [[0; n 1]]
. Peut-on ainsi obtenir toutes les permutations ?
2) On tire de manière uniforme et indépendante des entiers
et on calcule = (1 2)k1 (1 2 3)k2 : : : (1
Sont-elles équiprobables ?
Exercice 14.
Soit
Fonction
s 2 ]1; +1[ et : : : n) n
k
1
8
< P (N )
, Mines-Ponts 2015
s :
:
! [0; 1]
A 7 ! (1s) P 2 k1
k
A
s
où (s) =
P
k
2N
1.
s
k
1) Montrer que s est une probabilité.
2) Soit n 2 N et An le sous-ensemble de N constiué des multiples de n. Calculer s (An ).
3) Soit (`1 ; : : : ; `n ; : : :) la suite des nombres premiers. Montrer que les évènements A`1 ; : : : ; A`n ; : : : sont
mutuellement indépendants pour
la probabilité
Q1 1
4) En déduire que
= i=1 1 1s .
(s)
`i
.
s
probas.tex page 3
solutions
Exercice 1.
1) faux, ne contient par A [ B .
2) Vrai, elle contient tous les singletons.
3) Faux, prendre A = B de probabilité 12 .
4) Faux lorsque P(A)P(B ) > 0.
5) Faux, A \ B est négligeable.
6) Faux, prendre A = .
Exercice 3.
P(richejbleu)p + P(richejrouge)(1 p) = q. La richesse est équitablement répartie ssi q = 70%.
Exercice 4.
Il manque l'information concernant les probabilités que l'objet soit dans un tiroir ou un autre sachant
qu'il est dans le meuble. Supposons que ces probabilités sont égales à 1=7 et soient Ai l'évènement
l'objet est dans le tiroir i et B l'évènement l'objet n'est pas dans le meuble .
P(A7 )
p
On a P(A7 ) = P(A7 j B )p + P(A7 j B )(1 p) = p=7 puis P(A7 j A7 [ B ) =
P(A7 ) + P(B ) = 7 6p .
Exercice 5.
1) pk = (n 1)k 1 =nk , p1 = 0.
2) p1 = 1=n, pk = (n 2)k 2 =n(n
3) pk = 1=n pour 1 6 k 6 n.
1)k 2 pour
k > 2, p1 = 0.
Exercice 6.
T
S
T
1) A S
= 1
( 1
Ak ) ; B = S1
( 1
Ak ) ; C = n (S1
(An \ An+1 )).
n=0
k=n
n=0
k=n
n=0
1
2) P(Tk=n Ak ) = P(An ) + P(An \ An+1 ) + P(An \ An+1 \ An+2 ) + : : : = 1 donc P(A) = 1.
P( 1= A T) 1= 0 donc P(B ) = 0.
P(CS)16 P( =0P(A12 \ A2 +1 )) = 0 donc P(C ) = 0.
3) P(T = A ) 6
= P(A ) = 1=2 donc P(A) = 0.
P( 1= A ) = 0 doncSP1(B ) = 0.
P1
1 = P(A0 \ A1 ) 6 P(
2 +3 = 1 .
=0 (A \ A +1 )) 6 =0 1=2
8
6
4) Dans un jeu de pile ou face inni, A = le lancer de rang n donne pile ;
A0 = les lancers de rang 10 ; 10 + 1; : : : ; 10 + n donnent tous pile .
k
n
k
k
n
k
k
n
k
n
n
k
n
n
k
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Exercice 7.
1) Conditionner par le résultat des lancers de rang k 3; k 2; k 1.
2) Par étude de fonction, il existe une unique racine réelle 2 ] 12 ; 1[. Les deux autres racines sont non
p
réelles conjuguées et j j = j j = 1=8 < 12 . P(Ak ) est combinaison linéaire des suites (k ), ( k ),
( k ) donc P(Ak ) ! 0.
k!1
3) En conditionnant par le nombre n de pile consécutifs à la n des k lancers, on obtient
P(Bk ) = 12 P(Bk 1 ) + Pkn=12 P(Bk n 2 )=2n+2 , puis P(Bk+1 ) = P(Bk ) 14 P(Bk 1 ) + 18 P(Bk 2 ).
L'équation caractéristique admet à nouveau trois racines 2 ] 12 ; 1[ et ; non réelles conjuguées de
module < 12 , d'où P(Bk ) ! 0.
k!1
4) Découper la suite des lancers en blocs de taille N .
probas.tex page 4
Exercice 8.
T
S
1) A S
= 1
( 1
A1k ).
n=0
k=P
n
1
2) P( k=n Ak ) 6 k=n P(Ak )
S1
3) 1 P( =
n
! 0.
!1
Ak ) = 1 P(An )+ P(An \ An+1 )+ P(An \ An+1 \ An+2 )+ : : : = (1 P(An ))(1 P(An+1 )) : : :
k n
La série de terme général ln(1 P(An )) est divergente : grossièrement si P(An ) ne tend pas vers
zéro, sinon par équivalence si P(An ) ! 0. Donc le produit inni précédent est nul, ce qui sut à
n!1
conclure.
4) Tous les Ak égaux à un même évènement de probabilité 12 .
Exercice 10.
Soit pn cette probabilité. En conditionnant par le résultat du n-ème lancer, on a
(2n + 1)pn = 1 + (2n 1)pn 1 = : : : = (n 1) + 3p1 = n + 1.
Exercice 11.
1) a) Passer à la limite dans une somme nie.
b) Pk (X ) = 1 si P
k 2 X , 0 sinon. P
2) a) Pour N xé, n6N an;k ! n6N pn et pour
k xé, P 6 a !1
! P 2N a . Cette dernière
convergence
est uniforme par rapport à k car a
6 p donc on peut intervertir les limites :
P
! P 2N p = 1.
2N a !1
La deuxième
P convergence
P résulte de la relation jP (fng) p j = P (N) + p 2a .
b) jP (X )
2 p j 6 2N jP (fng) p j.
k
!1
n
n;k
n
n;k
n
k
Exercice
Q 12.
2) p premier (1
3) De même, si
n
X
n
n;k
n;k
n
N
n
n
k
k
N
n
k
n
k
n
n;k
n
1=p) = 0.
p1 ; : : : ; p sont premiers distincts alors
k
P(n n'a pas de diviseur premier en dehors de p1 ; : : : ; p
k
)=0
et par union croissante : P(N n f1g) = 0, en contradiction avec P(2N) = 12 .
Exercice 13.
1) a) La composée de
N transpositions a au moins n N orbites si N < n et il existe des permutations
à une seule orbite (les n-cycles) donc il faut N > n 1. Cette condition est susante, toute
permutation de n éléments peut être décomposée en au plus n 1 transpositions.
b) Non, la taille de l'univers est n2N qui n'est pas un multiple de n! si n > 3.
2) Oui.
Exercice 14.
2) 1=ns .
4) Les évènements contraires (k n'est pas divisible par
`i ) sont aussi mutuellement indépendants donc
le produit de leurs probabilités est la probabilité de leur intersection qui est égale à f1g.
probas.tex page 5