DS 3 TSTMG version 1 Correction

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Devoir surveillé n°3 – Version 1
Exercice 1 : Optimisation (d’après BAC STG 2007)
Dans une petite entreprise, la fabrication journalière de x
objets impose un coût de fabrication par objet en euros, noté .
f(x).
Cet objet étant vendu 12 € le chiffre d'affaires en euros,
réalisé par l'entreprise par la vente de x objets, est donc le
nombre réel g(x)=12x.
On définit ainsi deux fonctions f et g.
1°) Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :
a) Quel est le coût de fabrication pour une production
journalière de 15 objets ?
Environ 100 €
b) Quelle production journalière correspond à un coût de
fabrication de 525 € ?
Environ 42 objets
c) Pour quelle quantité d'objets fabriqués le coût de
fabrication n'excède-t-il pas 305 € ?
y
1300 Coût de fabrication en €
1200
1100
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
-5 0
Nombre d'objets
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60x
Entre 5 et 35 objets environ
2°) Dans le repère précédent, tracer la droite représentant g
et déterminer graphiquement combien l'entreprise doit
fabriquer d'objets pour être bénéficiaire.
On trace la droite d’équation y = 12 x, passe par l’origine et
de pente 12 ou passe aussi par le point (50 ; 600) par
exemple car 12x50=600
L’entreprise est bénéficiaire lorsque le coût de fabrication est
inférieur à la recette donc pour tous les points de la courbe de
coût en dessous de la droite de recette. Le nombre d’objets
est donc compris entre 12 et 40 environ.
On admet que la fonction f est définie pour tout nombre réel x de l'intervalle [0 ; 50] par : D(E) = E² − HIE + HKI
3°) Montrer que, pour tout nombre réel de l'intervalle [0 ; 50] g(x) – f(x) = -x²+52x-480
Il suffit de simplifier 12x – (x²-40x+480). Attention au signe -.
4°) On désigne par B la fonction définie sur [0 ; 50] par B(x) = -x²+52x-480
Cette fonction B représente le bénéfice réalisé en fonction du nombre d’objets fabriqués.
a) Déterminer la fonction dérivée B' de B sur [0 ; 50].
B’(x) = -2x+52
b) Etudier son signe et en déduire le tableau de variations de B sur [0 ; 50].
B’(x) = 0 pour x = 26. B’(x) <0 pour x > 26 et B’(x) > 0 pour x < 26
5°) En déduire le bénéfice maximal que l'entreprise peut réaliser, en précisant la production journalière correspondante.
Comment peut-on retrouver ce résultat graphiquement ?
La fonction B est donc croissant sur [0 ; 26] et décroissante sur [26 ; 50]. Elle admet donc un maximum sur [0 ; 50] en
x=26. B(26) = 196 .
Le bénéfice maximal est donc de 196 € pour 26 objets fabriqués et vendus. On peut retrouver ce résultat graphiquement
en cherchant pour quelle valeur de x l’écart entre la courbe de recette et de coût est le plus grand.
Exercice 2 : Entourez la bonne réponse
0,5 points par bonne réponse, –0,25
0,25 par réponse fausse, 0 si pas de réponse
1°) Un article est vendu 102 € avec une TVA
à 20 %. Quel est son prix hors taxe ?
2°) Le prix d’un article passe de 40 € à 50 €
entre 2011 et 2013. Quel est son indice en
2013 (indice base 100 en 2011)
3°) Le taux d’évolution moyen qui permet
d’obtenir le triplement d’un prix sur 10 ans
est environ
4°) Si f est telle que f(x)=x4+2x2+5 alors
f’(x) est égal à
5°) La tangente au point d’abscisse 1 à la
courbe représentant la fonction f précédente
a pour équation :
6°) Soient les évènements A et B tels que
p(A) = 0,5, p(B) = 0,75 et p(A∩B)=0,3 alors
pA(B) est égal à :
A
B
C
D
122,4€
81,6€
75€
85€
85€
150
125
110
80
7,17%
11,61%
111,6%
14,9%
4x3+2x
4x4+4x2
4x3+4x
4x3+4x+1
y=8x
y=8x+8
y=11x
y=11x-2
0,6
0,25
0,4
0,95
Exercice 3 : arbre de probabilité
Dans une classe, 60% des élèves sont des filles. 45% des filles et 35% des garçons de cette classe ont 18 ans. On choisit un
élève au hasard. M est l’évènement : « l’élève a 18 ans », F est l’évènement : « l’élève est une fille » et G est
l’évènement : « l’élève est un garçon ».
1°) Traduire les données de l’énoncé en termes de probabilités.
On a p(F) = 0,6 d’où p(G) = 0,4
pF(M) = 0,45 et pG(M) = 0,35 d’où les autres valeurs de probabilité conditionnelles (voir arbre)
2°) Construire un arbre pondéré traduisant l’énoncé.
3°) Utiliser cet arbre pour calculer la probabilité que l’élève choisi soit un garçon âgé de moins de 18 ans.
L’élève choisi au hasard correspond donc à l’évènement G∩M
G [
Or p(G∩M[) = pG(M[) x p(G) d’après la définition de la probabilité conditionnelle. Ainsi
Ai p(G∩M
M[) = 0,65x0,4=0,26
4°) On prend au hasard un élève parmi ceux qui ont 18 ans. Quelle est la probabilité que cet élève soit un garçon ?
Cela se traduit par la probabilité que l’élève soit un garçon sachant qu’il a 18 ans donc pM(G).
Or pM(G) = p(G∩M)/p(M)
Le numérateur vaut 0,4x0,35=0,14.
Il reste à évaluer le dénominateur. L’arbre permet de calculer p(M) comme la somme des probabilités permettant de
réaliser M donc p(M) = 0,6x0,45 + 0,4x0,35 = 0,41
Ainsi pM(G) =0,14/0,41 =0,34 environ