1re année Mathématiques appliquées S1 TD de soutien

Année Universitaire 2014-2015
Licence d’Économie - 1re année
Mathématiques appliquées S1
TD de soutien - Semestre 1
Exercice 1
On considère la fonction f .x/ D x 5 5x.
1) Calculer les dérivées première et seconde de f .x/.
2) Déterminer les extrema de f .x/.
3) Construire le tableau de variation de f .x/ et donner l’allure du graphe de f .
4) Que pouvez-vous dire de la nature des extrema de f ?
Exercice 2
Soit K 2 RC un réel strictement positif et f .x/ la fonction définie par
f .x/ D x 3
1)
2)
3)
4)
5)
3Kx 2
8x 2 R
Calculer les dérivées première et seconde de f .x/.
Déterminer le(s) point(s) critique(s) de f .x/.
Déterminer la nature de(s) point(s) critique(s).
Que pouvez-vous dire lorsque K 2 R est strictement négatif ?
Que se passe-t-il lorsque K D 0 ?
Exercice 3
Étudier la convexité des fonctions suivantes :
f .x/ D x 4
g.x/ D
p
xC1
h.x/ D x 3
x2
k.x/ D
1
x2
Exercice 4
Déterminer les extrema des fonctions suivantes :
f .x/ D x 2
x
g.x/ D
4 C x3
x2
Exercice 5
Déterminer le domaine de définition et calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes :
f .x; y/ D x 2 y
xy 2
g.x; y/ D
p
2x C y
h.x; y/ D
2x C 3y
xy
Exercice 6
Soit f la fonction de deux variables définie par f .x; y/ D xy2 .
1) Déterminer le domaine de définition de f .
2) Déterminer la courbe de niveau 1 de f . En faire une représentation graphique.
3) Calculer les dérivées partielles de f .
4) Représenter le gradient de f en .1; 1/ sur le graphique précédent.
Exercice 7
Trouver les extrema des fonctions suivantes :
f .x; y/ D 2y 3
6xy
x2
g.x; y/ D 2x 4 C y 2
12xy
Exercice 8
Etudier la convexité des fonctions suivantes et déterminer leur extrema :
f .x; y/ D 2x 2 C y 2
xy
g.x; y/ D
1
x2
C
Exercice 9
Résoudre le problème d’optimisation suivant
(
Optimiser f .x; y/ D 8x 3 y 3
.P /
sous la contrainte 2x y D 1.
1) En utilisant la méthode de Lagrange.
2) En utilisant la méthode de substitution
Exercice 10
Résoudre le problème d’optimisation suivant
(
Optimiser f .x; y/ D x 2 C 6y 2
.P /
sous la contrainte 3y x D 1.
Exercice 11
On considère la fonction
f .x/ D `n
1 x
1Cx
1) Déterminer le domaine de définition de f
2) Calculer la dérivée de f .x/.
3) Dresser le tableau de variation de f .x/.
Exercice 12
On considère la fonction f définie sur RC par
f .x/ D e
1)
2)
3)
4)
5)
1=x
8x > 0
Calculer la limite de f .x/ lorsque x tend vers 0C et vers C1.
Calculer la dérivée de f .x/.
Dresser le tableau de variation de f .x/.
Calculer l’élasticité de f .x/.
Interpréter l’élasticité de f lorsque x D 1=2, x D 1 et x D 2.
2
4
p
y