Solutions partielles série d`exercices 3 Pour toute la série d

Solutions partielles série d’exercices 3
Pour toute la série d’exercices, sauf mention du contraire, tous les anneaux considérés
sont commutatifs et unitaires.
Exercice 1 (sol) Soit A un anneau et I ⊆ A un idéal de type fini tel que I 2 = I.
Montrer qu’il existe e ∈ I tel que I = (e) et e2 = e.
Preuve On pose J := I. Alors I est un idéal de type fini tel que JI = I 2 = I. Par le
lemme de Nakayama il existe α ∈ J = I tel que (1+α)I = {0}. En particulier (1+α)α = 0,
i.e., α = −α2 . Si on pose e := −α alors e2 = e. J’affirme que (e) = I. Comme e ∈ I on
a (e) ⊆ I. Montrons l’autre inclusion. Soit x ∈ I. Alors (1 − e)x = (1 + α)x = 0. Ainsi
x = ex ∈ (e). Il suit que I ⊆ (e). Exercice 3 (sol) Soit n ∈ Z≥2 . Déterminer tous les idéaux maximaux de Z/nZ.
Preuve On considère la projection naturelle π : Z → Z/nZ. Soit I ⊆ Z/nZ un idéal
maximal. J’affirme que π −1 (I) est un idéal maximal de Z. En effet, posons M1 := π −1 (I).
Notons que 1 ∈
/ M, car sinon π(1) = 1 ∈ I ce qui contredirait la maximalité de I (un idéal
maximal est différent de A par définition). De plus, comme 0 ∈ I il suit que π −1 (0) = nZ ⊆
M1 . Supposons que nZ ⊆ M1 $ M2 $ Z; on va obtenir une contradiction. Alors par le
théorème de correspondance entre le treillis des sous-groupes de Z/nZ et les sous-groupes
de Z qui contiennent nZ; on obtient que π(M1 ) = I $ π(M2 ) $ Z/nZ. Ceci contredit
la maximalité de I. On doit donc avoir nécessairement que M1 est un idéal maximal de
Z qui contient nZ. On vient donc de montrer que les idéaux maximaux de Z/nZ sont
en bijection avec les idéaux maximaux de Z qui contiennenet nZ (ces idéaux maximaux
correspondent exactement au premiers p|n). Ainsi les idéaux maximaux de Z/nZ sont
donnés par (p) ⊆ Z/nZ pour p un premier tel p|n. Exercice 5 (sol) Soit A un anneau de cardinalité finie. Soit Q ⊆ A un idéal. Montrer
que Q est premier si et seulement si Q est maximal.
Preuve On sait déjà que maximal implique premier. Montrons la réciproque sous
l’hypothèse de finitude de A. Soit P ⊆ A un idéal premier. Alors A/P est un anneau
intègre fini. Or un tel anneau est nécessairement un corps. Donc P est maximal. 1