Qu`est-ce que la relativité générale ?

Qu’est-ce que la relativité générale ?
Glenn Barnich∗
Physique Théorique et Mathématique
Université Libre de Bruxelles
& International Solvay Institutes
Campus Plaine C.P. 231
B-1050 Bruxelles, Belgique
Résumé. Les concepts à la base de la relativité générale sont rapidement
passés en revue. Après une introduction élémentaire des idées physiques et
du formalisme mathématique mis en jeu, les tests classiques de la théorie
sont rappelés et quelques applications récentes sont évoquées. Les trous
noirs et leurs propriétés principales sont brièvement présentés.
∗
Maı̂tre de Recherches du Fonds National Belge de la Recherche Scientifique
2
Relativité générale
1
Introduction
Cette note est basée principalement sur [1, 2].
La gravitation est la plus faible des quatre interactions fondamentales aux échelles
accessibles aujourd’hui. Le rapport des forces gravitationnelle et électromagnétique
entre deux protons est de 10−40 dans des unités standards. La gravitation est cependant très importante pour trois raisons principales : elle est universelle dans le
sens où elle concerne toutes les formes de masse, elle est à longue portée et elle
est toujours attractive ; il n’y a pas de masses négatives et donc pas de possibilités
de compensations. Ceci explique pourquoi la gravitation est la force dominante qui
gouverne la structure de l’univers à grande échelle [3].
La relativité générale est la théorie relativiste de la gravitation. Elle est le fruit
des efforts consentis par Einstein entre 1907 et 1915 pour faire entrer l’interaction
gravitationnelle dans le cadre relativiste. Avant Einstein, la théorie newtonienne
postulait que la force gravitationnelle exercée par une masse ponctuelle m2 sur une
masse ponctuelle m1 était proportionnelle au produit des masses divisé par le carré
de la distance r et dirigée de la première masse vers la deuxième
m1 m2
F~ = G 2 ~1r ,
r
(1)
3
m
G = 6, 67·10−11 kgs
2 . Les effets de l’interaction gravitationnelle se faisaient donc sentir instantanément dans tout l’espace, en contradiction flagrante avec les lois de la relativité restreinte, selon lesquelles aucun signal ne peut se propager plus rapidement
que la vitesse de la lumière. Avant cela, dans sa démarche vers une compréhension
profonde de la théorie de Maxwell des interactions électromagnétiques, Einstein
avait déjà été amené à développer la mécanique relativiste des particules chargées
et à modifier, par là, la conception newtonienne de l’espace et du temps. Dès 1907,
il cherchait une théorie relativiste de la gravitation. Cette quête amena Einstein à
révolutionner encore plus le concept d’espace-temps et, en particulier, à en faire une
entité dynamique à part entière.
2
2.1
Idées physiques et description mathématique
Principe de relativité
En mécanique classique, le principe de relativité restreinte postule que les lois
de la physique sont les mêmes pour tous les observateurs inertiels, c-à-d les observateurs qui sont animés d’un mouvement rectiligne et uniforme sans rotation l’un
par rapport à l’autre. La théorie de la relativité restreinte est née [1] “ ...comme
3
Relativité générale
la réponse à la question : Le principe de relativité restreinte est-il réellement en
contradiction avec les équations de Maxwell dans l’espace vide ?” La réponse à cette
question est qu’il n’y a pas de contradiction si on remplace les transformations de
Galilée,

x0 = x − vt



 y0 = y
(2)

z0 = z


 0
t =t
qui décrivent comment on passe d’un observateur inertiel O de coordonnées (x, y, z, t)
à un observateur inertiel O0 en mouvement rectiligne et uniforme par rapport à O à
la vitesse v dans la direction des x et utilisant le système de coordonnées (x0 , y 0 , z 0 , t0 ),
par les transformations de Lorentz


x0 = √(x−vt)


1−v 2 /c2


 y0 = y
(3)

z0 = z


2


.
 t0 = √t−vx/c
2 2
1−v /c
Dans ces équations, c désigne la vitesse de la lumière, constante pour tous les observateurs inertiels, et t (respectivement t0 ) est le temps mesuré par une horloge au
repos par rapport à O (respectivement O0 ).
Le nouveau principe de relativité restreinte d’Einstein postule que les lois de la
physique ne changent pas de forme lorsque l’on passe d’un référentiel inertiel à un
autre en utilisant les règles de transformations de Lorentz. Comme la transformation
de Lorentz relative au temps t0 fait intervenir les coordonnées spatiales, le concept
de simultanéité est profondément modifié dans la nouvelle théorie. La théorie de
la relativité restreinte amène aussi de nouveaux phénomènes physiques comme, par
4
Relativité générale
exemple, la dilatation du temps, la contraction des longueurs et la célèbre relation
E = mc2 entre énergie et masse.
Cependant, la théorie de la gravitation basée sur la loi de Newton (1) ne trouve
pas de place dans le cadre de la relativité restreinte. Le premier pas vers la relativité générale et le traitement relativiste de l’interaction gravitationnelle fut la
géométrisation de la relativité restreinte par H. Minkowski : en géométrie Euclidienne, la distance ds entre deux points (x, y, z) et (x + dx, y + dy, z + dz) s’exprime
par ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 , d’après le théorème de Pythagore. Les transformations
de l’espace qui laissent invariante cette manière de mesurer les distances sont les
translations et les rotations. De la même manière, les transformations de Lorentz
augmentées des translations dans l’espace et le temps, forment le groupe des transformations de l’espace-temps qui laissent invariant le carré de l’intervalle minkowskien
ds2M in = −c2 dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2 .
2.2
(4)
Principe d’équivalence
La théorie relativiste de la gravitation repose sur le fait expérimental que, dans
un champ gravitationnel constant, tous les corps tombent de la même manière. Ceci
se traduit par l’égalité numérique entre la masse inertielle mi (celle qui figure dans la
loi de la dynamique F~ = mi~a comme constante de proportionnalité entre le vecteur
force et le vecteur accélération) et la masse gravitationnelle m (qui intervient dans
la loi de Newton (1)).
Einstein comprit que cette égalité numérique indiquait réellement une équivalence
entre gravitation et inertie. Il construisit sa théorie à partir de l’idée que les effets d’un champ gravitationnel peuvent être compensés en utilisant un référentiel
accéléré. Plus précisément, Einstein postule que dans un référentiel en chute libre,
les lois de la physique sont celles valables en absence de champ de gravitation, c-à-d
celles de la relativité restreinte dans un référentiel inertiel. Vice versa, les forces
dues à l’accélération d’un référentiel peuvent être vues comme équivalentes aux
forces gravitationnelles dans un référentiel inertiel.
2.3
Géométrie pseudo-riemannienne
Si on admet des référentiels accélérés, l’intervalle minkowskien n’est plus invariant, mais peut se transformer en un intervalle dont les coefficients dépendent des
coordonnées de l’espace-temps xµ , où x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z,
2
ds =
3
X
µ,ν=0
gµν (xλ )dxµ dxν .
(5)
5
Relativité générale
La théorie mathématique qui traite des espaces munis d’une telle structure est la
géométrie (pseudo)-riemannienne. Dans ce cadre mathématique, le principe d’équivalence
s’exprime par le fait que localement, c-à-d au voisinage d’un point, on peut toujours
trouver un système de coordonnés dans lequel l’intervalle (5) se réduit approximativement à l’intervalle minkowskien (5), qui s’écrit dans cette notation ds2M in =
P3
µ
ν
µ,ν=0 ηµν dx dx avec ηµν = diag(−1, 1, 1, 1). Il n’est généralement pas possible de
trouver de référentiel dans lequel ceci est valable partout. L’obstruction à l’existence d’un tel référentiel est à chercher dans le tenseur de courbure de Riemann
λ
Rµνρ
construit sur la métrique gµν et ses dérivées.
Pour illustrer ceci, prenons un exemple de géométrie riemannienne à 2 dimensions1 . Si nous voulons mesurer l’aire de notre jardin, nous pouvons utiliser la
géométrie Euclidienne et le théorème de Pythagore, et ignorer le fait que la surface de la terre est (approximativement) une sphère. Ainsi, au moins à l’échelle de
notre jardin, les effets de courbure de la Terre sont négligeables. Ceci n’est plus vrai
à plus grande échelle : le trajet le plus court en avion Bruxelles- New York, passe le
long d’un grand cercle. Sur une carte plane de l’hémisphère nord, ce chemin décrit
un arc de cercle et paraı̂t plus long que le segment de droite reliant Bruxelles à New
York.
2.4
Équations d’Einstein
Pour Einstein, le champ qui décrit la géométrie de l’espace-temps et aussi la
gravitation est donc la métrique gµν (xλ ) qui intervient dans l’expression générique
d’un intervalle de longueur. Partant du principe d’équivalence, il réussit finalement
en 1915 à trouver les équations qui relient cette métrique au tenseur d’énergieimpulsion T µν , en particulier à la densité d’énergie de la distribution de matière.
Les équations dynamiques pour le champ de gravitation gµν (xλ ) s’écrivent en termes
du tenseur de Ricci Rµν et de la courbure scalaire R, tous deux des combinaisons
du tenseur de courbure de Riemann et de la métrique :
1
8πG
Rµν − gµν R = 4 Tµν
2
c
(6)
En 1917, en vue d’obtenir une solution de ses équations globalement homogène et
stationnaire, d’intérêt cosmologique c-à-d applicable à l’univers, Einstein proposa
une modification de (6) par l’introduction d’une constante cosmologique.
Dans la relativité générale, la structure de l’espace-temps, révélée au travers
du tenseur métrique et décrivant tous les effets gravitationnels, devient donc une
entité dynamique régie par la distribution de matière. Par ailleurs, la courbure de
1
L’auteur remercie P. Spindel pour lui avoir suggéré cette analogie.
6
Relativité générale
l’espace-temps dicte les règles du mouvement de cette matière. C’est ce qu’expriment
les équations d’Einstein.
3
Tests classiques et applications
3.1
Limite Newtonienne
Un guide essentiel dans la construction même de la théorie de la relativité
générale est l’exigence que celle-ci contienne - dans une limite de champs faibles et de
vitesses non relativistes - la gravitation de Newton, dont les succès sont indéniables
au niveau de la physique terrestre et du système solaire.
Ainsi, à l’approximation newtonienne, la composante temporelle de la métrique
est
GM
c2 r
où φ est le potentiel newtonien produit par un corps de masse M .
g00 ≈ −(1 + 2φ),
3.2
φ=−
(7)
Décalage des fréquences vers le rouge et GPS
Comme conséquence du fait que la géométrie de l’espace-temps est gouvernée par
la métrique gµν (x), le temps s’écoule moins vite près d’une distribution de masse.
Cet effet est indépendant des équations d’Einstein pour la métrique et apparaı̂t déjá
à l’approximation newtonienne. C’est pour cela qu’il a pu être prédit par Einstein
dès 1907.
Si dτ est l’intervalle temporel entre deux tics successifs d’une horloge en absence
de champ de gravitation, on montre que, si cette même horloge est au repos dans
un champ gravitationnel, le temps entre deux tics est donné par
dt = √
1
GM
dτ ≈ dτ + 2 dτ.
−g00
cr
(8)
Plus on est proche de la masse, plus le temps mesuré est long ; le temps s’écoule
donc plus lentement plus près de la masse : le garçon vivant sur la montagne vieillit
plus vite que son jumeau dans la vallée.
Pour ne pas introduire d’erreurs dans la détermination des positions, il faut tenir
compte de cet effet dans le système GPS, qui fait intervenir des horloges très précises
embarquées sur des satellites.
Notons que pour les fréquences ν, l’effet est inversé : dν est d’autant plus grand
que l’on est plus loin de la terre. Mesurées sur la terre, les fréquences d’un processus
produit sur le soleil subissent donc un décalage vers le rouge.
7
Relativité générale
3.3
La solution de Schwarzschild
Probablement la solution la plus importante des équations d’Einstein est la solution qui décrit un champ gravitationnel à l’extérieur d’un corps sphérique de masse
M,
ds2 = −(1 −
dr2
2GM 2 2
)c
dt
+
+ r2 (dθ2 + sin2 θdφ2 )
c2 r
1 − 2GM
2
c r
(9)
Cette solution fut découverte par K. Schwarzschild en 1916, peu avant sa mort, alors
qu’il était militaire sur le front de l’Est durant la première guerre mondiale.
3.3.1
Avance du périhélie
La théorie de Newton a été construite de manière à rendre compte des lois de
Kepler sur les mouvements des planètes. La première de ces lois stipule que l’orbite
d’une planète de masse m dans le champ gravitationnel du soleil - de masse M
beaucoup plus grande que m - est une ellipse dont le soleil occupe un des foyers.
En étudiant plus précisément les orbites des planètes, les astronomes ont vu que ces
orbites ne sont pas des ellipses parfaites, mais qu’elles précessionnent : la planète
doit parcourir plus qu’un tour pour repasser à son périhélie, le point de l’orbite le
plus proche du soleil.
(Source image : [4].)
Une grande partie de cet effet est expliquée dans la théorie de Newton par la
présence des autres planètes. Cependant, même en tenant compte de ces corrections,
il reste une différence non expliquée entre théorie et observations. Dans notre système
planétaire cette différence est la plus importante pour Mercure, qui est la plus proche
du soleil ; elle vaut 43 secondes d’arc par siècle. C’est précisément la correction
relativiste prédite par les équations d’Einstein. Ces corrections se calculent assez
Relativité générale
8
facilement par l’étude de la trajectoire d’un corps de petite masse dans le champ de
gravitation du soleil, décrit par la métrique (9).
3.3.2
Déviation des rayons lumineux
Par un calcul du même type mais relatif cette fois-ci aux rayons lumineux dans
le champ de gravitation relativiste (9) du soleil, on montre que ces trajectoires sont
déviées deux fois plus que dans la théorie de Newton.
(Source Image : [5].)
Pour mettre ceci en évidence, pendant une éclipse solaire, on observe une étoile
dont la lumière frôle le soleil. La véritable position de l’étoile a été déterminée six
mois auparavant, quand la terre se trouvait entre le soleil et l’étoile. En comparant
cette position avec la position apparente de l’étoile lors de l’éclipse, on a accès à la
déviation des rayons lumineux produite par le soleil. Les prédictions de la relativité
générale sont en bon accord avec les observations. Dès 1919, Eddington apporta la
première vérification expérimentale de ce phénomène lors d’une expédition vers deux
ı̂les de l’Atlantique où une éclipse permettait de faire les mesures nécessaires. Cette
vérification spectaculaire valut à Einstein une célébrité immédiate auprès d’un large
public.
C’est la même déviation des rayons lumineux qui permet de comprendre l’effet
de lentille gravitationnelle produit par un objet très massif lors de l’observation d’un
objet très lumineux.
Relativité générale
9
(Source image : [6].)
3.3.3
Retard de l’écho radar
Un test plus récent consiste à mesurer le retard de l’écho d’un signal radar envoyé
depuis la terre vers Mercure ou Vénus. En relativité générale, le temps de parcours
d’un rayon lumineux est plus long qu’en physique newtonienne car leur trajectoire
est, comme on l’a vu plus haut, courbée par le champ de gravitation du soleil.
3.4
Ondes gravitationnelles
Dans l’approximation des champs gravitationnels faibles, la métrique diffère peu
de la métrique de l’espace-temps de Minkowski, gµν = ηµν + hµν , avec hµν petit. Si on développe les équations d’Einstein au premier ordre en les perturbations
hµν , on trouve des solutions hµν qui ont des propriétés très semblables aux ondes
électromagnétiques de la théorie de Maxwell : ce sont des superpositions d’ondes
planes voyageant à la vitesse de la lumière.
Une onde gravitationnelle qui passe va affecter notre manière de mesurer les
longueurs dans l’espace-temps.
(Source image : [7].)
Relativité générale
10
En imaginant l’espace-temps comme une surface à deux dimensions, elle peut
être représentée comme une onde à la surface de l’eau.
(Source image : [8].)
(Source image : [9].)
Les ondes gravitationnelles sont très difficiles à détecter car leur amplitude est
inversement proportionnelle à la distance parcourue depuis leur source jusqu’à la
terre. Pour avoir une chance de les détecter, il faut des sources très puissantes, des
étoiles binaires par exemple, et des détecteurs très précis.
De tels détecteurs, basés sur l’utilisation d’interféromètres à lasers pour mesurer les distances avec précision, sont actuellement en construction : LIGO (USA),
VIRGO (Italie/France), GEO (Allemagne/Grande-Bretagne), et TAMA (Japon). Il
y en a même un, LISA, qui sera envoyé dans l’espace en 2011. La construction de
ces détecteurs est motivée par l’espoir que les ondes gravitationnelles fournissent de
nouvelles informations sur les sources qui les produisent, et donc sur notre Univers.
(Source image : [9].)
Une preuve indirecte de l’existence d’ondes gravitationnelles existe. Elle utilise un
pulsar binaire découvert en 1974. Il s’agit de deux étoiles qui tournent l’une autour
Relativité générale
11
de l’autre. Une de ces étoiles émet à intervalles réguliers des ondes radio. Il est
alors possible de calculer l’énergie qui sera emportée par les ondes gravitationnelles
du fait de la rotation du système. Cette perte d’énergie implique que les étoiles se
rapprochent l’une de l’autre et tournent de plus en plus rapidement. C’est ce qui est
réellement observé et la valeur théorique est en très bon accord avec les observations.
La découverte du pulsar et la preuve de l’existence d’ondes gravitationnelles ont valu
à Hulse et Taylor le prix Nobel de physique de 1993.
3.5
Cosmologie
Comme ces questions seront traitées ailleurs, nous ne les reprendrons pas ici.
Notons seulement que la relativité générale est à la base de la cosmologie moderne.
4
Trous noirs
Dans la préface du livre de Thorne sur les trous noirs, référence [10], Hawking
écrit : “... il n’y avait pas de résultats expérimentaux pour guider les chercheurs.
Au contraire, la théorie des trous noirs a été développée avant toute observation
potentielle de leur existence. Je ne connais aucun autre exemple en science où une
extrapolation aussi importante basée sur la pensée pure a eu un tel succès. Ceci
montre la puissance remarquable et la profondeur de la théorie d’Einstein.”
Le trou noir le plus simple est décrit par la solution de Schwarzschild (9) pour
toute valeur de r, sauf dans un très petit voisinage de r = 0 où se trouve concentrée
toute la masse. Comme la courbure de l’espace-temps devient infinie en r = 0, il
n’est plus possible, en restant dans le cadre de la relativité générale classique, de
comprendre ce qui s’y passe.
Outre la singularité en r = 0, ce trou noir possède un horizon : il s’agit de la
surface, située en r = 2GM
, qui divise l’espace-temps en deux régions. Aucun signal
c2
émis à l’intérieur ne peut sortir en traversant l’horizon. C’est pourquoi, pour un
observateur extérieur, l’horizon apparaı̂t comme la limite d’un objet complètement
Relativité générale
12
noir.
(Source Image : [5].)
Les trous noirs possèdent d’autres propriétés remarquables (ils sont univoquement déterminés par un petit nombre de paramètres et jouissent d’étonnantes propriétés thermodynamiques) qui font de ces objets des laboratoires privilégiés où
tester des candidats à une théorie quantique de la gravitation.
Pour une étoile ordinaire, la singularité en r = 0 et l’horizon se trouvent bien à
l’intérieur de l’étoile, où la solution de Schwarzschild n’est pas d’application, mais
où se trouve la matière qui compose l’étoile.
Les relativistes ont calculé qu’un trou noir doit se former lorsqu’une étoile suffisamment lourde s’effondre sous son propre poids. Dans ce cas, contrairement à ce qui
se produit dans des étoiles plus légères, il n’existe plus de configuration d’équilibre
où la force de gravité peut être compensée par la pression quantique des électrons
(naine blanche) ou des neutrons (étoile à neutrons).
Même s’il n’y a pas encore de preuve irréfutable de l’existence de trous noirs
dans notre Univers, un certain nombre d’objets astronomiques ont été répertoriés
qui sont d’excellents candidats trous noirs. En fait, les observations actuelles rendent
très plausible l’existence d’un trou noir géant au centre de notre galaxie.
5
En savoir plus
Parmi les livres de vulgarisations sur la relativité générale, on peut mentionner
tout particulièrement ceux de K.S. Thorne [10], de J.A. Wheeler [11].
Loin d’être une curiosité historique, l’édition spéciale du journal “Nature” [12] de
1921 dédiée à la relativité générale contient les appréciations des experts de l’époque
et s’avère extrêmement instructive. Rappelons que c’est en 1921 qu’Albert Einstein
Relativité générale
13
a reçu le prix Nobel de Physique, non pour sa théorie de la Relativité Générale,
mais pour son explication de l’effet photoélectrique.
Réellement comprendre la relativité générale signifie l’étudier, par exemple dans
une des références standard [13, 14, 15], ou plus moderne [16, 17, 5, 18, 19, 20].
Deux revues récentes [2, 3] insistent tout particulièrement sur le fait que la
relativité générale est désormais une théorie physique utile, nécessaire en pratique
et pas seulement une très belle construction théorique et mathématique.
Remerciements
L’auteur remercie C. Schomblond pour son aide précieuse. Ce travail est financé en partie par un “Pôle d’Attraction Interuniversitaire” (Belgique), par l’IISNBelgique, convention 4.4505.86, par le Fonds National Belge de la Recherche Scientifique, par les projets FONDECYT 1970151 et 7960001 (Chili) et par le programme
MRTN-CT-2004-005104 de la Commission Européenne, dans lequel l’auteur est associé à la V.U. Brussel.
Références
[1] A. Einstein, “A Brief Outline of the Development of the Theory of
Relativity,” Nature 106 (1921) 782–784.
[2] T. Damour, Einstein aujourd’hui, ch. Relativité générale. Savoirs actuels.
EDP Sciences/CNRS Éditions, 2005.
[3] J. Hartle, “General Relativity in the Undergraduate Physics Curriculum,”
(2005) 9, gr-qc/0506075.
[4] O. Kerr. Orbit of a planet around the Sun.
[5] R. d’Inverno, Introducing Einstein’s relativity. Oxford University Press, 1992.
[6] NASA,The Imagine Team, 1997-2005. Gravitational Lensing.
[7] S. M. Carroll, “Lecture notes on general relativity,” gr-qc/9712019.
[8] NCSA, University of Illinois. Ripples in Spacetime.
[9] NASA, The Imagine Team, 1997-2005. One the Edge : Gravitational Waves.
[10] K. Thorne, black holes and time warps : Einstein’s outrageous legacy. W.W.
Norton& Company, Inc, New York, 1995 ed., 1994.
[11] J. Wheeler, A Journey into Gravity and Spacetime. No. 31 in Scientific
American Library. W.H. Freeman and Company, New York, 1999 ed., 1990.
Relativité générale
14
[12] Nature 106 (1921) 781–811. Special issue on general relativity online.
[13] C. Misner, K. Thorne, and J. Wheeler, Gravitation. W.H. Freeman, New
York, 1973.
[14] S. Weinberg, Gravitation and Cosmology : Principles and Applications of the
General Theory of Relativity. John Wiley & Sons, 1972.
[15] S. Hawking and G. Ellis, The large scale structure of space-time. Cambridge
University Press, 1973.
[16] R. Wald, General Relativity. The University of Chicago Press, 1984.
[17] B. Schutz, A First Course in General Relativity. Cambridge University Press,
1985.
[18] E. Taylor and J. Wheeler, Exploring Black Holes : Introduction to General
Relativity. Addison Wesley Publishing Company, 2000.
[19] J. Hartle, Gravity : An Introduction to Einstein’s General Relativity. Addsion
Wesley, 2002.
[20] S. Carroll, Spacetime and Geometry : An Introduction to General Relativity.
Addison Wesley, 2003.