Pricing des produits dérivés de crédit dans un mod`ele `a intensité

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Pricing des produits dérivés de crédit dans un modèle
à intensité
Nordine Bennani & Cyril Sabbagh
Table des matières
1 Présentation générale des dérivés de crédit
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Pourquoi des produits dérivés sur risque de crédit
produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Les dérivés de crédit . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Typologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 L’utilisation concrète des dérivés de crédit . . . . .
1.5 Evolution récente du marché des dérivés de crédit .
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la nécessité
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de tels
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2 Analyse empirique
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2.1 Analyse factorielle de la structure par terme risquée . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Nature des données utilisées et principaux résultats . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Modélisation du défaut et règle de pricing risque-neutre
3.1 Structure d’information et hypothèses de modélisation . .
3.2 Une règle de pricing risque-neutre . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Hypothèse RMV et approche en temps discret . . .
3.2.3 Cadre théorique en temps continu . . . . . . . . . .
4 Modélisation du taux risqué : un cadre
4.1 Motivation et cadre de modélisation . .
4.2 Obligation zéro-coupon risquée . . . .
4.3 Condition de drift HJM . . . . . . . .
4.4 Choix d’un modèle à facteurs . . . . .
HJM adapté
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5 Pricing des produits dérivés de crédit
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5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.1.1 Prix d’une obligation zéro-coupon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.1.2 Obligation à coupons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
Credit Default Swap . . . . . . . . . .
Total Return Swap . . . . . . . . . . .
Option sur zéro-coupon risqué . . . . .
Option sur obligation risquée à coupon
Option sur spread de crédit . . . . . .
5.6.1 Description du contrat . . . . .
5.6.2 Modélisation . . . . . . . . . .
5.6.3 Méthode et formule de pricing .
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6 Une méthode de calage par ACP
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Modélisation via deux facteurs . . . . . . .
6.3 Méthode de calage utilisant les résultats de
6.3.1 Cadre théorique . . . . . . . . . . .
6.3.2 Application . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . .
7 Annexes
7.1 Annexe 1 : Diffusion du zéro-coupon risqué
7.2 Annexe 2 : ACP sur taux risqués . . . . .
7.3 Annexe 3 : ACP sur spread de crédit . . .
7.3.1 ACP pour la classe de rating AAA
7.3.2 ACP pour la classe de rating BBB1
2
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l’ACP
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1.1
Présentation générale des dérivés de crédit
Introduction
Avec la mondialisation des échanges, l’arrangement financier d’une transaction est
devenu tout aussi important que la transaction commerciale elle-même. Mais cette mondialisation et recherche constante de nouvelles parts de marché, que ce soit dans le monde
commercial ou le monde financier, conduit entreprises et institutions financières à s’engager dans des transactions où les risques de marché côtoient de très près un risque de plus
en plus présent se rapportant à la qualité de leurs interlocuteurs en tant que débiteurs :
le risque de crédit.
1.2
Pourquoi des produits dérivés sur risque de crédit : la nécessité
de tels produits
Le risque n’est pas nouveau, ni l’existence de moyens pour le gérer. Les méthodes de
gestion traditionnelle du risque de crédit reposent sur la gestion a priori et la gestion a
posteriori du risque de crédit.
L’exposition au risque de crédit est traditionnellement gérée a priori dans les banques
par des méthodes d’analyse financière et par l’allocation de limites d’engagements. La
gestion a posteriori est celle du suivi des engagements. Une fois le crédit accordé, si la
qualité de l’emprunteur se détériore, il ne reste généralement que deux solutions à la
banque : avoir recours aux provisions ou bien solder leur position en enregistrant une
perte.
De manière générale, ce risque de détérioration est appréhendé et pris en compte de
manière directe grâce à l’utilisation de lettres de crédit, du crédit fractionné ou reconductible, de demandes de garanties et d’assurances diverses. Et de manière indirecte, avec les
limites de crédit, l’amortissement progressif (sinking fund), les appels de marge et le provisionnement des prêts. Ensuite, en titrisant la dette et en offrant des “asset derivatives“
on s’est rendu compte que l’on pouvait en quelque sorte arriver à transférer ce genre de
risque, mais pas encore à l’isoler. Effectivement la titrisation des emprunts permet de se
débarrasser en quelque sorte du risque de défaut de la contrepartie mais l’on se débarasse
aussi du placement réalisé dans cet emprunt.
On dispose aujourd’hui pour les risques de marché d’instruments et de moyens de
couverture financière et indépendante de la nature des flux que l’on veut couvrir. De plus,
la flexibilité de ces instruments provient de leur standardisation et de leur liquidité. C’est
ce genre de moyens que l’on recherche aujourd’hui pour le risque de crédit.
Au rang des différentes raisons qui ont poussé à la création des dérivés de crédit au
début des années 1990, on peut donc déjà retenir les suivantes :
–la volonté des intermédiaires financiers de se protéger de manière plus efficace contre
le risque de crédit,
–la constatation d’un écart de plus en plus grand entre les méthodes de gestion des
risques de marché (taux et change) dont la sophistication était croissante, et celles de
3
gestion du risque de crédit.
Mais il ne faut pas omettre de mentionner la présence de contraintes réglementaires :
–la réglementation prudentielle des banques, définie par le comité de Bâle en 1988,
qui impose aux intermédiaires financiers une meilleure connaissance du couple risque /
rentabilité, notamment en terme de consommation de capital (ratio Cooke), et une gestion
actifs / passifs plus dynamique,
–la croissance exponentielle des activités de produits dérivés de gré à gré et la forte
implication des banques dans ces marchés qui ont rapidement conduit à des dépassement
de limites d’autorisation par contrepartie (Ceci a été un des facteurs décisifs qui a amené
les institutions financières à trouver des solutions afin de générer de nouvelles lignes de
crédit).
Enfin, il y a également la nécessité de répondre à un impératif stratégique d’innovation
et d’exploitation de nouveaux créneaux.
1.3
1.3.1
Les dérivés de crédit
Définition
Les produits dérivés sur risque de crédit sont de manière très générale des accords
faits sur mesure entre deux contreparties où le profil de résultat est lié à une mesure de
la valeur de crédit d’un actif de référence, plus ou moins indépendamment de l’évolution
des facteurs de marché. En fait, plus simplement un dérivé de crédit est un instrument
financier qui permet de se protéger contre la défaillance d’une contrepartie. On peut donc,
pour résumer tenter de donner la définition suivante :
Peut ainsi être considéré comme un credit derivative tout instrument dérivé permettant de valoriser et de négocier le risque de crédit d’un actif sous-jacent, plus ou moins
indépendamment des risques de marchés inhérents à ce même actif.
Les credit derivatives prennent donc la forme de contrats financiers impliquant un
échange de paiements et dont l’un au moins des flux échangés est déterminé par l’évolution
du risque de crédit de la référence sous-jacente au contrat.
Le risque de crédit que l’on vise ainsi à isoler s’analyse comme une combinaison du
risque de défaillance, et du coût d’une telle défaillance éventuelle.
La nouveauté apportée par les credit derivatives réside dans cette séparation du risque
de crédit et des autres composantes du risque d’un actif, et dans la possibilité de réaliser
un transfert de ce risque sur le marché.
Cet isolement de la composante risque de crédit d’un actif est théoriquement réalisable
quel que soit l’actif sous-jacent : titres obligataires, prêts bancaires, swaps...
Les événements retenus comme étant constitutifs du risque de crédit sont :
– la faillite, l’insolvabilité ou un impayé d’une contrepartie,
– le changement de rating de celle-ci ou de l’actif de référence, et autre événement qui
lui est lié : l’évolution de la prime de crédit (credit spread) dans le prix de l’actif de
référence.
C’est à partir de ces deux séries d’événements que vont se décliner les principaux
dérivés de crédit.
4
1.3.2
Typologie
Les principales caractéristiques des dérivés de crédit sont qu’ils sont échangés de gré
à gré et qu’il y a une singularité du sous-jacent qui dans un sens large est le crédit (sont
principalement utilisés les titres obligataires et les asset swaps).
On peut distinguer trois grandes classes de dérivés de crédit :
– les dérivés de crédit sur la probabilité de défaillance d’un émetteur,
– les dérivés de crédit qui ne s’intéressent qu’à une variation du spread de l’émetteur,
c’est à dire à un variation de leur coût de financement qui entraı̂nerait une baisse
de leurs titres de dette déjà émis,
– et enfin, les dérivés de crédit composites qui intègrent les deux notions précédentes.
Produits dérivés sur le risque de défaut (credit default derivatives)
– Les swaps sur événement de crédit (credit default swaps) :
Ils sont traités sous la même forme que celle réglementée par l’ISDA (International
Swap and Derivatives Association : association regroupant les principaux intervenants
sur les produits dérivés (swaps, options,...) et ayant défini un contrat cadre pour régir les
opérations sur ces produits). L’acheteur de la protection, c’est-à-dire celui qui détient une
certaine exposition au risque de crédit, paie périodiquement une prime à la contrepartie
(exprimée en points de base du montant notionnel) en échange d’un paiement déclenché
par un des événements de risque de crédit.
Par exemple, ce paiement peut être calculé d’après la différence entre la valeur au pair
de l’obligation et la valeur recouvrable de celle-ci dans le cas du défaut de la contrepartie
en référence.
Fig.˜1 – Credit Default Swap
De manière générale ce type d’instrument se définit comme « un contrat financier
bilatéral amenant une des contreparties (l’acheteur de la protection contre le risque de
5
défaut) à payer une commission périodique - typiquement exprimée en points de base
du montant notionnel total de la transaction - et l’autre contrepartie (le vendeur de la
protection contre le risque de défaut) à se tenir prête à effectuer un paiement contingent
au défaut (ou à la survenance de tout autre événement de crédit prédéterminé) d’une (ou
plusieurs) partie(s) tierce(s) sur des crédits servant de référence au contrat »
La jambe « fixe »du swap (m points de base par an multipliés par le montant notionnel
de la transaction) représente le paiement périodique que l’acheteur de la protection est prêt
à payer pendant la durée de vie du contrat. Négocié sur une base annuelle, le versement de
la prime est généralement trimestriel, et son paiement ne peut dépasser la date d’exercice
du contrat.. Le calcul de cette prime sera détaillé dans la partie destinée au pricing.
La jambe « variable »du swap représente la perte des créditeurs sur l’actif de référence
si l’événement de crédit survient. Le déclenchement du paiement de la compensation en
cas de survenance de l’événement de crédit est le plus souvent automatique. Dans ce
cas on parle de default swap. Le paiement peut aussi être déclenché par l’acheteur de la
protection, et dans ce cas on parle de « credit default option »(les options de vente « credit default put option »- sont les plus répandues).
– Les obligations à option sur crédit (credit-linked notes) :
Malgré le succès des swaps sur défaut, les contraintes de gestion des investisseurs, les
besoins de financement des banques et le besoin de diversification des produits (rendementrisque, maturité), ont crées un besoin de produits cash de type obligataires, auxquels sont
attachées des options sur le risque de défaut d’un emprunteur de référence.
Ces instruments sont surtout destinés à des investisseurs ne pouvant ou ne préférant
pas participer à des swaps ou autres produits dérivés. Ils consistent en général en un
titre à rendement fixe standard auquel est attaché une option sur crédit qui donne droit
à l’émetteur de réduire le niveau des coupons suite à la détérioration de variables financières-clé prédéterminées. Ils permettent à l’émetteur d’obtenir des investisseurs une
assurance de crédit. Ces produits sont souvent établis sur la base de regroupements d’actifs qui permettent aux investisseurs, au travers de special purpose vehicles, d’avoir accès
à des portefeuilles diversifiés de prêts. C’est de nouveau une manière comme une autre de
transférer le risque de crédit. La seule remarque que l’on peut de nouveau faire c’est que ce
genre de produit ne permet pas véritablement à lui seul d’isoler et de traiter uniquement
le risque de crédit. Tout dépend des autres positions que détiennent les investisseurs dans
leur portefeuille.
Les flux se résument ainsi : à l’origine (t0), l’émetteur reçoit le montant du prêt ; entre
t0 et T, l’émetteur paie les intérêts du prêt mais a l’option de réduire ces paiements si
une des var. finanacières définies dans le contrat venait à se détériorer, à l’échéance T,
l’émetteur rembourse l’emprunt.
Les credit linked notes permettent de réduire ou de supprimer le risque de contrepartie
pour les deux parties du contrat. En effet, ces notes sont généralement émises par de
banques ou par des véhicules d’émission spécialisées (SPVs), appelées bankruptcy - remote
special - purpose vehicles. Ces dernières ont l’avantage de réduire le risque lié à l’émetteur
des notes, car les liquidités résultant de l’émission de ces produits sont réinvesties dans
des titres sûrs, au profit des investisseurs. Le risque de défaut de l’émetteur de l’actif de
6
référence est dans ce cas le risque principal supporté par le vendeur de la protection. De
plus, l’acheteur de la protection est couvert contre le défaut du vendeur de la protection
car il reçoit au début du contrat le montant correspondant au principal.
La variante « classique »d’une note liée au risque de crédit a la particularité de lier
les paiements au défaut d’un seul crédit de référence.
Fig.˜2 – Credit-Linked Notes
Un événement de crédit intervenant avant la maturité de la note déclenche l’arrêt
de paiement des coupons et le remboursement anticipé du principal selon les différentes
modalités vues précédemment.
Produits dérivés sur prime de crédit (credit spread derivatives)
– Les contrats à terme sur prime de crédit (credit spread) :
Les plus simples mais pas les premiers à apparaı̂tre. Ils se basent sur l’évolution de la
prime de crédit ajoutée au prix d’un emprunt par rapport à un emprunt hors-risque. Ce
contrat permet aux contreparties de prendre des positions sur :
nnle prix futur d’une obligation,
nnou l’écart futur entre deux actifs financiers, un des deux étant un actif de référence
tel qu’un emprunt d’état ou interbancaire. L’écart entre l’obligation et l’obligation d’état
constitue le “credit spread“. A échéance, l’acheteur de ce contrat paie un montant dépendant
de la différence entre le spread conclu à l’origine du contrat et le spread prévalant à
l’échéance.
Le risque de crédit est donc à la charge de l’acheteur du contrat. Dans le cas d’un
événement de crédit tel que défini ci-dessus pendant la durée du contrat, on fait appel au
marking-to-market et au dénouement de la transaction.
– Les options sur prime de crédit (credit spread) :
7
Leur principe est le même que pour les contrats à terme sauf que leur profil est
asymétrique. Le règlement final est au pire des cas nul pour l’acheteur de l’option qui
n’exercera que si ce règlement est favorable pour lui. Il est principalement traité sous
forme de put de défaut. L’acheteur paie la prime du put lequel lui donne droit à un paiement de la part du vendeur en cas d’un des événements de crédit définis antérieurement,
pendant une période prédéfinie.
La prime peut être soit un paiement unique soit un versement périodique. Le paiement
en cas événement peut aussi revêtir différentes formes :
nnsoit la différence (si positive à l’échéance, ce qui constituerais un des événements
cités) entre la prime de crédit à l’échéance d’un actif de référence (ex. : une obligation) et
la prime définie comme prix d’exercice,
nnsoit la différence entre la valeur au pair et la valeur après-défaut de l’actif de
référence tel que définie par un pool de dealers,
nnsoit un pourcentage fixé du montant notionnel de la transaction,
nnsoit encore le paiement au pair de la part du vendeur en échange de la livraison
physique de l’actif de référence qui se trouve en défaut de paiement.
Comme dans tout contrat d’option, la perte maximale pour l’acheteur du put est la
prime de l’option elle-même.
Le plus souvent, les crédits spreads options sont structurées sur des asset swaps (En
effet, en cas de défaut le spread augmente fortement et le put devient dans la monnaie). Si
à l’exercice l’option est dans la monnaie, une soulte est payée (cash settlement) ou l’asset
swap est livré (physical delivery).
Fig.˜3 – Credit Spread Option
Dans le cas d’un put, l’acheteur livre à l’exercice l’actif de référence contre le paiement
du strike (fonction du spread de crédit). L’acheteur du put enregistre un gain si le spread
de l’actif de référence augmente au delà du spread d’exercice. Le profit du vendeur est
égal à la prime, tant que le spread ne dépasse pas le strike.
Le profil d’une transaction sur un call est symétrique. L’acheteur profite d’une baisse
du spread de l’actif de référence en dessous du spread d’exercice, tandis que le vendeur
8
du call gagne la prime tant que le spread de l’actif de référence este au dessus du spread
d’exercice.
– Les options exotiques sur spread de crédit
(1) Options digitales
La particularité de ces produits est le paiement par l’acheteur de l’option d’une somme
fixée à l’avance, indépendante de la valeur du sous-jacent par rapport à la marge d’exercice,
lorsque l’option expire dans la monnaie. Les options digitales peuvent être appliquées soit
aux spreads de crédit soit aux default swaps. La principale limite de ce type d’option est
sa valorisation.
(2) Options à barrière (default-and-out)
Une option à barrière sur spread de crédit est une option qui est activée ou désactivée
par la survenance de crédit. Les puts à barrière permettent à leurs vendeurs de prendre
seulement le risque de dégradation de la marge de crédit, sans supporter le risque de
défaut. Ce dernier est pris par l’acheteur du put, car en cas de désactivation du put, il
court un risque de défaut sur l’actif de référence.
– Les caps et floors sur spread de crédit
Le fonctionnement des caps et des floors sur marge de crédit est semblable à celui des
mêmes produits sur taux d’intérêts. L’achat d’un cap permet de fixer un spread de crédit
plafond sur des emprunts futurs. Symétriquement, l’achat d’un floor bloque une marge de
crédit plancher. Ces produits sont utilisés essentiellement pour les financement de projets
de long terme.
Malgré son intérêt particulier, l’utilisation des caps et floors est limitée par plusieurs
facteurs. On peut noter le niveau élevé du thêta du à la pente très forte de la courbe de
crédit forward ; la détermination difficile des fixings, le marché n’étant pas centralisé ; les
difficultés à estimer une volatilité sur risque de crédit.
Produits de réplication synthétique
– Les swaps de rendement total (total return swap) :
Ce sont les plus traités. Ce furent les premiers instruments à apparaı̂tre en 1991 avec
les options. Ils permettent le transfert de la performance économique totale de l’actif
financier de référence (dont la valeur est définie au départ) pour une durée définie contre
un taux de référence (fixe ou flottant, généralement LIBOR) plus une prime reflétant la
qualité de la contrepartie, son rating et la liquidité de l’actif de référence sous-jacent. Les
termes du swap sont ensuite soit revus à des intervalles prédéfinis d’après l’évolution de
la valeur de marché de l’actif de référence, ou, a l’échéance, les contreparties réévaluent
l’actif de référence. Si l’actif s’est apprécié, c’est la contrepartie receveuse de l’actif de
référence qui se voit octroyée un paiement de cette différence. Sinon, c’est le contraire.
Comme pour les contrats à terme, on peut voir des contrats de swap où le paiement final
est en termes de prime de crédit par rapport à un emprunt hors-risque.
A ce niveau deux remarques peuvent être faites concernant l’indépendance des profils
de résultat de ces instruments par rapport aux risques de marché. Premièrement, elle
n’est pas forcément respectée dans la mesure où la qualité intrinsèque d’un débiteur
peut se trouver altérée par l’évolution d’un facteur de marché comme les taux d’intérêt,
9
par exemple. Deuxièmement, cette indépendance est relative. Dans le cas d’un swap de
rendement total, le profil des paiements nets dépend aussi de l’évolution des taux d’intérêt
mais ce profil “dépendant“ permet à un investisseur détenant des swaps de taux d’intérêt
de limiter effectivement son exposition au risque de crédit.
Fig.˜4 – Total Return Swap
Il faut indiquer que, comme pour les autres familles de dérivés de crédit, les total
return swaps peuvent être “repackagés“ sous forme de notes structurées répliquant les
performances économiques d’un actif sous-jacent.
1.4
L’utilisation concrète des dérivés de crédit
Les dérivés de crédit répondent à un besoin fondamental des intervenants sur les
marchés de capitaux, celui de pouvoir identifier le risque de crédit, le négocier et le couvrir.
Les trois principaux avantages des dérivés de crédit sont les suivants :
– séparation des risques de marché et de crédit,
– négociation du risque de crédit : au lieu de vendre l’actif, il y a la possibilité de vendre
plutôt le risque associé à cet actif ; pour les banques les dérivés de crédit permettent de
dissocier le risque de crédit du risque de financement,
– couverture du risque de crédit ; les dérivés de crédit collent plus à leur sous-jacent
que les indices de marché, la couverture n’en étant que plus efficace.
Compte tenu de ces avantages et dans une perspective d’efficience de marché, les
dérivés sur risque de crédit comme leurs confrères peuvent permettre à l’investisseur de
limiter ses coûts de transaction et d’éviter certains traitements fiscaux défavorables. En
plus, dans leur conception idéale, ils devraient permettre à l’investisseur de modifier son
exposition au risque tout en ne l’obligeant pas à rentrer dans de lourdes et trop chères
transactions, surtout dans le cas d’actifs relativement illiquides. Bref, ils apportent une
alternative à la vente pure et simple des actifs dans le marché secondaire. Ils permettent
aussi l’accès d’un certain nombre investisseurs à des segments de marché qui leur étaient
10
jusque-là interdits pour des raisons de politique de placement. De l’autre côté, ils permettent aux “exclus“ de ne plus l’être forcément.
Un marché dynamique et actif des dérivées sur risque de crédit permet aux investisseurs et différentes institutions financières de réduire les concentrations excessives de leurs
prêts dans des secteurs spécifiques de l’économie. Cela permet également de libérer plus
facilement les limites de crédit pour certaines contreparties ou en tout cas de mieux les
utiliser. Les institutions qui parviennent à utiliser correctement ces instruments peuvent
en retirer un avantage concurrentiel indéniable pour autant bien sûr que la coordination
et la communication entre les départements “crédits“ et “produits“ soient de tout premier
ordre.
Via un modèle donné, il est possible d’extraire des structures de credit spread et de
forward credit spread ce qui permet ensuite d’en déduire des prévisions sur les probabilités
futures de défaut. La comparaison de ces structures implicites entre différents marchés et
l’utilisation de dérivés sur risque de crédit facilitent évidemment l’arbitrage sur les primes
de crédit entre les différentes classes d’actifs financiers pour un même niveau de risque de
contrepartie.
1.5
Evolution récente du marché des dérivés de crédit
Selon une étude récente de BBA (British Banker’s Association : http ://www.bba.org.uk)
réalisée auprès de 24 intervenants majeurs sur le marché , le marché des dérivés de crédit
qui a atteint près de 900 milliards de dollars à la fin de l’année 2000, devrait atteindre
près de 1600 milliards de dollars en 2002 ; ce qui, en se fondant sur une étude précédente
de BBA, représenterait une multiplication par 9 en 5 ans (1997-2002).
Toujours selon cette étude, ce marché continuer à évoluer non seulement en taille mais
également en sophistication et en diversification et n’est pas encore complètement mûr.
Les lignes de produits sont devenus plus floues et un grand nombre de produits hybrides
sont en train de se développer. Il est à noter l’importance croissante des credit-linked
obligations (CLOs) qui représentent 20% du marché total en 2000 et qui sont amenés à
avoir une place de plus en plus grande. Tandis que les produits vanille sur le risque de
défaut (credit default products), représentant 38% du marché actuel risquent d’avoir une
part réduite à 35% d’ici 2002.
Les banques représentent les principaux acheteurs et vendeurs de protection contre
le risque de crédit (63% des acheteurs et 47% des vendeurs en montants). Un nombre
croissant d’autres intervenants sont attendus sur les prochaines années, fournissant alors
une plus grande profondeur et une plus grande liquidité au marché des dérivés de crédit.
En particulier les compagnies d’assurance s’intéressent de plus en plus à ce marché en
tant que vendeurs de protection contre le risque de défaut (ils pèsent aujourd’hui 25% de
la vente).
Concernant la réglementation, l’ISDA (International Swap and Derivatives Association) a permis en standardisant ces dernières années de nombreux produits dérivés de
crédit, une plus grande lisibilité des produits et par voie de conséquence une plus grande
liquidité.
11
Pour ce qui est des sous-jacents, il y a eu une augmentation notable des adossements à
la dette de sociétés côtés et une notable diminution des adossements à la dette souveraine.
On s’attend à ce que la première catégorie atteigne 60 % du marché en 2002 (son niveau
actuel est de 50% et était de 35% sur l’année 1997/1998) et à ce que la deuxième reste
stable à 20% sur les trois prochaines années (son niveau était de 35% en 1997/1998).
De manière générale, on peut dire que, même s’il n’est pas encore tout à fait mûr,
la plupart des signaux sur le marché des produits dérivés de crédit sont positifs : croissance, diversification des produits, des intervenants. Quant aux problèmes relatifs à la
réglementation et à la standardisation, ils ont laissé place à des problèmes plus quotidiens
de liquidité et visant à renseigner le client.
12
2
2.1
Analyse empirique
Analyse factorielle de la structure par terme risquée
L’analyse historique de la structure par terme ”risquée” est calquée sur celle qui est
classiquement menée sur la structure par terme des taux d’intérêts. Ainsi, elle se fonde
sur des historiques de courbes de taux risqués ou de spread, et a pour but d’étudier
les évolutions de ces courbes au cours du temps, et d’en dégager les principales caractéristiques. Les enjeux de cette étude sont multiples. Il s’agit ainsi de déterminer par
exemple le nombre de facteurs explicatifs des mouvements de la structure par terme
risquée, dans un but de modélisation de ces évolutions, de calibration d’un modèle de
taux ou de spread risqué, ou encore dans un but de couverture.
Concrètement, on procède à l’analyse d’une série temporelle Xt composée des taux
zéro-coupon risqué ou des spreads de crédit à une date t donnée, pour différentes maturités. L’un des objectif de l’étude est de montrer que les composantes de Xt ne sont pas
indépendantes et qu’il existe une relation de la forme :
Xt = µt + C.Ft + ut
(1)
où (Xt ) est un vecteur de taille N , correspondant au nombre de maturités disponibles
pour l’analyse, (µt ) est une série déterministe, C une matrice de taille N ∗ p, et (Ft ) est un
vecteur de taille p correspondant aux facteurs mis en évidence. Le vecteur (ut ) correspond
à une perturbation aléatoire indépendante de taille N .
Cette relation postule qu’il existe p facteurs reliant les N composantes de (Xt ). Ces
facteurs permettent de réduire l’étude de la dynamique de la structure par terme risquée
à u nsystème de taille p.
La représentation factorielle d’ordre p donnée par (1) nécessite l’introduction d’hypothèses relativement forte sur la nature des perturbations. Plus précisément, (ut ) doit
être un vecteur de perturbation d’espérance conditionnelle nulle, de variance conditionnelle diagonale, indépendante de t, et non corrélée avec Ft , ce qui se résume sous la forme :
= 0
E ut Xt−1
V ut Xt−1
= D diagonale
Cov Ft , ut Xt−1
= 0
La condition de diagonalité de la matrice de variance-covariance n’est pas nécessaire,
mais elle est cependant naturelle. En effet, la mise en évidence de p facteurs doit fournir
la totalité des liens de corrélations entre les N composantes de (Xt ), et il en résulte que
les termes résiduels doivent être non corrélés.
La méthode retenue pour l’étude empirique est en fait une Analyse en Composantes
Principales (ACP). Cette méthode est simple, et elle permet d’obtenir rapidement des
résultats. Son automatisation permet par ailleurs de répéter le procédé sur différentes
séries de données.
13
Cependant, l’ACP suppose que les p composantes obtenues sont des séries stationnaires, ce qui constitue une hypothèse relativement forte. Dans le cas où elle n’est pas
satisfaite, les résultats issus de l’ACP doivent être utilisés avec précaution, car la méthode
aura tendance à privilégier les facteurs de plus fort degré de non stationnarité.
2.2
Nature des données utilisées et principaux résultats
L’analyse empirique présentée dans le paragraphe précédent a été menée sur plusieurs
types de données. Il s’agit en fait à la fois de vérifier que les résultats obtenus, notamment
le nombre de facteurs, est stable suivant le type de données utilisées, et de s’adapter à la
particularité des sources de données disponibles sur le marché du crédit.
En effet, on dispose de deux types de données au sens financier : les taux risqués
zéro-coupon d’une part et les spreads de crédit d’autre part. Ces deux catégories peuvent
ensuite être déclinées pour un panier d’émetteurs d’un même secteur économique, ou pour
un émetteur seul. Enfin, la particularité des donées issues du crédit est d’être catégorisées
par classe de rating. La stabilité du nombre de facteurs, ainsi que leur interprétation,
d’une classe de rating à l’autre est alors cruciale, si on souhaite intégrer les résultats de
l’analyse empirique à l’étude théorique et à la modélisation de la structure par terme
risquée.
Le taux sans risque de référence peut aussi différer suivant les données sources, ce qui
renforce encore leur hétérogénéité. Les taux des emprunts d’Etat sont le plus souvent pris
pour référence, mais les taux de swaps sont aussi d’usage courant.
Concrètement, on dispose de deux sources de données principalement :
– données quotidiennes de spread de crédit par rapport au taux de swap, pour un
panier d’émission ud secteur industriel américain. Ces données sont disponibles sur
une période de deux ans, et par classe de rating.
– données hebdomadaires de taux zéro-coupon risqués pour l’émetteur Philip Morris
par rapport au Treasury Bill américain, pour une période de deux ans. Ces taux zérocoupon sont construits à partir de prix d’obligations côtées Philip Morris, suivant
une méthode classique de construction de courbe de taux.
Des ACP ont été réalisées sur les deux échantillons de données et pour plusieurs classes
de ratings dans le premier cas. Les résultats de ces analyses sont laissées en annexe, et
on ne développe dans ce paragraphe que les principaux résultats obtenus. Pour fixer les
idées, on s’intéressera plus spécifiquement à l’ACP réalisée sur les données Philip Morris. Ces données s’avèreront plus intéressante pour les développements suivants, puisqu’il
s’agit de données de taux risqué et non de spread. L’ACP est réalisée sur les variations
hebdomadaires des taux risqués, et pour la gamme de maturités suivante : 2 mois, 6 mois,
1 an, 2 ans, 3 ans, 4 ans, 5 ans, 6 ans, 7 ans, 8 ans.
L’examen des valeurs propres, à l’aide de la règle du coude ou de la règle Kaiser,
permet de diagnostiquer un nombre de facteur égal à deux. Ces deux premiers facteurs
permettent d’expliquer un peu plus de 85% de l’inertie.
14
Fig.˜5 – Tableau d’inertie
Le premier cercle des corrélations (1er axe factoriel contre 2ème axe factoriel) donne
une première intuition de l’interprétation des deux facteurs (cf. 6). Ainsi, le fait que les
variables actives (les 10 maturités) aient sensiblement la même coordonnée sur le 1er axe
correspond bien à un 1er facteur de niveau. Ce 1er facteur représente les mouvements
de translation de la courbe, c’est à dire les modifications de courbe impactant de façon
identiques l’ensemble des maturités.
Par ailleurs, il est possible d’observer un échelonnement des différentes maturités suivant le 2ème axe. Les maturités les plus courtes sont situées du côté positif de l’axe, tandis
que les maturités les plus longues sont situées du côté négatif. Ceci semble indiquer que
le facteur correspondant est un facteur de rotation de la courbe.
En effet, le graphique de la sensiblité des taux au 2ème facteur (??) est caractérisé par
une forme descendante, d’abord positive sur la partie inférieure à 3 ans, puis négative
au-delà. Ce 2ème facteur s’apparente donc bien à un facteur de rotation ou pivotement
autour d’un point, qui en l’occurrence est proche de la matruité 3 ans.
15
Fig.˜6 – 1er cercle des corrélations
16
Sensibilité des variations de taux zéro-coupon risqués aux facteurs 1 et 2.
17
2.3
Conclusion
L’analyse empirique qui a été menée a permis de mettre en évidence l’existence de
deux facteurs explicatifs de l’évolution de la structure par terme des taux risqués. Ces
facteurs peuvent s’interpréter comme un facteur de niveau et un facteur de pente.
Les résultats obtenus constitue une première approche de l’étude des taux risqués.
En effet, cela va permettre d’orienter sur certain points la modélisation du défaut, et ce
qui aura un impact sur le pricing notamment. Cependant, il est important de noter que
cette partie ne constitue pas en soit une étude précise et exhaustive de l’évolution de la
structure par terme. En effet, la méthode mise en oeuvre souffre de critiques identiques à
celles qui sont faites dans son application à l’étude des taux d’intérêt, parmi lesquelles on
peut citer les problèmes de non-stationnarité ou encore les discussions méthodologiques
entre ACP et Analyse Factorielle (cf. [4]). L’étude qui nous préoccupe n’a pas pour objet
de reprendre cette discussion, et même si l’analyse empirique réalisée est importante, elle
ne constitue qu’une première étape.
Cette première étape va permettre d’orienter la modélisation de deux façons distinctes.
Tout d’abord, le nombre de facteurs va permettre d’orienter le choix de modélisation pour
ce qui concerne le modèle théorique de déformation de la courbe des taux risqués. Ce choix
aura des conséquences directes à la fois en terme de calibration (nombre de paramètres,
forme de la fonction de pénalisation,etc.), et en terme de pricing et de couverture. Par
ailleurs, les facteurs en tant que séries temporelles peuvent permettre une calibration
adaptée d’un modèle de taux risqué ou de spread sur l’historique.
18
3
3.1
Modélisation du défaut et règle de pricing risqueneutre
Structure d’information et hypothèses de modélisation
Un enjeu important de la modélisation du défaut est de mettre en place la structure
d’information la plus appropriée aux réalités du marché, et de bien prendre en compte les
conséquences de ce choix sur le pricing des produits dérivés de crédit. Ainsi, le défaut est
considéré dans ce qui suit comme étant partiellement observable, ce qui signifie qu’à un
instant t, les acteurs du marché n’ont comme seule information, outre les prix de marché,
la survenance du défaut avant cet instant.
D’une manière plus formalisée, on se munie d’un vecteur de mouvement browniens
i
(Wt ) t≥0 , d’un espace probabilisé (Ω, F, P) et de la filtration brownienne, notée (Ft )t≥0 .
i=1..n
L’instant de défaut sera noté τ .
L’hypothèse précédente implique que la structure d’information adéquate sera la filtration (Gt )t≥0 donnée par :
Gt = Ft ∪ σ (τ ∧ t)
Cette filtration représente l’information disponible sur le marché en t, et elle contient bien
Ft et {s < τ ; s ≤ t}.
Une hypothèse classique consiste ensuite à poser :
Axiom 1 le temps de défaut est indépendant de Ft pour tout t.
Cette hypothèse est très utile techniquement car elle permet de conserver la structure
brownienne sur Gt . Les actifs de base conservent leurs propriétés initiales, ainsi que leurs
propriétés différentielles.
Une fois définie la structure d’information, il est important de préciser comment la mesure de probabilité qui va être utilisée, notamment pour le pricing. Pour cela, on commence
par considérer que le F-marché est complet, et sans arbitrage, ce qui donne l’existence
et l’unicité d’une mesure martingale Q, la probabilité risque-neutre. La règle d’évaluation
risque-neutre classique peut donc être appliquée sur ce marché, relativement au taux
d’intérêt sans risque (rt )t≥0 . Afin de prolonger cette règle de pricing au G-marché, on
considère qu’il existe un actif coté permettant de couvrir le risque de défaut. Les portefeuilles standards, arrêtés à l’instant de défaut étant des portefeuilles admissibles à G, le
G-marché est ainsi complété, et la règle de pricing risque neutre peut lui être appliqué.
Plus précisément, un contrat classique de maturité T , noté (Z, T ), se décompose
comme ((X, T ) ; (X 0 , τ )). (X, T ) représente l’obligation de payer X en T , tandis que τ
défini le temps d’arrêt associé au défaut, et X 0 le montant associé. La règle de pricing
risque-neutre classique permet d’écrire le prix à un instant t de ce contrat :
Z T
Q
rs ds Z |Gt
(2)
Vt (Z) = E exp −
t
Z T
Z T
0
Q
rs ds X 1{τ ≤T } |Gt
rs ds X1{T <τ } + exp −
E exp −
t
t
19
Il est particulièrement intéressant de noter que cette règle de pricing fait intervenir le
taux sans risque comme paramètre d’actualisation, et que la structure d’information de
référence pour le conditionnement correspond à la filtration la plus grande, i.e. à Gt .
3.2
3.2.1
Une règle de pricing risque-neutre
Présentation
Cette partie s’appuie essentiellement sur la modélisation proposée par Duffie et Singleton dans [2]. Son objectif est de donner une version modifiée et plus facilement utilisable
de la règle de pricing (2).
Le contrat de départ (Z, T 0 ), de maturité T 0 , se décompose comme ((X, T ) ; (X 0 , T 0 )).
Comme précédemment, (X, T ) représente l’obligation de payer X en T , tandis que τ défini
le temps d’arrêt associé au défaut, et X 0 le montant associé.
En conservant les notations et les hypothèses précédentes, et en introduisant l’hypothèse, cruciale, de Recovery of Market Value (RM V ), [2] montre qu’il est possible
d’associer la règle de pricing suivante au contrat ainsi décomposé :
Z T
Q
Vt (Z) = E exp −
Rs ds X |Ft
(3)
t
où Q désigne la probabilité risque-neutre. Cette règle est valable pour tout instant antérieur
au défaut, i.e. pour tout t < τ .
Cette règle de pricing modifiée fait apparaı̂tre un taux d’actualisation différent de
celui utilisé dans (2). L’actualisation se fait à l’aide du taux risqué (Rs )s≥0 . De même, il
est intéressant de remarqué que le conditionnement est réalisé par rapport à la structure
d’information initiale, i.e. par rapport à Ft .
3.2.2
Hypothèse RMV et approche en temps discret
Dans ce paragraphe, on se propose de décrire en temps discret le mécanisme permettant
de passer de (2) à (3). L’objectif est en fait de préciser le sens de l’hypothèse de Recovery
of Market Value, et de montrer son importance. Enfin, pour simplifier l’approche, on va
s’attacher essentiellement à donner les intuitions qui amènent à un changement de facteur
d’actualisation.
Considérons un bien contingent payant Xt+T en date d’échéance t + T , sans coupons
intermédiaires. On définit tout d’abord les quantités suivantes :
– hs : probabilité de défaut entre s et s+1 sachant que le défaut n’a pas eu lieu avant s.
Cette probabilité est donnée sous la mesure Q risque neutre, et conditionnellement
à l’information disponible en s.
– φs : montant du recouvrement en unité monétaire, en cas de défaut en s.
Dans le cas où le défaut est postérieur à la date t, le processus de gain attaché au bien
contingent X est décrit par la relation de récurrence suivante :
Q
Vt (X) = ht exp (−rt ) EQ
φ
(4)
t
t+1 + (1 − ht ) exp (−rt ) Et [Vt+1 (X)]
20
Cette équation de récurrence se résoud directement pour donner :
!
#
"T −1
j
j
Y
X
X
(1 − ht+l−1 )
Vt (X) = EQ
ht+j exp −
rt+k φt+j+1
t
j=0
"
+EQ
t
Xt+T exp −
l=0
k=0
T −1
X
k=0
!
rt+k
T
Y
#
(1 − ht+l−1 )
l=0
Cette dernière équation est assez intuitive, car elle fait apparaı̂tre explicitement les probabilités de défaut ou de non défaut à chaque étape. Cependant, elle est peu utile en
générale, car son évaluation requiert la donnée des lois jointes des différents processus
aléatoires utilisés. C’est ici que l’hypothèse RMV va permettre de grandement simplifié
les calculs.
Axiom 2 Hypothèse de Recovery of Marcket Value dans le cadre discret
Soit un processus (Ls )s≥0 adapté et majoré par 1.
On appelle RMV l’hypothèse de recouvrement qui établit que l’espérance de recouvrement en cas de défaut en t + 1, vu de t, est une fratcion de la valeur espérée en t + 1, vu
de t, du bien contingent soumis au risque de crédit. Ceci se traduit par :
Q
EQ
t φt+1 = (1 − Lt ) Et [Vt+1 (X)]
L’hypothèse RMV ainsi formulée dans un contexte discret est assez intuitive et naturelle. Son extension dans le cas continu (cf. infra) sera légèrement différente toutefois.
L’idée sous-jacente reste identique : il s’agit d’exprimer que le recouvrement est une fraction du prix coté juste avant défaut de l’actif soumis au risque de crédit. La formalisation
varie ensuite suivant le cadre de modélisation et intègre les hypothèses adéquates.
Les hypothèses faites sur le recouvrement sont fondamentales pour l’évaluation des
produits dérivés de crédit. Cet effet est particulièrement visible en temps discret, où
apparaissent explicitement les deux états probabilisés de défaut et non défaut. Dans un
contexte plus général, le recouvrement n’est pas toujours sous forme RMV. Il est en effet
possible d’adopter d’autres conventions, ce qui introduit des différences importantes à la
fois en terme de structure de produit dérivé de crédit, de prix, et de formulation théorique
de modèle de crédit. On peut citer ici pour comparaison deux approches classiques du
recouvrement :
– Recovery of Treasury (RT) : dans ce cas, l’évènement de défaut donne le droit à
récupérer une fraction d’une obligation sans risque spécifiée initialement. Cela se
traduit par un recouvrement de la forme : φt = (1 − Lt ) Bt , où (Lt )t≥0 représente le
processus de perte, et Bt le prix d’un bon du Trésor par exemple.
– Recovery of Face Value (RFV) : dans ce cas, le détenteur du bien contingent reçoit
en cas de défaut une fraction (possiblement aléatoire) du nominal. Le recouvrement
s’exprime alors sous la forme : φt = (1 − Lt ).
L’hypothèse RMV s’inscrit dans une logique relativement différente de ces deux approches. Cependant, il n’est pas véritablement possible de trancher entre ces différentes
21
hypothèse de recouvrement. Cela a pour conséquence de complexifier encore l’approche
des dérivés de crédit, notamment en terme de modélisation.
Ce dernier point est crucial pour l’ensemble des parties théoriques qui vont suivre. En
effet, comme on va le montrer, la règle de pricing risque-neutre (3) n’est valide que sous
l’hypothèse de RMV.
Dans le cas discret, cette dernière permet notamment de réécrire (4) :
Q
Vt (X) = ht exp (−rt ) (1 − Lt ) EQ
t [Vt+1 (X)] + (1 − ht ) exp (−rt ) Et [Vt+1 (X)]
d’où une simplification de l’expression finale donnant le prix du bien contingent en t :
"
!
#
T −1
X
Vt (X) = EQ
exp −
Rt+k Xt+T
t
k=0
où on a posé :
exp (−Rt ) = ht exp (−rt ) (1 − Lt ) + (1 − ht ) exp (−rt )
En utilisant un développement limité de la fonction ex , pour des intervalles de temps
”petits” notamment, il es talors possible d’écrire Rt comme :
Rt = rt + ht Lt
et d’en donner une interprétation en terme de taux risqué, explicitement comme le taux
sans risque plus une marge. Dans le cas discret, cette marge dépend explicitement de la
probabilité de défaut et du taux de perte.
3.2.3
Cadre théorique en temps continu
L’objet de ce paragraphe est de préciser le cadre théorique en temps continu et de
donner un certain nombre d’idées permettant d’aboutir au résultat donné dans (3).
Comme décrit précédemment, un bien contingent (Z, T0 ) correspond à la donnée d’un
couple ((X, T ) , (X 0 , τ )) decrivant les pay-offs en cas de défaut ou d’absence de défaut. Le
prix en t de ce contrat est noté Ut , et on a UT = X.
On note (Λt )t≥0 le processus qui rend compte de la survenance du défaut. Plus précisément,
on a Λt = 1{τ ≤t} , et on note (ht )t≥0 la G-intensité de (Λt )t≥0 pour la mesure risque neutre
Q. On considèrera par la suite que Q est la mesure adoptée en l’absence de précision
contraire. Cela donne alors la diffusion de (Λt )t≥0 :
dΛt = (1 − Λt ) ht dt + dMt
où (Mt )t≥0 est une G-martingale, désignée en générale comme la martingale compensée
de (Λt )t≥0 .
L’hypothèse RMV en temps continu prend la forme suivante :
22
Axiom 3 Hypothèse de Recovery of Marcket Value
En cas de survenance du défaut à la date t, le détenteur du bien contingent Z reçoit
X 0 = (1 − Lt ) Ut− où, (Lt )t≥0 , le ”fractionnal loss”, est un processus prévisible et majoré
par 1, (Ut )t≥0 est le prix du bien contingent, et Ut− = lims↑t Us est le prix juste avant le
défaut.
Par la suite, on supposera que le processus de prix ne connaı̂t pas de discontinuité à
l’instant de défaut, ce qui permettra de considérer indifféremment Ut− et Ut .
L’idée principale permettant d’aboutir à la règle de pricing (3) consiste à prendre le
processus de gain actualisé Gt comme une martingale sous Q. Ainsi, Gt s’écrit :
Z t
Gt = exp −
rs ds Ut (1 − Λt )
0
Z s
Z t
+
exp −
ru du (1 − Ls ) Us− dΛs
0
0
ce qui permet ensuite de conlure pour obtenir la règle de pricing risque-neutre.
Theorem 1 Règle de pricing risque neutre pour les prduits dérivés soumis au défaut
Soit Z = ((X, T ) , (X 0 , τ )) un bien contingent soumis au risque de défaut, Λt = 1{τ ≤t} ,
(ht )t≥0 la G-intensité de (Λt )t≥0 , et (Lt )t≥0 le fractionnal loss. Sous l’hypothèse RMV,
le prix de Z en t, sachant qu’il n’y a pas eu défaut avant t, est donné par la relation
suivante :
Z T
Q
Rs ds X |Ft ∀t < τ
Vt (X) = E exp −
t
avec
Rs = rs + hs Ls
23
4
Modélisation du taux risqué : un cadre HJM adapté
4.1
Motivation et cadre de modélisation
La règle de pricing risque-neutre (3) applicable pour les produits dérivés de crédit est
très semblable à la règle de pricing classique, et ne diffère de celle-ci que par le terme
d’actualisation. La modélisation du processus (Rt )t≥0 va alors permettre d’expliciter la
formule de pricing, pour un certain nombre de produit dérivés. On est alors dans une
problématique voisine de celle du pricing de produits de taux d’intérêt, et il semble naturel
d’essayer des modélisations similaires pour le processus (Rt )t≥0 .
Les objectifs sont entre autres de permettre une bonne utilisation pratique de la règle
de pricing mise en évidence, de permettre une adéquation entre le modèle théorique et les
données de marché, en donnant les prix théoriques nécessiares à une bonne calibration,
et de vérifier si un modèle issus de la théorie des taux d’intérêt permet de valider les
conditions d’absence d’opportunités d’arbitrage notamment.
Ainsi, on suppose que le prix du zéro-coupon risqué de maturité T , noté par la suite
(p (t, T ))t≥0 , peut être modélisé, à une date t antérieure au défaut, sous la forme :
T
Z
p (t, T ) = exp −
F (t, s) ds ∀t < τ
t
où F (t, T ) joue le rôle du taux forward instantané dans un cadre HJM classique. Ainsi,
on suppose qu’il vérifie l’EDS :
dF (t, T ) = µ (t, T ) dt + σ (t, T ) dWt
(5)
où (Wt )t≥0 est un n-mouvement brownien sous la probabilité risque-neutre Q.
On fait par ailleurs l’hypothèse que µ (t, T ) et σ (t, T ) vérifient les conditions techniques
données dans [1]. Comme F (t, T ) vérifie (5), on dispose alors de l’EDS suivante pour
p (t, T ) 1 :
"
Z T
2 #
Z T
1
σ (t, s) ds
dt
(6)
µ (t, s) ds +
dp (t, T ) = p (t, T ) F (t, t) −
2
t
t
Z T
−p (t, T )
σ (t, s) ds dWt
t
4.2
Obligation zéro-coupon risquée
De la même façon que précédemment, on note τ le temps d’arrêt associé au temps de
défaut, et Λt = 1{t≥τ } . Le processus Λ vaut zéro avant le défaut et un après. Par ailleurs,
Λ suit l’EDS suivante sous Q :
dΛt = (1 − Λt ) ht dt + dMt
1
cf. annexe pour le détail des calculs
24
(7)
avec Mt une Q-martingale et (1 − Λt ) ht l’intensité, sous Q, du processus de saut associé
au défaut, i.e. Λt .
On suppose que lorsque le défaut intervient, une fraction de la valeur de marché de
l’obligation risquée juste avant l’instant de défaut est récupérée. C’est une hypothèse de
type RMV. Ainsi, si le défaut intervient en t, le détenteur du zéro-coupon risqué reçoit :
X = (1 − Lt ) p (t− , T )
où p (t− , T ) est le prix du zéro-coupon risqué juste avant le défaut, et où Lt représente le
taux de perte de valeur de marché du zéro-coupon risqué au moment du défaut. On fait
l’hypothèse que Lt est un processus prévisible majoré par 1.
Sous certaines conditions techniques, et en supposant notamment que le prix du zérocoupon risqué ne ”saute” pas au moment du défaut, le prix en t, t < τ , on a vu que le
prix du zéro-coupon risqué est donné par :
Z T
Q
p (t, T ) = E exp −
Rs ds |Ft
(8)
t
en posant :
Rt = rt + ht Lt
où rt désigne le taux d’intérêt sans risque.
4.3
Condition de drift HJM
Comme le processus de gain actualisé Gt est une martingale sous Q, son drift est nul.
On va appliquer Itô à Gt , pour toute date t antérieure au défaut, i.e. pour t < τ , en
utlisant les relations suivantes, pour (Wt )t≥0 un mouvement brownien :
hdM, dW it
hdΛ, dW it
hdΛ, dΛit
hdM, dM it
=
=
=
=
0
0
0
0
R
t
Le processus de gain actualisé s’écrit, en notant Dt = exp − 0 rs ds :
Z
Gt = p (t, T ) (1 − Λt ) Dt +
t
Ds (1 − Ls ) p (s− , T ) dΛs
0
On en déduit :
dGt = −Dt p (t, T ) dΛt +(1 − Λt ) p (t, T ) dDt +(1 − Λt ) Dt dp (t, T )+(1 − Lt ) Dt p (t, T ) dΛt
soit après simplification :
dGt = (1 − Λt ) p (t, T ) dDt + (1 − Λt ) Dt dp (t, T ) − Lt Dt p (t, T ) dΛt
25
On utilise ensuite les équations (6) et (7) ainsi que l’écriture dDt = rt Dt dt, ce qui
donne :
"
Z T
2 #
Z T
1
dGt = ((1 − Λt ) Dt p (t, T )) F (t, t) − rt − ht Lt −
µ (t, s) ds +
σ (t, s) ds
dt
2
t
t
Z T
−Lt Dt p (t, T ) dMt − (1 − Λt ) Dt p (t, T )
σ (t, s) ds dBt
t
Comme t < τ , on a alors 1 − Λt > 0 p.s. et par définition, Dt p (t, T ) > 0. La condition de
nullité du drift devient ainsi :
Z T
Z T
Z T
1
F (t, t) − rt − ht Lt −
µ (t, s) ds +
σ (t, s) ds
σ (t, s) ds = 0
(9)
2
t
t
t
En dérivant (9) par rapport à T , on retrouve une condition de drift de la forme de celle
qui prévaut dans un cadre HJM ”classique” :
Z T
µ (t, T ) = σ (t, T )
σ (t, s) ds , ∀t < τ
(10)
t
Par ailleurs, si on remplace (10) dans (9), on en déduit :
F (t, t) = rt + ht Lt
ce qui permet d’interpréter ht Lt comme le spread de crédit.
Par ailleurs, la diffusion du zéro-coupon est donnée, sous la probabilité risque-neutre
Q, par :
dp (t, T ) = p (t, T ) F (t, t) dt + p (t, T ) S (t, T ) dW (t)
(11)
RT
où W (t) est un mouvement brownien sous Q, et en notant S (t, T ) = − t σ (t, s) ds. Par
convention, il est possible d’écrire F (t, t) = Rt .
4.4
Choix d’un modèle à facteurs
Le cadre HJM pour les taux risqués a été présenté jusqu’à maintenant dans le cas
général d’un mouvement brownien de dimension n. Cependant, l’analyse empirique détaillée
dans la partie deux a permis de mettre en évidence deux facteurs explicatifs des déformations
de la courbe des taux zéro coupon risqués. Ces deux facteurs correspondent à un facteur de
niveau et un facteur de pivotement, qui sont deux mouvements classique de déformation
de la structure par terme.
Afin de prendre en compte dans la modélisation ces considérations empiriques, il est
possible prendre un modèle HJM particulier, à deux facteurs. Les deux facteurs considérés
sont alors paramétrables via les fonctions de volatilité qui apparaissent devant les mouvements browniens. Un cas classique et facilement transposable consiste à prendre pour
le premier facteur une volatilité de type Ho-Lee et pour le second une volatilité de type
Vasicek.
26
Ces deux fonctions s’écrivent respectivement :
σ Ho−Lee = σ 1
σ V asicek (t) = σ 2 exp (−λ (T − t))
et vérifient les conditions d’indépendance garantissant la complétude du marché des zérocoupon dans le cadre HJM (cf. [5]).
Ainsi, on retrouve bien les deux mouvements de courbe pré-cités. La fonction de volatilité Ho-Lee transmet les effets de translation, tandis que la fonction de volatilité Vasicek
transmet les effets de rotation.
Cette paramétrisation factorielle sera conservée dans la suite des développements. On
examinera dans une dernière partie une méthode de calibration permettant d’extraire le
triplé (σ 1 , σ 2 , λ) des données de marché disponibles.
27
5
Pricing des produits dérivés de crédit
5.1
Introduction
L’objet de cette partie est de présenter de façon détailler les prix obtenus pour différents
produits dérivés de crédit classique dans le cadre d’un modèle à intensité où le taux forward risqué instantané est modélisé suivant un cadre HJM. Pour chacun des produits qui
seront abordés, on sera ainsi amené à utiliser d’une part la règle de pricing risque-neutre
établie ci-dessus, et d’autre part la modélisation HJM, notamment pour les zéro-coupons
risqués.
Par ailleurs, l’approche empirique qui a été conduite sur les spreads a permis de mettre
en évidence la présence de deux facteurs explicatifs pour l’évolution de la structure par
terme des spreads. En plus d’une formule de prix donnée pour une fonction de volatilité
générale, on donnera comme application le prix correspondant au modèle HJM deux
facteurs mis en évidence.
5.1.1
Prix d’une obligation zéro-coupon
La règle de pricing (3) donne directement l’expression du zéro-coupon risqué comme :
Z T
Q
p (t, T ) = E exp −
Rs ds |Ft
t
et la modélisation HJM a permis d’écrire :
1 − exp (−λ (T − t))
dp (t, T )
= F (t) dt − (σ 1 (T − t)) dW1 (t) − σ 2
dW2 (t)
p (t, T )
λ (T − t)
Cette EDS s’intègre ensuite directement pour donner le prix du zéro-coupon.
5.1.2
Obligation à coupons
Si on considère une obligation à coupons fixes, noté C, présentant un risque de défaut,
d’échéancier (Ti )i , alors, de la même façon que pour une obligation couponnée sans risque,
on a :
X
π C (t) =
C ∗ p (t, Ti )
i
5.2
Credit Default Swap
Le CDS constitue l’un des produits dérivés de crédit les plus utilisés sur le marché. Il
se rapproche de par sa forme d’un produit d’assurance, puisqu’il consiste, pour l’acheteur,
0
à payer une prime de x b.p. tant qu’il n’y a pas eu défaut, aux dates Tj j , et à recevoir
l’écart entre le prix avant et après l’instant de défaut, lors de la survenance de ce dernier.
28
Il est assez habituel de supposer que le CDS est en fait adossé à une obligation risquée,
payant un coupon fixe R0 aux dates (Ti )i . Le CDS sert alors à couvrir le risque de défaut
lié à l’obligation.
La structure de l’opération financière consistant à acheter un CDS et une obligation
risquée est équivalente à celle qui consiste à acheter une obligation sans risque versant des
2
coupons R
0 aux dates (Ti )i et à vendre une obligation risqué versant des coupons x aux
0
dates Tj j . Ainsi, la valeur d’un CDS est donné par :
0 X
X
CDS t, xCDS , Tj
=
R0 (B (t, Ti ) − p (t, Ti )) −
p t, Tj0 xCDS
j
i
(12)
j
où B (t, T ) représente le prix d’un zéro-coupon sans risque. Le prix du CDS correspond à
la valeur xCDS qui annule la valeur présente du swap. Il est ainsi donné par :
P
R0 (B (t, Ti ) − p (t, Ti ))
P
PCDS = i
0
j p t, Tj
Il est important de noter que le calcul du prix du CDS a été réalisé en considérant que
les deux contreparties de ce contrat ne sont pas soumises à un risque de défaillance.
Le prix théorique du CDS ne fait intervenir que les zéro-coupons sans risque et les
zéro-coupons risqués. Dans un objectif de calibration par exemple, ils n’apportent aucune
information supplémentaire par rapport à la courbe des taux risqués.
5.3
Total Return Swap
Le TRS est un produit dérivé de crédit qui a rencontré un grand succès auprès des
investisseurs, pour des raisons qui seront détaillées un peu plus loin.Le TRS est en général
adossé à un sous-jacent, une obligation risquée par exemple, et sert en général à couvrir
le risque de défaut lié à l’obligation.
On considère plus précisément un TRS sur une obligation risqué de valeur initiale P0
et payant des coupons fixes C aux dates (Ti )i . Le vendeur du TRS paie aux mêmes dates
le taux Libor de tenor δ 3 , plus une marge constante, notée x. A ces paiements réguliers
s’ajoutent des flux visant à prendre en compte l’appréciation ou le dépréciation de la
valeur de marché du sous-jacent sur chaque période [Ti−1 ; Ti ]. En cas de survenance d’un
défaut, le vendeur du TRS paie la différence entre la valeur P0 initialement fixée et la
valeur correspondant au recouvrement.
Le pricing du TRS nécessite de faire certaines hypothèses. Ainsi, on considèrera que
le contrat s’arrête dès lors qu’un défaut survient, et que les évènments de défaut ne sont
constatés qu’en date de règlement, i.e. pour chaque Ti . Si le défaut a lieu entre deux
dates Ti−1 et Ti consécutives, on considèrera que la valeur de l’obligation utilisée en Ti est
identique à la valeur juste avant défaut. On choisira de plus un taux de recouvrement L
constant.
2
3
le risque étant celui de l’émetteur de l’obligation risquée sous-jacente à la première opération.
on suppose que δ = Ti − Ti−1 reste constant
29
La structure même du TRS permet au vendeur du produit de bénéficier des flux financiers de l’obligation risquée sans en être le détenteur, et cela avec un coût de financement
égal au taux Libor plus une marge. Le suivi du mark-to-market de l’obligation risquée
sous-jacente constitue un gage de sécurité pour l’acheteur du TRS.
Les différents flux auxquels donne lieu un TRS sont ainsi les suivants :
– Tant qu’il n’y a pas de défaut en date Ti :
- Libor + marge : L (Ti−1 , Ti−1 ) + x, fixé en date Ti−1 et payé en date Ti = Ti−1 + δ
- Coupon de l’obligation risquée : C payé en date Ti
- Ecart en mark-to-market sur la période [Ti−1 ; Ti ] : O (Ti ) − O (Ti−1 )
– Si il y a défaut en Ti :
- Ecart entre la valeur recouvrée et la valeur en Ti−1 : (1 − L) O (Ti ) − O (Ti−1 )
Le prix du TRS est alors donné par :

  
Z Ti
O (Ti ) − O (Ti−1 )
X
1{τ >Ti }  
+δ (L (Ti−1 , Ti−1 ) + x) + C
T RS (t, C, Ti ) =
EQ exp −
rs ds 
|Gt
t
i
+ ((1 − L) O (Ti ) − O (Ti−1 )) 1{τ =Ti }
où τ est la notation usuelle de l’instant de défaut. En utilisant la règle de pricing ainsi
que le cadre HJM, il vient :
X
XX
T RS (t, C, Ti ) =
C ∗ p (t, Ti ) +
C ∗ p (t, Tj )
i
−
i
XX
i
j≥i
Ti
Z
Q
C ∗ E exp −
Rs ds ∗ p (Ti−1 , Tj ) |Ft
t
j≥i
Z
X
Q
+
E exp −
Ti
Rs ds (δ (L (Ti−1 , Ti−1 ) + x)) |Ft
t
i
Ainsi, les deux derniers termes doivent être explicités, car ils font apparaı̂tre respectivement un terme de correction de convexité, et un terme de corrélation entre taux risqué et
taux sans risque.
5.4
Option sur zéro-coupon risqué
On considère un call européen de maturité T et de strike K sur un zéro-coupon risqué
de maturité T1 . On désigne par τ le temps d’arrêt associé au défaut. La décomposition de
l’option en un couple de biens contingents s’écrit :
Y = [(Z, T ) ; (Z 0 , τ )]
où Z = (p (T, T1 ) − K)+ . La règle de pricing (3) donne alors la formule d’évaluation
suivante de l’option, ∀t < τ :
Z T
Q
Rs ds (p (T, T1 ) − K)+ |Ft
(13)
Vt = E exp −
t
30
où p (T, T1 ) désigne le prix du zéro-coupon de maturité T , pris en T1 , sachant qu’il n’y a
pas eu défaut avant T . On supposera par la suite que t < τ .
Dès lors que l’on dispose de cette formule de pricing, il va être possible de transposer
les méthodes de pricing classiquement utilisées pour les produits dérivés de taux d’intérêt.
Cependant, il est intéressant de remarquer que la formule de pricing (13) consiste à prendre
l’espérance de la partie des flux terminaux non affectée par le risque de défaut, sous la
probabilité risque-neutre et sous le numéraire associé à Rs . Ainsi, le numéraire utilisé n’est
pas celui qui est naturellement associé à la probabilité risque-neutre. Cela va induire un
certain nombre de différences par rapport aux méthodes classiques.
On commence par écrire :
Z T
Q
Vt = E exp −
Rs ds (p (T, T1 ) − K) 1{p(T,T1 )≥K} |Ft
t
D’après la modélisation HJM décrite au paragraphe précédent, on sait que :
Z T
Q
p (t, T ) = E exp
Rs ds |Ft
t
avec de plus :
dp (t, T ) = p (t, T ) Rt dt + p (t, T ) S (t, T ) dB (t)
RT
où B (t) est un mouvement brownien sous Q, et en notant S (t, T ) = − t σ (t, s) ds
(cf. (11)).
On réalise alors un premier changement de probabilité forward, associé au zéro-coupon
risqué de maturité T , qui prend forme suivante :
p (t, T )
dQT
|Ft = LT (t) =
dQ
p (0, T ) β (t)
avec :
(14)
Z t
β (t) = exp −
Rs ds
0
On réalise un changement de probabilité similaire avec le zéro-coupon de maturité
T1 , ce qui conduit à définir la probabilité QT1 . La suite des calculs sera détaillée pour le
changement de probabilité associée à QT . Les mêmes développements peuvent être menés
pour QT1 .
La forme de la diffusion du zéro-coupon risqué (11) permet de déduire directement
que :
dLT (t) = LT (t) S (t, T ) dB (t)
ce qui indique que le théorême de Girsanov s’applique et que le processus défini par :
dB T (t) = dB (t) − S (t, T ) dt
est un mouvement brownien sous QT .
31
Les changements de probabilité effectués permettent de simplifier la formule d’évaluation,
qui devient :
T T Vt = p (t, T1 ) EQ 1 1{p(T,T1 )≥K} |Ft − Kp (t, T ) EQ 1{p(T,T1 )≥K} |Ft
(15)
Comme il s’agit de la première évaluation d’un produit dérivé de crédit, les calculs vont
être détaillés. Ainsi, la première étape consiste à opérer les changements de probabilité sur l’équation de diffusion donnant le prix du zéro-coupon
risqué
avant défaut. Plus
p(t,T1 )
précisément, on va être amené à s’intéresser au processus p(t,T )
, et à ses diffusions
t∈R+
T
T1
respectivement sous Q, Q , et Q . L’application du lemme d’Itô donne directement :
1
d
p(t,T )
p (t, T1 )
p (t, T1 ) d (p (t, T1 )) p (t, T1 )
1
d
=
+
+ d p (., T1 ) ;
1
p (t, T )
p (t, T ) p (t, T1 )
p (t, T ) p(t,T
p (., T ) t
)
On se place tout d’abord sous la probabilité risque-neutre Q. La diffusion de
de nouveau en appliquant Itô4 :
S (t, T )
1
1
d
=−
Rt − S (t, T )2 −
dB (t)
p (t, T )
p (t, T )
p (t, T )
1
p(t,T )
s’obtient
Cette dernière équation permet de calculer :
1
p (t, T1 )
=−
S (t, T ) S (t, T1 )
d p (., T1 ) ;
p (., T ) t
p (t, T )
p(t,T1 )
La diffusion de p(t,T )
sous Q est alors donnée par :
t∈R+
d
p (t, T1 )
p (t, T )
=
p (t, T1 )
p (t, T1 )
S (t, T )2 − S (t, T ) S (t, T1 ) dt+
(S (t, T1 ) − S (t, T )) dB (t)
p (t, T )
p (t, T )
Il suffit enfin d’appliquer les deux changements de probabilité définis précédemment pour
obtenir :
p (t, T1 )
p (t, T1 )
d
=
(S (t, T1 ) − S (t, T )) dB T (t)
(16)
p (t, T )
p (t, T )
1)
qui représente la diffusion de p(t,T
sous QT , et
p(t,T )
t∈R+
p (t, T1 )
p (t, T1 )
(S (t, T1 ) − S (t, T ))2 dt +
(S (t, T1 ) − S (t, T )) dB T1 (t)
p (t, T )
p (t, T )
(17)
p(t,T1 )
T1
qui représente la diffusion de p(t,T )
sous Q .
d
p (t, T1 )
p (t, T )
=
t∈R+
4
avec la fonction f (x) =
1
x
en notant que p (t, T ) > 0.
32
La seconde étape consiste à intégrer les équations (16) et (17) entre t et T . En utilisant
le fait que p (T, T ) = 1, on obtient :
!
RT
T
p (t, T1 )
(S
(u,
T
)
−
S
(u,
T
))
dB
(u)
1
t R
p (T, T1 ) =
exp
T
p (t, T )
− 21 t (S (u, T1 ) − S (u, T ))2 du
ainsi que :
RT
(S (u, T1 ) − S (u, T )) dB T1 (u)
t
RT
+ 21 t (S (u, T1 ) − S (u, T ))2 du
p (t, T1 )
p (T, T1 ) =
exp
p (t, T )
!
RT
On utilisera par la suite la notation suivante : Σ (t, T, T1 ) = t (S (u, T1 ) − S (u, T ))2 du.
T La dernière étape du calcul consiste à résoudre explicitement EQ 1{p(T,T1 )≥K} |Ft , en
fonction de Σ (t, T, T1 ). Les calculs seront parfaitement symétriques pour le second terme.
Ainsi,
QT
QT
n
o
R
1 T (S(u,T )−S(u,T ))dB T (u)≥ln K p(t,T ) + 1 Σ(t,T,T ) |Ft
E
1{p(T,T1 )≥K} |Ft = E
1
t
p(t,T1 )
1
2
RT
Or, t (S (u, T1 ) − S (u, T )) dB T (u) est une variable aléatoire gaussienne indépendante
de Ft , et de loi N (0; Σ (t, T, T1 )), avec de plus p (t, T ) et p (t, T1 ) Ft -mesurables, ce qui
donne finalement :
QT
QT
n
o
E
1{p(T,T1 )≥K} |Ft = E
1 R T (S(u,T )−S(u,T ))dB T (u)≥ln K p(t,T ) + 1 Σ(t,T,T )
1
t
p(t,T1 )
2
1
soit
T
EQ
1{p(T,T1 )≥K} = Φ (d1 )
avec
ln
d1 =
p(t,T1 )
Kp(t,T )
− 12 Σ (t, T, T1 )
p
Σ (t, T, T1 )
En procédant de même pour le terme E
1{p(T,T1 )≥K} |Ft , on obtient la formule de
pricing suivante :
QT1
Lemma 2 Pricing d’un call européen sur bond risqué
Considérons un call européen de maturité T et de strike K sur un zéro-coupon risqué
de maturité T1 . Alors, la règle de pricing établie dans [2] donne la formule d’évaluation
suivante :
Z T
Q
Vt = E exp −
Rs ds (p (T, T1 ) − K)+ |Ft
t
Par changement
le calcul explicite de Vt s’effectue en fonction
R T de probabilité forward,
2
de Σ (t, T, T1 ) = t (S (u, T1 ) − S (u, T )) du :
Vt = p (t, T1 ) Φ (d2 ) − Kp (t, T ) Φ (d1)
33
avec :
ln
d1 =
p(t,T1 )
Kp(t,T )
p
et
ln
d2 =
− 12 Σ (t, T, T1 )
Σ (t, T, T1 )
p(t,T1 )
Kp(t,T )
p
+ 12 Σ (t, T, T1 )
Σ (t, T, T1 )
La formule d’évaluation d’une option sur bond risqué va jouer un rôle important pour
obtenir les prix d’autres produits dérivés de crédit. Cette formule a été déduite en utilisant
la règle de pricing définie dans [2], ainsi que des méthodes classiques de changement de
probabilité. Il est cependant intéressant de remarquer qu’il ne s’agit pas d’un changement
de numéraire, mais seulement d’un changement de probabilité forward (cf. (14)).
5.5
Option sur obligation risquée à coupon
5.6
Option sur spread de crédit
5.6.1
Description du contrat
La section suivante va développer le pricing de produits mis en vente sur le marché
pour les Bradys Bonds argentin notamment. La méthodologie mise en oeuvre s’appuie en
partie sur le paragraphe 3.1 (pp. 713-717) de [2].
Ainsi, une option européenne de vente sur spread de taux obligataire entre emprunt
d’Etat et obligation risquée, ou credit yield-spread put option, se définit comme une option
de vendre l’obligation risquée avec un spread S par rapport à l’obligation du Trésor, prise
comme actif sans risque de référence.
Le taux obligataire, ou yield, désigne ici le taux actuariel associé à une obligation, que
celle-ci soit ou non soumise à un risque de défaut. Ainsi, dans une modélisation en temps
continu, le yield s’exprime comme :
p (t, T ) = exp (− (T − t) Y (t, T ))
On suppose que l’option considérée a pour maturité T , et que les deux obligations
sous-jacente ont même maturité, notée Tm . Le pay-off à l’échéance est donnée par :
XT = max p Spr + Y (T, Tm ) , T − p (Spr (T, Tm ) + Y (T, Tm ) , T ) ; 0
où :
p (Y (t, T ) , t) = exp (− (T − t) Y (t, T ))
représente le prix du zéro-coupon associé au yield Y (t, T ) en t. Spr (t, T ) représente quant
à lui le spread de marché en t, pour la maturité T .
34
5.6.2
Modélisation
La première étape importante dans l’évaluation de ce produit consiste à remarquer
qu’à priori, l’émetteur de l’option est supposé sans risque de défaut. La règle de pricing
qui prévaut est alors l’évaluation risque-neutre classique au sens où :
Z T
Q
Pt = E exp −
r (s) ds XT |Ft
(18)
t
en désignant par r (s) le taux sans risque. L’évaluation de ce produit va donc nécessité de
définir les processus associés au taux sans risque et au taux risqué. Le spread de marché
se définit en effet sans difficulté en fonction de ces deux taux, puisque, si on note Yd (t, T )
le yield associé à un zéro-coupon risqué, on a par définition :
p (Y (t, T ) + s (t, T ) , t) = p (Yd (t, T ) , t)
soit :
Spr (t, T ) = Yd (t, T ) − Y (t, T )
(19)
Le pay-off d’un yield-spread put fait intervenir deux taux : le taux sans risque et le
taux risqué correspondant au spread sur lequel l’option est formée. Disposant de (19), il
existe alors trois choix de modélisation. Le premier consiste à modéliser le taux risqué
et le spread, ce qui permet de conserver une partie des résultats obtenus au paragraphe
précédent. Cette méthode se révèle cependant inadéquate, étant donné la forme du facteur
d’actualisation dans (??). Une seconde approche, plus naturelle, serait de prendre les deux
taux d’intérêt, puis d’en déduire le spread. Ce choix est peu efficace en terme de pricing,
car il va faire intervenir une différence entre les deux yield pour le calcul du spread, ce
qui se révèlera peu facile d’utilisation. Ce dernier point sera évoqué dans le paragraphe
suivant. La bonne approche, ou plutôt celle qui va se révéler être la plus efficace pour
l’obtention des formules de pricing, consiste à modéliser le taux sans risque et le spread.
Dans le paragraphe suivant, on montrera pourquoi cette méthode est finalement la plus
naturelle, même si elle ne correspond pas exactement aux développements effecutués dans
les aprties précédentes.
Conformément au choix de modélisation décrit précédemment, on se place dans un
cadre HJM pour le taux sans risque, et on procèdera de même pour le spread de crédit.
Cela revient à définir une structure par terme pour les spreads, et à introduire des notions identiques à celles utilisées couramment pour les taux, comme par exmple le spread
forward instantané, qui sera noté λ (t, T ).
Plus précisément, on commence par définir la diffusion du prix du zéro-coupon sans
risque, sous la probabilité risque-neutre Q, par :
dp (t, T ) = p (t, T ) r (t) dt + p (t, T ) S (t, T ) dW (t)
avec
Z
S (t, T ) = −
T
σ (t, s) ds
t
35
(20)
et de même pour la diffusion du taux forward sans risque sous Q :
df (t, T ) = −σ (t, T ) S (t, T ) dt + σ (t, T ) dW (t)
Afin d’obtenir la modélisation de λ (t, T ) sous Q, on commence par remarquer que :
λ (t, T ) = F (t, T ) − f (t, T )
ce qui permet de déduire directement, en utilisant :
dF (t, T ) = −σ d (t, T ) Sd (t, T ) dt + σ d (t, T ) dW (t)
la diffusion de λ (t, T ) :
dλ (t, T ) = − (σ d (t, T ) Sd (t, T ) − σ (t, T ) S (t, T )) dt + (σ d (t, T ) − σ (t, T )) dW (t) (21)
Il est enfin nécessaire de définir l’équivalent d’un zéro-coupon pour un taux, i.e. :
Z T
Π (t, T ) = exp −
λ (t, s) ds
t
Il est alors intéressant de remarquer que :
Π (t, T ) = exp (− (T − t) Spr (t, T ))
(22)
Le Q-mouvement brownien choisi dans la modélisation est identique pour les deux
diffusions. Il s’agit en fait d’un mouvement brownien de dimension d, avec la condition
suivante : d ≥ 2.
Remark 1 Ce choix de modélisation offre l’avantage technique de travailler avec des
browniens indépendants. En contrepartie, la corrélation entre les deux processus de prix
modélisés n’apparait pas explicitement.
Pour conclure ce paragraphe, on va préciser la diffusion de Π (t, T ) sous Q. Celle-ci
sera en effet très utile pour déterminer le yield-spread,
à l’aide de (22). Plus précisément,
Π(t,Tm )
on va être amener à calculer la diffusion de Π(t,T ) , ce qui se révèle plus efficace. Cette
quantité représente l’équivalent d’un zéro-coupon forward de taux d’intérêt égal au spread.
On part de :
Z T
pd (t, T )
Π (t, T ) = exp −
λ (t, s) ds =
p (t, T )
t
d’où :
dΠ (t, T ) = Π (t, T ) F (t, t) − r (t) + S (t, T )2 − Sd (t, T ) S (t, T ) dt
+Π (t, T ) (Sd (t, T ) − S (t, T )) dW (t)
et enfin :
Π (t, Tm )
Π (t, Tm )
S (t, Tm )2 + Sd (t, T )2
d
=
dt
(23)
−Sd (t, Tm ) S (t, Tm ) − Sd (t, T ) S (t, T )
Π (t, T )
Π (t, T )
Π (t, Tm )
+
((Sd (t, Tm ) − S (t, Tm )) − (Sd (t, T ) − S (t, T ))) dW (t)
Π (t, T )
36
5.6.3
Méthode et formule de pricing
La première étape de pricing consiste à réécrire (18) sous la forme :
R
"
#
Q exp − tT r (s) ds exp (− (Tm − T ) Y (T, Tm ))
Pt = exp − (Tm − T ) Spr E
1{exp((Tm −T )(Yd (T,Tm )−Y (T,Tm )))≥exp((Tm −T )S )} |Ft
R
#
"
T
exp
−
r
(s)
ds
exp
(−
(T
−
T
)
Y
(T,
T
))
m
d
m
t
−EQ
1{exp((Tm −T )(Yd (T,Tm )−Y (T,Tm )))≥exp((Tm −T )S )} |Ft
ce qui donne
Pt
Z T
r (s) ds p (T, Tm ) 1{Yd (T,Tm )−Y (T,Tm )≥Spr} |Ft
= exp − (Tm − T ) Spr E exp −
t
Z T
Q
−E exp −
r (s) ds pd (T, Tm ) 1{Yd (T,Tm )−Y (T,Tm )≥Spr} |Ft
Q
t
Cette formule de valorisation fait apparaı̂tre classiquement deux termes sous forme d’espérances
conditionnelles. Cependant, le second terme introduit un problème nouveau, puisqu’il
s’agit de calculer l’espérance, actualisée sous le numéraire risque-neutre, de flux futurs
soumis au risque de crédit. Il est en particulier intéressant de remarquer la différence
entre ce dernier terme et la règle de pricing utilisée au paragraphe précédent.
On commence par travailler sur l’expression précédente afin de mettre en évidence une
certaine symétrie et de se rapprocher de méthodes classiques de pricing :
Z T
Q
Pt = exp − (Tm − T ) Spr E exp −
r (s) ds p (T, Tm ) 1{Spr(T,Tm )≥Spr} |Ft
t
Z T
Q
−E exp −
r (s) ds p (T, Tm ) exp (− (Tm − T ) Spr (T, Tm )) 1{Spr(T,Tm )≥Spr} |Ft
t
La technique consiste ensuite à effectuer un changement de probabilité afin de se
ramener à la probabilité forward-neutre
h associée
i sans risque de maturité
R au zéro-coupon
Tm
Q
Tm , en remarquant que p (T, Tm ) = E exp − T r (s) ds |FT et que les autres termes
figurant dans les deux espérances sont FT - mesurables :
Z Tm
Q
Pt = exp − (Tm − T ) S E exp −
r (s) ds 1{S(T,Tm )≥S } |Ft
t
Z Tm
Q
−E exp −
r (s) ds exp (− (Tm − T ) S (T, Tm )) 1{S(T,Tm )≥S } |Ft
t
d’où en appliquant le changement de probabilité :
h
i
Tm
Pt = exp − (Tm − T ) Spr p (t, Tm ) EQ
1{Π(T,Tm ≤Π)} |Ft
h
i
Tm
−p (t, Tm ) EQ
Π (T, Tm ) 1{Π(T,Tm ≤Π)} |Ft
37
(24)
en notant Π = exp − (Tm − T ) Spr .
Le changement de probabilité effectué s’écrit explicitement comme :
dQTm
p (t, Tm )
|Ft =
dQ
p (0, Tm ) β t
et l’application du théorême de Girsanov donne directement que le processus défini par :
dW Tm (t) = dW (t) − S (t, Tm ) dt
est un mouvement
brownien
sous QTm . Ce changement de probabilité se transmet à la
m)
diffusion de Π(t,T
, qui devient (cf. (23)) :
Π(t,T )
d
Π (t, Tm )
Π (t, T )
= µ (t, T, Tm )
Π (t, Tm )
Π (t, Tm )
dt + ψ (t, T, Tm )
dW Tm (t)
Π (t, T )
Π (t, T )
en notant :
µ (t, T, Tm ) = Sd (t, T )2 − Sd (t, T ) S (t, Tm ) + S (t, T ) S (t, Tm ) − Sd (t, T ) S (t, T )
ψ (t, T, Tm ) = (Sd (t, Tm ) − S (t, Tm )) − (Sd (t, T ) − S (t, T ))
Cette dernière équation s’intègre facilement entre t et T , pour donner :
Π (t, Tm )
Π (T, Tm ) =
exp
Π (t, T )
RT
t
!
µ (u, T, Tm ) − 12 ψ (u, T, Tm )2 du
RT
+ t ψ (u, T, Tm ) dW Tm (u)
et on remarque que :
Π (t, Tm )
pfd (t, T, Tm )
= f
Π (t, T )
p (t, T, Tm )
en désignant par pf (t, T, Tm ) le zéro-coupon forward vu de t, pour la période [T, Tm ].
Par conséquent, on s’est ramené à des calculs d’espérances conditionnelles pour des
processus log-normaux. La suite des calculs est donc relativement classique.
Lemma 3 Pricing d’un yield-spread put option
Soit un put européen de maturité T sur le spread de taux actuariel, ou yield, entre un
zéro-coupon risqué et un zéro-coupon sans risque, tout deux de maturité Tm . S désignant le
strike en yield-spread, la règle de pricing risque-neutre classique, applicable si on considère
que l’émetteur de l’option n’est pas soumis au risque de défaut, donne :
Z T
Q
Pt = E exp −
r (s) ds XT |Ft
t
Par changementR de probabilité forward, le calcul explicite de Pt s’effectue en fonction de
T
Σ2 (t, T, Tm ) = t ψ (u, T, Tm )2 du :
38
Pt = exp − (Tm − T ) Spr p (t, Tm ) N (d1 )
Z T
pfd (t, T, Tm )
−p (t, Tm ) f
exp
µ (u, T, Tm ) du N (d2 )
p (t, T, Tm )
t
avec
d1 =
R
f
T
m)
ln Spr ppf (t,T,T
− t µ (u, T, Tm ) du + 12 Σ2T,Tm
(t,T,T )
d
m
Σ (t, T, Tm )
et
d2 = d1 − Σ (t, T, Tm )
39
6
Une méthode de calage par ACP
6.1
Introduction
Ne disposant pas de prix de produits dérivés de crédit (prix d’options en particulier),
mais disposant de données de spread et de taux (cf précédemment), nous avons fait le
choix de réaliser un calage du modèle par ACP. Pour ce qui est du choix du modèle,
les résultats de l’analyse en composantes pricipales ont permis de constater que deux
facteurs permettaient d’expliquer dans les deux cas étudiés plus de 85 % des déformations
de la courbe des taux. Compte-tenu du cadre HJM dans lequel nous nous sommes placés
depuis le début de l’étude, notre choix s’est donc tourné naturellement vers un modèle
HJM “risqué” à deux facteurs. Il n’existe pas de consensus général sur le type de facteurs
à adopter, néanmoins il paraı̂t essentiel d’adopter un modèle markovien afin de simplifier
grandement les techniques de calcul et il paraı̂t également essentiel que les facteurs choisis
puissent traduire les résultats de l’ACP.
Remark 2 Nous aurions pu, afin d’être encore plus en adéquation avec les résultats
empiriques de l’ACP, considérer tout aussi bien trois sources d’incertitudes, ce qui correspondrait dans ce cadre précis à l’existence de trois facteurs markoviens affectant la
courbe des taux d’intérêt. Les développements théoriques ci-après n’en seraient pas modifiés. L’intérêt d’un troisième facteur apparait néanmoins limité au vu des résultats de
l’ACP puisque celui-ci explique toujours moins de 10% des déformations de la courbe.
En outre, cet ajout compliquerait le calage du modèle puisque deux nouveaux paramètres
apparaitraient.
6.2
Modélisation via deux facteurs
Comme nous l’avons vu dans une partie précédente, deux facteurs se dessinent clairement dans les résultats de l’ACP : un premier facteur de niveau affectant de manière
semblable les taux de même maturité et un deuxième facteur de rotation, pivotement
où s’échelonnent les taux suivant leurs maturités. Compte-tenu de ces résultats, les deux
facteurs que nous avons retenus dans le cadre HJM “risqué” sont un facteur “Ho-Lee” et
un facteur “Vasicek”.
En écrivant le processus de diffusion suivi par le taux zéro-coupon risqué, on comprendra mieux ce choix. Tout d’abord, en imposant dans le cadre HJM le choix d’un facteur “Ho-Lee” et d’un facteur “Vasicek” (c’est-à-dire avec une fonction de volatilité des
taux à terme instantanés respectivement du type σ Ho−Lee (t, T ) = σ 1 et σ V asicek (t, T ) =
σ 2 e−λ(T −t) ) le prix du zéro-coupon risqué suit sous Q, avec les notations précédentes, le
processus lognormal suivant :
Z T
dp (t, T )
= Rt dt − σ 1 (T − t)dB1 (t) − (
σ 2 e−λ(s−t) ds)dB2 (t)
p (t, T )
t
soit :
dp (t, T )
σ2
= Rt dt − σ 1 (T − t)dB1 (t) − (1 − e−λ(T −t) )dB2 (t)
p (t, T )
λ
40
Et le taux zéro-coupon Y (t, T ) = − T 1−t ln(p(t, T )) vérifie, en appliquant le lemme
d’Itô :
1 dp (t, T )
1
−
ln(p(t, T ))dt
T − t p (t, T )
(T − t)2
1 1 d < p(t, T ) >
+
2 T − t (p(t, T ))2
dY (t, T ) = −
soit, après simplifications :
σ2
Rt
dt + σ 1 dB1 (t) +
(1 − e−λ(T −t) )dB2 (t)
T −t
λ(T − t)
1 2
σ 22
1
−
ln(p(t,
T
))dt
+
[σ
(T
−
t)
+
[1 − e−λ(T −t) ]2 ]dt
2
(T − t)2
2 1
λ (T − t)
dY (t, T ) = −
et finalement :
Rt
1
−
ln(p(t, T ))
T − t (T − t)2
σ2
1
+ [σ 21 (T − t) + 2 2
[1 − e−λ(T −t) ]2 ])dt + α1 (t)dB1 (t) + α2 (t)dB2 (t)
2
λ (T − t)
dY (t, T ) = (−
avec α1 (t, T ) = σ 1 et α2 (t, T ) = λ(Tσ2−t) [1 − e−λ(T −t) ].
On remarque alors que α1 (t) (provenant du facteur “Ho-Lee”) qui est constant, affecte
de la même façon les taux zéro-coupons quelle que soit la maturité et est donc bien un
facteur de niveau, et que α2 (t) (provenant du facteur “Vasicek”) s’apparente à un facteur
de pivotement.
6.3
6.3.1
Méthode de calage utilisant les résultats de l’ACP
Cadre théorique
Disposant de données et d’un modèle pour les taux risqués, nous avons réalisé une
analyse en composantes principales sur les taux pris en variations (quotidiennes), l’intérêt
étant de pouvoir caler le modèle retenu en fonction des résultats de l’ACP.
L’idée du calage est la suivante : on considère pour une maturité donnée les taux
en variations dR(t, θk ) = R(t + 1, θk )− R(t, θk ), l’ACPva normaliser ces taux, c’està-dire considérer dR = (dRtk ) t∈[1..T ] =
k∈[1..K]
dR(t,θk )−dR(.,θk )
√
T σ dR(.,θ )
k
t∈[1..T ]
k∈[1..K]
avec T représentant le
nombre de dates disponibles
√ de maturités. L’ACP va permettre d’écrire
P et√K le nombre
dR(t, θk ) = dR(., θk ) + K
T
σ
dR(.,θk ) λl Vtl Ulk avec (Ukl )1≤k,l≤K est la matrice des
l=1
T
vecteurs propres de dR dR (matrice
des variations
de √
taux). Ceci peut se
√
PK de corrélation
l
réécrire dR(t, θk ) = dR(., θk ) + l=1 clk Ct (en posant clk = T σ dR(.,θk ) λl Ulk et Vtl = Ctl .
Ctl est alors la lième composante principale et clk la coordonnée du taux en variation de
maturité θk sur le lième axe factoriel.
41
On peut finalement écrire :
dR(t, θk ) = dR(., θk ) +
M
X
clk Ctl + εlk
l=1
avec M nombre d’axes factoriels retenus et εlk le terme résiduel jugé non explicatif des
déforamtions de la courbe.
On voit donc que le calage va consister en une “identification” des composantes α1 (t, T )
et α2 (t, T ) de dY (t, T ) suivant les browniens dB1 (t) et dB2 (t) avec les composantes de
ce même dY (t, T ) suivant les axes principaux issus de l’ACP, on pourra alors en déduire
les paramètres du modèle à savoir : σ 1 , σ 2 et λ.
6.3.2
Application
Les données dont nous disposons sont : des données quotidiennes sur deux ans (1998 −
2000) de spead sur l’industrie américaine (taux de swap sans risque - taux d ’émission
obligataire des corporates) pour différentes maturités 2 ans, 5 ans, 10 ans, 15 ans, 20
ans, 30 ans et classées par ratings, et des données hebdomadaires sur l’année 2000 de
taux obligataires de l’émetteur Philip Morris pour les maturités 2 mois, 6 mois, 1 an, 2
ans, 3 ans, 4 ans, 5 ans, 6 ans, 7 ans, 8 ans.
Après avoir réécrit les données en variations (quotidiennes pour les spread sur l’industrie américaine, hebdomadaires pour l’émetteur Philip Morris), nous avons effectué des
ACP en prenant les maturités comme variables actives. Une première ACP a été lancée
sur les données de spead de l’industrie américaine pour le rating AAA et une deuxième
ACP sur les données de taux obligataires Philip Morris. Les résultats de ces ACP qui nous
avaient permis dans un premier temps d’isoler deux facteurs prépondérants de “niveau”
et de “pivotement”, vont cette fois être utilisés pour déterminer les coordonnées des variables actives (les maturités) suivant les axes principaux (c1k et c2k avec nos notations)
et l’on pourra ainsi procéder au calage des paramètres de la façon suivante :
σ ∗1
(σ ∗2 , λ∗2 )
= Arg min
σ1
= Arg min
σ 2 ,λ2
K
X
T −t=1
(
K
X
(σ 1 − c1,T −t )2
T −t=1
σ2
[1 − e−λ(T −t) ] − c2,T −t )2
λ(T − t)
Pour le calage de σ 1 , il est clair qu’on aura σ ∗1 = c1,T −t (c’est-à-dire la moyenne
arithmétique des coordonnées sur le premier axe), quant au calage de σ 2 et λ2 , une
résolution par l’algorithme de Newton ou du gradient permet d’aboutir aux résultats
suivants, pour un calage du modèle effectué sur les données Philip Morris :
1er coefficient : σ 1
0.82
2ème coefficient : σ 2
1.27
42
3ème coefficient : λ
5.47
RMSE
0.775
6.3.3
Conclusion
On peut tout d’abord regretter de ne pas avoir eu à notre disposition plus de données
de taux zéro-coupons risqués et surtout des données de prix qui nous auraient permis de
pouvoir comparer les résultats issus du calage avec des prix de marché.
On peut également faire une autre remarque : le modèle tel que nous l’avons écrit
est un modèle sur les taux zéro-coupons risqués et non sur les spreads or nous avons
effectué une ACP sur les spreads (pour les données sur l’industrie américaine). L’idée
était simplement de tester le fait qu’on puisse avoir des résultats similaires. Il s’avère que
même si l’ACP effectuée sur les spreads fait appaı̂tre les mêmes types de facteurs que pour
l’ACP sur les taux risqués (facteur de “niveau” et de “pivotement”), le calage est bien
plus instable que pour celui effectué sur les taux (très grande instabilité des algorithmes
de Newton et du gradient, en fonction du point initial)
43
7
Annexes
7.1
Annexe 1 : Diffusion du zéro-coupon risqué
Lemma 4 Soit Q la probabilité risque-neutre, on suppose que la dynamique des taux
forward instantané est donnée par :
dF (t, T ) = µ (t, T ) dt + σ (t, T ) dB (t)
le prix du zéro-coupon associé, sous Q en t est donné par :
Z T
dp (t, T )
1
2
= −
µ (t, s) ds + F (t, t) + S (t, T ) dt + S (t, T ) dB (t)
p (t, T )
2
t
Z T
S (t, T ) = −
σ (t, s) ds
t
R
T
Proof. On part de la relation p (t, T ) = exp − t F (t, s) ds et de l’équation (5). On
RT
pose Z (t, T ) = − t F (t, s) ds. En intégrant (5), on obtient :
Z
F (t, s) = F (0, s) +
t
t
Z
µ (u, s) du +
0
σ (u, s) dB (u)
(25)
0
D’où :
Z
T
Z (t, T ) = −
Z
T
t
Z
F (0, s) ds −
t
Z
T
t
Z
µ (u, s) duds −
t
0
σ (u, s) dB (u) ds
t
0
En permuttant les intégrales doubles et en les décomposant, on obtient :
Z T
Z tZ T
Z tZ T
Z (t, T ) = −
F (0, s) ds −
µ (u, s) dsdu −
σ (u, s) dsdB (u)
t
0
u
0
u
Z T
Z TZ t
Z TZ t
µ (u, s) duds +
σ (u, s) dsdB (u)
F (0, s) ds +
+
t
t
t
u
u
RT
On remarque ensuite que Z (0, T ) = − 0 F (0, s) ds, puis avec F (s, s) dans (25) :
Z s
Z s
F (s, s) = F (0, s) +
µ (u, s) du +
σ (u, s) dB (u)
0
0
RtRt
RtRs
Enfin, on remarque que 0 u α (u, s) dsdu = 0 0 α (u, s) duds en appliquant Fubini,
ce qui permet de conclure :
Z t
Z tZ T
Z tZ T
Z (t, T ) = Z (0, T ) +
F (s, s) ds −
µ (u, s) dsdu −
σ (u, s) dsdB (u)
0
0
u
44
0
u
On a alors directement :
Z T
dZ (t, T ) = F (t, t) −
µ (t, s) ds dt − S (t, T ) dB (t)
t
Z T
S (t, T ) =
σ (t, s) ds
t
Or, Z (t, T ) et p (t, T ) sont reliés par la relation : Z (t, T ) = ln (p (t, T )), ou encore
p (t, T ) = exp (Z (t, T )). On peut alors calculer la diffusion de p (t, T ), par Itô :
Z T
1
2
dp (t, T ) = p (t, T ) −
µ (t, s) ds + F (t, t) + S (t, T ) dt + p (t, T ) S (t, T ) dB (t)
2
t
45
7.2
Annexe 2 : ACP sur taux risqués
Cette annexe reprend les aides à l’interprétation données par SAS pour l’ACP menée
sur les taux risqué en variations hebdomadaires, pour l’émetteur Philip Morris. La gamme
de maturités suivante a été utilisée : 2 mois, 6 mois, 1 an, 2 ans, 3 ans, 4 ans, 5 ans, 6
ans, 7 ans, 8 ans.
Fig.˜7 – Aides à l’interprétation Axes 1 & 2
46
7.3
Annexe 3 : ACP sur spread de crédit
Cette annexe reprend les résultats de l’ACP menée sur les spreads de crédit, contre
taux de swap US, en variation quotidienne, pour le secteur industrie américaine. On
présente successivement le tableau des valeurs propres, le premier cercle des corrélations
et les aides à l’interprétation données par SAS. La gamme de maturités suivante a été
utilisée : 2 ans, 5 ans, 10 ans, 15 ans, 20 ans, 30 ans.
7.3.1
ACP pour la classe de rating AAA
Fig.˜8 – Tableau des valeurs propres : classe de rating AAA
47
1er cercle des corrélations : classe de rating AAA
48
Fig.˜9 – Aides à l’interprétation Axes 1&2 : classe de rating AAA
7.3.2
ACP pour la classe de rating BBB1
Fig.˜10 – Tableau des valeurs propres : classe de rating BBB1
Fig.˜11 – Aides à l’interprétation Axes 1&2 : classe de rating BBB1
49
1er cercle de corrélation : classe de rating BBB1
50
Références
[1] Heath, D., Jarrow, et A. Morton, 1992, ”Bond Pricing and the Term Strucuture of
Interest Rates : A New Methodology for Contingent Claims Valuation”, Econometrica,
60, 77-106.
[2] Duffie, D., Singleton, K.J., 1999, ”Modeling Term Strucutures of Defaultable Bonds”,
The Review of Financial Studies, 687-720.
[3] Pugachevsky, D., 1999, ”Modelling with HJM in Emerging Markets”, Deutsche Bank.
[4] Frachot, A., 1999, ”Les Modèles de la Structure des Taux d’Intérêts”, ENSAE.
[5] Bjork, T., 1996, ”Interest Rate Theory”, CIME Lectures.
[6] Jeanblanc, M., 2000, ”Risque de défaut”, Formation par la recherche ENSAE.
51

Pricing des produits dérivés de crédit dans un mod`ele `a intensité

Transcription

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