1-Opérateur et matrice d`inertie

CINETIQUE
Opérateur d’inertie et matrice d’inertie
La masse « m » seule ne permet pas de caractériser la difficulté à
mettre un solide en mouvement. Dans le cas particulier où ce
mouvement est une translation, la masse suffit, mais pour des
mouvements plus complexes, la répartition de cette masse sur le
solide est à retenir.
Deux quantités scalaires: le moment d’inertie et le produit
d’inertie, caractérisent cette répartition autour d’un axe. Ces deux
quantités s’expriment en Kg.m² et nous allons détailler leurs
propriétés.
Fiche Méca
Cinétique 11
On peut synthétiser les notions présentées plus haut dans un
opérateur qui est l’opérateur linéaire d’inertie. Appliqué à un
r
r r r
vecteur u constant dans (x , y, z ) , son expression est la suivante:
r
application linéaire
u ⎯⎯
⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→
Fiche Méca
Cinétique 11
avec :
■ Opérateur d’inertie
■ Matrice d’inertie
■ Cas du solide admettant un
plan de symétrie
■ Cas du solide admettant deux
plans de symétrie
■ Opérateur d’inertie
CINETIQUE
Opérateur d’inertie et matrice d’inertie
■ Cas du solide admettant une
symétrie de révolution
■ Cas du solide dont l’épaisseur
est négligeable
r
r
I(O ,S ).u = OP ∧ (u ∧ OP )dm
∫
r
A : moment d’inertie du solide par rapport à (O , x )
r
B : moment d’inertie du solide par rapport à (O , y )
r
C : moment d’inertie du solide par rapport à (O , z )
r r
D: produit d’inertie par rapport au plan (O , y , z )
r r
E: produit d’inertie par rapport au plan (O , x , z )
r r
F: produit d’inertie par rapport au plan (O , x , y )
Nous allons passer en revue quelques cas particuliers de symétrie
rencontrés dans les problèmes.
■ Cas où le solide admet un plan de symétrie matérielle
r
z
r
P est plan de symétrie matérielle de normale z pour le solide (figure
1).
On peut alors séparer l’intégrale sur (S), en une somme d’intégrales
sur (S1) et (S2).
M(x,y,z)
On a : S
E =
matrice d’inertie
O
P
∫ x.z.dm + ∫ x.(−z ).dm = 0 S1
r
x
M(x,y,-z)
S2
et Cet opérateur est linéaire, donc représentable par une matrice.
D=
r
Dans nos applications, le vecteur u sera le vecteur rotation du
solide par rapport à un repère R.
∫ y.z.dm + ∫ y.(−z ).dm = 0 S1
S2
⎛ A
⎜
Par conséquent : I (O ,S ) = ⎜ − F
⎜ 0
⎝
■ Matrice d’inertie
-F 0⎞
⎟
B 0⎟
0 C ⎟⎠ (xr ,yr ,zr )
La matrice d’inertie du solide (S) au point O, relativement à la base
r r r
(x , y, z ) , s’obtient en disposant en colonnes les transformés des
vecteurs de la base par l’opérateur d’inertie.
en intégrant sur tout le solide :
Compte tenu du résultat précédent, si S admet deux plans de
r
r
symétrie orthogonaux de normales, par exemple, x et z , alors :
⎛
⎜ (y 2 + z 2 ).dm
⎜
s
r ⎜
I (O , S ).u = ⎜ − x .y.dm
⎜
s
⎜
⎜ − x .z .dm
⎜
s
⎝
∫
∫
∫
∫
− y.x .dm
∫ (x
s
s
2
+ z 2 ).dm
∫
− y.z .dm
s
■ Cas où le solide admet deux plans de symétrie matérielle
⎞
⎟
⎟
s
⎟ ⎛⎜ u1 ⎞⎟
⎟.⎜ u 2 ⎟
⎟⎜ ⎟
s
⎟ ⎝ u3 ⎠
2
2
(y + x ).dm ⎟
⎟
s
⎠
⎛A 0 0⎞
⎜
⎟
I (O ,S ) = ⎜ 0 B 0 ⎟
⎜ 0 0 C⎟ r r r
⎝
⎠ ( x ,y ,z )
∫
− ∫ z .y.dm
− z .x.dm
1
−F
B
−D
r
z
tous les produits d’inertie sont
nuls
∫
■ Cas où le solide présente une symétrie de révolution
r
Un solide de révolution d’ axe z , par exemple (figure 2) , admet au
moins deux plans de symétrie perpendiculaires, donc les produits
d’inertie sont nuls.
Les composantes de la matrice d’inertie sont traditionnellement
notées :
⎛ A
⎜
I (O ,S ) = ⎜ − F
⎜− E
⎝
- figure 1 -
−E⎞
⎟
−D⎟
C ⎟⎠ (xr ,yr ,zr )
r
r
Les axes x et y jouent le même rôle du point de vue géométrique
et du point de vue de la répartition des masses, par conséquent
les moments d’inertie A et B sont égaux :
Mécanique
P. Hautcoeur – Lycée Clemenceau - Nantes
2
- figure 2 -
Mécanique
P. Hautcoeur – Lycée Clemenceau - Nantes
r
y
CINETIQUE
Opérateur d’inertie et matrice d’inertie
⎛A 0 0⎞
⎜
⎟
I (O ,S ) = ⎜ 0 A 0 ⎟
⎜ 0 0 C⎟
⎝
⎠(−,−,zr )
ce qui est vrai
r
contenant z .
pour
Fiche Méca
Cinétique 11
toute
base
D’autre part dans ce cas :
C =
A
+ z 2dm
2
∫
S
le calcul de C ne se fera donc pas directement.
r
z
■ Cas où le solide présente une épaisseur négligeable (plaque mince)
r
Si l’épaisseur suivant z est négligeable devant les autres dimensions
alors z = 0
Donc
E=D=0
et
C=A+B
O
par conséquent
0 ⎞
⎛ A -F
⎜
⎟
I (O ,S ) = ⎜ − F B
0 ⎟
⎜ 0
0 A + B ⎟⎠ ( xr ,yr ,zr )
⎝
3
r
y
r
x
- figure 3 -
Mécanique
P. Hautcoeur – Lycée Clemenceau - Nantes