PTSI Lycée Joliot Curie, Rennes Année 2007–2008

◮ PTSI
Lycée Joliot Curie, Rennes
Année 2007–2008, Sixième TP Mathematica
Clément Picard
Exercice 1
donné à l’oral de l’ENSAM
1) Déterminer les coefficients a, b, c, d et e pour que la fonction
x 7→ f (x) = sh(x) −
ax + bx3 + cx5
1 + dx2 + ex4
soit un infiniment petit d’ordre le plus élevé possible au voisinage de 0, c’est-à-dire pour que f (x) ∼ Cste.xk
x→0
avec k le plus grand possible. Donner alors un équivalent de f .
Indication : effectuer un développeemnt limité de f (x) en 0 grâce à la commande Series.
Récupérer la liste des coefficients de ce développement limité grâce à la commande CoefficientList.
Calculer grâce à la commande Solve les valeurs de a, b, c, d, e de manière à annuler le plus possible de ces
coefficients en partant du début.
2) Donner alors un équivalent de f .
Exercice 2
Oral de l’ENSAM
1) Calculer le reste de la division euclidienne de
P = X n + 2X m + 1
par
(X − 1)(X − 2)(X − 3)(X − 4)
n et m étant deux entiers naturels.
Indication : le reste est un polynôme de degré au plus 3. Ses quatre coefficients peuvent être calculés en
évaluant le polynôme P pour certaines valeurs judicieuses.
2) Vérifier le résultat pour n = 43 et m = 100. On pourra chercher dans l’aide en ligne dans Algebraic
Computation → Polynomial Functions une fonction qui permet de calculer un reste de division euclidienne.
Oral de l’ENSAM
−1 7
0 ∗
Soit la matrice A =
. Soit B =
(les étoiles étant des coefficients quelconques).
13 1
∗ 0
Trouver une matrice inversible P telle que B = P −1 AP .
Exercice 3
Exercice 4
Oral de l’ENSAM
Trouver a, b, c tels que
X6 +
√
2X 5 + aX 2 + bX + c
ait un zéro de multiplicité au moins 4.
1