IV DÉRIVATION NUMÉRIQUE

IV
DÉRIVATION NUMÉRIQUE
Analyse Numérique
Tronc Commun
Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
1
Un exemple
Calcul approché de la dérivée en
1
(a
2
+ b).
y
x
a
Analyse Numérique – R. Touzani
b
Dérivation numérique
2
La dérivée d’une fonction f en un point x ∈ R est définie par
f 0 (x) := lim
h→0
Analyse Numérique – R. Touzani
f (x + h) − f (x)
h
Dérivation numérique
3
La dérivée d’une fonction f en un point x ∈ R est définie par
f 0 (x) := lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
Le calcul de la dérivée peut être :
Onéreux (expression difficile à évaluer)
Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
3
La dérivée d’une fonction f en un point x ∈ R est définie par
f 0 (x) := lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
Le calcul de la dérivée peut être :
Onéreux (expression difficile à évaluer)
Imprécis : Fonction donnée par un ensemble discret de valeurs (données
expérimentales par exemple)
Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
3
La dérivée d’une fonction f en un point x ∈ R est définie par
f 0 (x) := lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
Le calcul de la dérivée peut être :
Onéreux (expression difficile à évaluer)
Imprécis : Fonction donnée par un ensemble discret de valeurs (données
expérimentales par exemple)
Impossible : Dérivées intervenant dans des équations différentielles par exemple
Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
3
La dérivée d’une fonction f en un point x ∈ R est définie par
f 0 (x) := lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
Le calcul de la dérivée peut être :
Onéreux (expression difficile à évaluer)
Imprécis : Fonction donnée par un ensemble discret de valeurs (données
expérimentales par exemple)
Impossible : Dérivées intervenant dans des équations différentielles par exemple
Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
3
La dérivée d’une fonction f en un point x ∈ R est définie par
f 0 (x) := lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
Le calcul de la dérivée peut être :
Onéreux (expression difficile à évaluer)
Imprécis : Fonction donnée par un ensemble discret de valeurs (données
expérimentales par exemple)
Impossible : Dérivées intervenant dans des équations différentielles par exemple
Idée simple : Calculer le quotient différentiel :
f 0 (x) ≈
f (x + h) − f (x)
h
Analyse Numérique – R. Touzani
|h| 1
Dérivation numérique
3
Erreur d’arrondi : Un exemple
Supposons que l’on travaille sur un calculateur avec 3 chiffres significatifs.
Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
4
Erreur d’arrondi : Un exemple
Supposons que l’on travaille sur un calculateur avec 3 chiffres significatifs.
Soit f (x) = x 2 . On veut calculer f 0 (7) = 14 avec cette méthode.
Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
4
Erreur d’arrondi : Un exemple
Supposons que l’on travaille sur un calculateur avec 3 chiffres significatifs.
Soit f (x) = x 2 . On veut calculer f 0 (7) = 14 avec cette méthode.
Avec h = 0,1, on a (7,1)2 = 50,41
f (7,1) − f (7)
(7,1)2 − 72
50,4 − 49
=
=
= 14,0
0,1
0,1
0,1
Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
4
Erreur d’arrondi : Un exemple
Supposons que l’on travaille sur un calculateur avec 3 chiffres significatifs.
Soit f (x) = x 2 . On veut calculer f 0 (7) = 14 avec cette méthode.
Avec h = 0,1, on a (7,1)2 = 50,41
f (7,1) − f (7)
(7,1)2 − 72
50,4 − 49
=
=
= 14,0
0,1
0,1
0,1
Avec h = 0,01, on a (7,01)2 = 49,1401
f (7,01) − f (7)
(7,01)2 − 72
49,1 − 49
=
=
= 10,0
0,01
0,01
0,01
Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
!!!
4
Erreur d’arrondi : Un exemple
Supposons que l’on travaille sur un calculateur avec 3 chiffres significatifs.
Soit f (x) = x 2 . On veut calculer f 0 (7) = 14 avec cette méthode.
Avec h = 0,1, on a (7,1)2 = 50,41
f (7,1) − f (7)
(7,1)2 − 72
50,4 − 49
=
=
= 14,0
0,1
0,1
0,1
Avec h = 0,01, on a (7,01)2 = 49,1401
f (7,01) − f (7)
(7,01)2 − 72
49,1 − 49
=
=
= 10,0
0,01
0,01
0,01
!!!
Ainsi, une petite perturbation de f (x) (erreur d’arrondi) a induit une grande
perturbation de f 0 (x).
Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
4
Erreur d’arrondi
Soit δ la précision relative de la machine (ex. : 7 chiffres significatifs =⇒ δ = 10−7 ).
L’erreur absolue sur l’évaluation d’une fonction f en un point x est de l’ordre de
δ |f (x)|. On peut estimer l’erreur sur le numérateur par
δ|f (x + h)| + δ|f (x)| ≈ 2δ |f (x)|.
Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
5
Erreur d’arrondi
Soit δ la précision relative de la machine (ex. : 7 chiffres significatifs =⇒ δ = 10−7 ).
L’erreur absolue sur l’évaluation d’une fonction f en un point x est de l’ordre de
δ |f (x)|. On peut estimer l’erreur sur le numérateur par
δ|f (x + h)| + δ|f (x)| ≈ 2δ |f (x)|.
L’erreur absolue sur le quotient différentiel est alors estimée par :
f (x) Ea = 2δ h Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
5
Erreur d’arrondi
Soit δ la précision relative de la machine (ex. : 7 chiffres significatifs =⇒ δ = 10−7 ).
L’erreur absolue sur l’évaluation d’une fonction f en un point x est de l’ordre de
δ |f (x)|. On peut estimer l’erreur sur le numérateur par
δ|f (x + h)| + δ|f (x)| ≈ 2δ |f (x)|.
L’erreur absolue sur le quotient différentiel est alors estimée par :
f (x) Ea = 2δ h Dans le cas de l’exemple précédent (δ = 10−3 ), on a pour h = 0,1 :
Ea = 2 × 10−3 ×
Analyse Numérique – R. Touzani
49
= 0,98 ≈ 1
0,1
Dérivation numérique
5
Erreur d’arrondi
Soit δ la précision relative de la machine (ex. : 7 chiffres significatifs =⇒ δ = 10−7 ).
L’erreur absolue sur l’évaluation d’une fonction f en un point x est de l’ordre de
δ |f (x)|. On peut estimer l’erreur sur le numérateur par
δ|f (x + h)| + δ|f (x)| ≈ 2δ |f (x)|.
L’erreur absolue sur le quotient différentiel est alors estimée par :
f (x) Ea = 2δ h Dans le cas de l’exemple précédent (δ = 10−3 ), on a pour h = 0,1 :
Ea = 2 × 10−3 ×
49
= 0,98 ≈ 1
0,1
Pour h = 0,01 :
Ea = 2 × 10−3 ×
Analyse Numérique – R. Touzani
49
≈ 10
0,01
Dérivation numérique
5
Erreur de troncature
On a par la formule de Taylor (on suppose f 2 fois continûment dérivable) :
f (x + h) = f (x) + f 0 (x)h + f 00 (x̃)
Analyse Numérique – R. Touzani
h2
2
|x − x̃| < |h|.
Dérivation numérique
6
Erreur de troncature
On a par la formule de Taylor (on suppose f 2 fois continûment dérivable) :
f (x + h) = f (x) + f 0 (x)h + f 00 (x̃)
Ainsi
f 0 (x) =
h2
2
|x − x̃| < |h|.
h
f (x + h) − f (x)
− f 00 (x̃) .
h
2
Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
6
Erreur de troncature
On a par la formule de Taylor (on suppose f 2 fois continûment dérivable) :
f (x + h) = f (x) + f 0 (x)h + f 00 (x̃)
Ainsi
f 0 (x) =
h2
2
|x − x̃| < |h|.
h
f (x + h) − f (x)
− f 00 (x̃) .
h
2
L’erreur de troncature pour des petites valeurs de |h| est définie par
Et =
Analyse Numérique – R. Touzani
|h| 00
|f (x̃)|
2
Dérivation numérique
6
Erreur totale
Elle est définie par
E = Ea + Et
Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
7
Erreur totale
Elle est définie par
E = Ea + Et
Ainsi pour notre méthode
f (x) |h| 00
+
|f (e
x )|
E = 2δ h 2
Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
7
Erreur totale
Elle est définie par
E = Ea + Et
Ainsi pour notre méthode
f (x) |h| 00
+
|f (e
x )|
E = 2δ h 2
Théorème
La quantité
f (x) |h| 00
+
E = 2δ |f (e
x )|
h 2
est minimale pour
s f (x) .
|h| = 2 δ 00
f (x̃) Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
7
Démonstration
Soit
g (s) := 2δ
|f (x)|
s
a
+ |f 00 (e
x )| = + bs
s
2
s
où
a = 2δ|f (x)|,
Analyse Numérique – R. Touzani
b=
1 00
|f (e
x )|.
2
Dérivation numérique
8
Démonstration
Soit
g (s) := 2δ
|f (x)|
s
a
+ |f 00 (e
x )| = + bs
s
2
s
où
a = 2δ|f (x)|,
b=
1 00
|f (e
x )|.
2
Puisque a et b sont positifs, on a le graphe :
g(s)
a/s
bs
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Dérivation numérique
8
On en déduit
g 0 (s) = 0 ⇐⇒ −
D’où
a
+ b = 0 ⇐⇒ s =
s2
r
a
.
b
s f (x) .
|h| = 2 δ 00
f (e
x) Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
9
On en déduit
g 0 (s) = 0 ⇐⇒ −
D’où
a
+ b = 0 ⇐⇒ s =
s2
r
a
.
b
s f (x) .
|h| = 2 δ 00
f (e
x) Exemple :
On prend f (x) = x 2 et δ = 10−3 . On en déduit
p
√
f 00 (x) = 2, h = 2δf (x) = 2δ |x|.
√
Si x = 7, on a h = 10 δ ≈ 0,3.
Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
9
Autres schémas
Le quotient différentiel
f 0 (x) ≈
f (x + h) − f (x)
h
est appelé différence décentrée à droite.
Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
10
Autres schémas
Le quotient différentiel
f 0 (x) ≈
f (x + h) − f (x)
h
est appelé différence décentrée à droite.
On peut tout aussi bien choisir une différence décentrée à gauche :
f 0 (x) ≈
f (x) − f (x − h)
h
Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
10
Autres schémas
Le quotient différentiel
f 0 (x) ≈
f (x + h) − f (x)
h
est appelé différence décentrée à droite.
On peut tout aussi bien choisir une différence décentrée à gauche :
f 0 (x) ≈
f (x) − f (x − h)
h
ou une différence centrée autour de x, i.e.
f 0 (x) ≈
f (x + h) − f (x − h)
2h
Dans ce cas, l’erreur d’arrondi reste la même. Par contre, on modifie l’erreur de
troncature.
Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
10
Théorème
On suppose que f est de classe C 3 et de dérivées bornées. Alors on a
2
0
f (x) − f (x + h) − f (x − h) ≤ h sup |f 000 (y )|
2h
6 y ∈R
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Dérivation numérique
11
Théorème
On suppose que f est de classe C 3 et de dérivées bornées. Alors on a
2
0
f (x) − f (x + h) − f (x − h) ≤ h sup |f 000 (y )|
2h
6 y ∈R
En effet, on a par la formule de Taylor :
h2 00
f (x) +
2
2
h 00
f (x − h) = f (x) − hf 0 (x) +
f (x) −
2
f (x + h) = f (x) + hf 0 (x) +
Analyse Numérique – R. Touzani
h3 000
f (ξ),
6
3
h 000
f (η),
6
Dérivation numérique
où
ξ ∈ [x, x + h],
où
η ∈ [x − h, x].
11
Théorème
On suppose que f est de classe C 3 et de dérivées bornées. Alors on a
2
0
f (x) − f (x + h) − f (x − h) ≤ h sup |f 000 (y )|
2h
6 y ∈R
En effet, on a par la formule de Taylor :
h2 00
f (x) +
2
2
h 00
f (x − h) = f (x) − hf 0 (x) +
f (x) −
2
f (x + h) = f (x) + hf 0 (x) +
Donc
f 0 (x) −
h3 000
f (ξ),
6
3
h 000
f (η),
6
où
ξ ∈ [x, x + h],
où
η ∈ [x − h, x].
f (x + h) − f (x + h)
h2 000
=−
f (ξ) + f 000 (η) .
2h
12
Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
11
Dérivée seconde
On a
f 00 (x) ≈
f 0 (x + h2 ) − f 0 (x − h2 )
h
1 f (x + h) − f (x)
f (x) − f (x − h)
≈
−
h
h
h
f (x + h) − 2f (x) + f (x − h)
=
h2
Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
12
Dérivée seconde
On a
f 00 (x) ≈
f 0 (x + h2 ) − f 0 (x − h2 )
h
1 f (x + h) − f (x)
f (x) − f (x − h)
≈
−
h
h
h
f (x + h) − 2f (x) + f (x − h)
=
h2
On montre alors le résultat :
Théorème
On suppose que f est de classe C 4 et de dérivées bornées jusqu’à l’ordre 4. Alors on a
pour tout x ∈ R, la majoration :
2
00
f (x) − f (x + h) − 2f (x) + f (x − h) ≤ h sup |f (4) (x)|
2
h
12 x∈R
Analyse Numérique – R. Touzani
Dérivation numérique
12