Chapitre 3: Les Triangles

LES TRIANGLES
I)
L’inégalité triangulaire :
1) Propriété :
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est
inférieure à la somme des 2 autres.
A
L’INEGALITE TRIANGULAIRE :
BC 〈 BA + AC
BA 〈 BC + AC
B
C
AC 〈 AB + BC
2) Conséquences
a, b et c sont trois longueurs données avec a la plus grande de ces longueurs.
Si a 〈 b+c , alors on peut construire un triangle de cotés a, b et c.
Si a 〉 b+c , alors on ne peut pas construire un triangle de cotés a, b et c.
3) Exemple :
Peut-on construire un triangle FGH sachant que FG=2cm, FH=6cm et HG=3cm ?
On compare la longueur du plus grand coté et la
somme des longueurs des deux autres cotés :
FG+HG = 2 + 3 = 5cm et FH = 6 cm
On a FH 〉 FG+HG.
L’inégalité triangulaire n’est pas vérifiée, donc
on ne peut pas construire ce triangle FGH.
LES TRIANGLES
II)
CAS D’EGALITE
1) Propriété
Si un point M appartient au segment [AB], alors :
A
M
AM + MB = AB
B
2) Propriété réciproque
Si trois points A, B et M sont tels que :
alors le point M appartient au segment [AB]
AM + MB = AB
Activité
Tracer un triangle quelconque ABC. Mesurer les angles suivants à l’aide de votre
rapporteur :ABC , BAC et ACB .
A
B
C
III) SOMME DES MESURES DES ANGLES D’UN TRIANGLE
1) Propriété
Dans un triangle, la somme des mesures des angles
est égale à 180°
α + β + γ = 180°
LES TRIANGLES
Activités : 4 et 5 page 171
IV) APPLICATION AUX TRIANGLES PARTICULIERS
1) Le triangle rectangle
a) Propriété :
Si un triangle est rectangle, alors la somme des mesures des angles aigus est égale à 90°.
+
=90°
b) Propriété réciproque :
Si, dans un triangle, la somme des mesures de deux angles est égale à 90°,
alors ce triangle est rectangle.
Dans le triangle FGH suivant :
Donc le triangle FGH est rectangle en H
Exercices 41 ; 42 ; 43 ; 44 page 179
LES TRIANGLES
Activité 5 page 171
1) Tracer un triangle EFG isocèle en G.
2) a) Quels angles de ce triangle ont la même mesure ? Justifier la réponse.
b) Quelle est la somme des mesures de ces angles ?
3) Recopier et compléter le tableau suivant :
Triangle n°
1
20°
Mesure de
2
3
30°
Mesure de
4
6
70°
2) Le triangle isocèle
a) Propriété :
Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont de même mesure.
b) Exemple :
Dans le triangle ABC isocèle en C :
Les angles
ont la même mesure.
= 67°
La somme des mesures des angles dans un triangle
est de 180°.
+
67°+67°+
D’où
Donc la mesure de l’angle
7
60°
8
50°
100°
Mesure de
5
25°
est de 46°
60°
LES TRIANGLES
3) Le triangle équilatéral
a) Propriétés :
Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ces angles a pour mesure 60°.
b) Exemple :
Le triangle ABC est équilatéral, donc ses angles ABC , BAC et ACB sont égaux.
ABC = BCA = BAC = 60°
Activité : Cercle circonscrit à un triangle
Lancer le logiciel de géométrie dynamique GeoGebra.
1. Construire un triangle ABC dont les dimensions sont les suivantes : BC = 7cm, AB = 5cm, AC= 6cm.
On utilisera les icones suivantes :
2.
3.
4.
5.
,
, et
.
Tracer la médiatrice (d) du segment [BC] à l’aide de l’icône
.
Tracer la médiatrice (d’) du segment [AB].
Tracer la médiatrice (d’’) du segment [AC].
Que remarquez-vous ?
………………………………………………………………………..
6. Faites apparaître le point d’intersection O de ces trois droites à l’aide de l’icône
.
7. Relier le point O aux point A, B et C puis faites apparaitres les longueurs des segments suivants :
OA=………, OB=……….., OC=…………
Que remarquez-vous ?
……………………………………………………….
8. Quelle figure géométrique a pour centre le point O et passe par les points A, B et C ?
……………………………………………………………………..
9. Tracer cette figure à l’aide de l’icône qui convient.
LES TRIANGLES
V)
DROITES REMARQUABLES D’Un TRIANGLE
1) Médiatrices d’un triangle :
a) Propriétés :
Dans un triangle, les trois médiatrices se coupent en un même point :
on dit qu’elles sont concourantes.
Ce point est le centre d’un cercle qui passe par les trois sommets du triangle.
Ce cercle est le cercle circonscrit au triangle.
b) Exemple
Tracer un triangle DFE suivant : DE=6 cm, EF = 8,5 cm et DF=7 cm
Tracer les médiatrices du triangle DFE, puis tracer le cercle circonscrit au triangle.
c) Exercices :
Tracer les médiatrices des triangles suivants, puis tracer le cercle circonscrit de chacun d’entre eux.
LES TRIANGLES
Activité :
Dans le triangle ABC, le point M se déplace sur le segment [BC].
Le logiciel GeoGebra permet d’afficher l’aire des triangles ABM et ACM au fur et à mesure que le point M
se déplace.
Que peut-on dire de la position de M quand les aires sont égales ?
Dans ce cas, la droite (AM) est la médiane issue de A dans le triangle ABC.
2) Médianes d’un triangle :
a) Définition :
Dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet
et par le milieu du côté opposé à ce sommet.
b) Exemple
Dans
c) le triangle ABC, la droite (AI) est la
médiane issue de A.
3)
c) Remarque :
Dans un triangle ABC il y a trois médianes :
Celle issue du sommet A, celle du sommet B et celle du sommet C.
LES TRIANGLES
Activité
Dessiner un triangle ABC tel que BC=10cm, AB=7cm et AC= 9cm
a) Que doit-on tracer pour pouvoir mesurer à quelle hauteur se trouve le point A par rapport au côté
[BC] ?
b) Mesurer cette hauteur à 1 mm près.
c) Si l’on fait pivoter la feuille pour que le côté [AB] soit horizontal, on peut mesurer la hauteur du
point C par rapport au segment [AB].
d) Mesurer cette hauteur à 1 mm près.
e) De même si l’on fait pivoter le triangle pour que le côté [AC] soit horizontal, on peut mesurer la
hauteur du point B par rapport au segment [AC].
f) Mesurer cette hauteur à 1 mm près.
3) Hauteur d’un triangle :
a) Définition
Dans un triangle, la hauteur issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet
et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
b) Exemples
H
Dans le triangle ABC, la droite (AH) est la
hauteur issue de A.
c) Exercice
A quelle hauteur du sol se trouve l’alpiniste ?
………………………………………………
Donner la mesure d’une hauteur du triangle ABC.
………………………………………………
Construire le triangle en prenant 1 cm pour 10 mètres
et mesurer en cm les autres hauteurs du triangle sur le
dessin ainsi tracé.
Dans le triangle DEF, la droite (DH) est
la hauteur issue de D.
LES TRIANGLES
Activité : Cercle circonscrit à un triangle
Lancer le logiciel de géométrie dynamique GeoGebra.
10. Construire un triangle ABC dont les dimensions sont les suivantes : BC = 7cm, AB = 5cm, AC= 6cm.
On utilisera les icones suivantes :
,
, et
.
11. Tracer la médiatrice (d) du segment [BC] à l’aide de l’icône
.
12. Tracer la médiatrice (d’) du segment [AB].
13. Tracer la médiatrice (d’’) du segment [AC].
14. Que remarquez-vous ?
………………………………………………………………………..
15. Faites apparaître le point d’intersection O de ces trois droites à l’aide de l’icône
.
16. Relier le point O aux point A, B et C puis faites apparaitres les longueurs des segments suivants :
OA=………, OB=……….., OC=…………
Que remarquez-vous ?
……………………………………………………….
17. Quelle figure géométrique a pour centre le point O et passe par les points A, B et C ?
……………………………………………………………………..
18. Tracer cette figure à l’aide de l’icône qui convient.
19. Enregistrer votre travail avec le nom : cerclecirconscrit dans le répertoire \travail\maths\
Activité : Cercle circonscrit à un triangle
Lancer le logiciel de géométrie dynamique GeoGebra.
1. Construire un triangle ABC dont les dimensions sont les suivantes : BC = 7cm, AB = 5cm, AC= 6cm.
On utilisera les icones suivantes :
2.
3.
4.
5.
,
, et
.
Tracer la médiatrice (d) du segment [BC] à l’aide de l’icône
.
Tracer la médiatrice (d’) du segment [AB].
Tracer la médiatrice (d’’) du segment [AC].
Que remarquez-vous ?
………………………………………………………………………..
6. Faites apparaître le point d’intersection O de ces trois droites à l’aide de l’icône
.
7. Relier le point O aux point A, B et C puis faites apparaitres les longueurs des segments suivants :
OA=………, OB=……….., OC=…………
Que remarquez-vous ?
……………………………………………………….
8. Quelle figure géométrique a pour centre le point O et passe par les points A, B et C ?
……………………………………………………………………..
9. Tracer cette figure à l’aide de l’icône qui convient.
10. Enregistrer votre travail avec le nom : cerclecirconscrit dans le répertoire \travail\maths\
LES TRIANGLES
DEMONSTRATION SOMME DES ANGLES D’Un TRIANGLE
1.
2.
3.
4.
5.
Tracer un triangle ABC quelconque.
Placer le point I milieu du segment [AB]
Placer le point J milieu du segment [AC]
Tracer le symétrique B’ de B par rapport au milieu J du coté [AC].
Tracer le symétrique C’ de C par rapport au milieu I du coté [AB].
6. Démontrer que les angles ACB et CAB’ ont la même mesure.
Les angles ACB et CAB’ sont deux angles symétriques par rapport au point J. Or la symétrie centrale
conserve les mesures des angles.Donc les angles ACB et CAB’ ont même mesure.
7. Démontrer que les angles ABC et BAC' ont la même mesure.
Les angles ABC et BAC' sont deux angles symétriques par rapport au point I. Or la symétrie centrale
conserve les mesures des angles.Donc les angles ABC et BAC' ont même mesure.
8. Démontrer que les droites (AB’) et (BC) sont parallèles.
Les droites (AB’) et (BC) sont symétriques par rapport au point J. Or deux droites symétriques par
rapport à un point sont parallèles. Donc les droites (AB’) et (BC) sont parallèles.
9. Démontrer que les droites (AC’) et (BC) sont parallèles.
Les droites (AC’) et (BC) sont symétriques par rapport au point J. Or deux droites symétriques par
rapport à un point sont parallèles. Donc les droites (AC’) et (BC) sont parallèles.
10. En déduire que les points C’, A et B’ sont alignés.
Ainsi les droites (AB’) et (AC’) sont toutes deux parallèles à la droite (BC), elles sont donc parallèles
entre-elles et ont un point commun A. Donc les droites (AB’) et (AC’) sont confondues, par conséquent
les points C’, A et B’ sont alignés.
11. Justifier que BAC' +BAC +CAB’=180°.
Les angles BAC', BAC et CAB’ sont adjacents et les points C’ , A et B’ sont alignés.
Donc BAC'+BAC +CAB’=180°
12. En déduire que ABC + BCA +CAB =180°.
Or, BAC'=ABC et CAB’=ACB : Donc ABC + BCA +CAB =180°.
LES TRIANGLES
DEMONSTRATION SOMME DES ANGLES D’Un TRIANGLE
1.
2.
3.
4.
5.
Tracer un triangle ABC quelconque.
Placer le point I milieu du segment [AB]
Placer le point J milieu du segment [AC]
Tracer le symétrique B’ de B par rapport au milieu J du coté [AC].
Tracer le symétrique C’ de C par rapport au milieu I du coté [AB].
6. Démontrer que les angles ACB et CAB’ ont la même mesure.
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
7. Démontrer que les angles ABC et BAC' ont la même mesure.
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
8. Démontrer que les droites (AB’) et (BC) sont parallèles.
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
9. Démontrer que les droites (AC’) et (BC) sont parallèles.
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
10. En déduire que les points C’, A et B’ sont alignés.
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
11. Justifier que BAC' +BAC +CAB’=180°.
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
12. En déduire que ABC + BCA +CAB =180°.
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………