Nom : Date : /20 1) Quels sont les morphismes de corps de Q dans

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Nom :
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Date :
Quels sont les morphismes de corps de Q dans Q ?
Quels sont les morphismes de corps continus de R dans R ?
Le résultat persiste-t-il si l’on ne suppose plus la continuité ?
Quels sont les morphismes de corps de C dans C qui préservent R ?
Quels sont les morphismes de corps de C dans R ?
Correction :
1) Tout d’abord, on se rappelle qu’un morphisme de corps f vérifie :


f (x + y) = f (x) + f (y)
f (xy) = f (x)f (y)


f (1) = 1
En appliquant la première égalité en x = y = 0, on a f (0) = 0. Pour n ∈ N,
f (n) = f (1+· · ·+1) = nf (1) = n, et on remarque que 0 = f (0) = f (n)+f (−n),
d’où f (−n) = −f (n) = −n. Donc f est égale à l’identité sur Z. Ensuite, comme
1
1
1 = f (1) = f q ·
=q·f
q
q
il vient f (1/q) = 1/q. Ainsi pour (p, q) ∈ Z × N∗ , on a f (p/q) = p · f (1/q) = p/q.
Il en résulte que f est égale à l’identité sur Q, qui est bien un morphisme.
2) Soit x ∈ R. On considère (xn ) une suite de rationnels qui tend vers x. D’après
la question 1), on a f (xn ) = xn . Comme f est continue, on passe à la limite
pour obtenir f (x) = x. Là encore, seule l’identité convient.
3) On ne peut plus conclure de cette manière si f n’est pas continue. Cependant,
f garde une propriété très intéressante : elle est croissante. En effet, si x < y,
√
√
f (y) − f (x) = f (y − x) = f (( y − x)2 ) = f ( y − x)2 ≥ 0
Donc on prend une suite de rationnels (x−
n ) qui tend vers x de manière croissante
−
+
et (x+
n ) qui tend vers x de manière décroissante. On a alors xn ≤ x ≤ xn .
Comme f est croissante,
−
+
+
x−
n = f (xn ) ≤ f (x) ≤ f (xn ) = xn
Et on conclut avec le théorème des gendarmes.
4) On a f (x+iy) = f (x)+f (i)f (y). Comme f (R) ⊂ R, on a f (x+iy) = x+f (i)y.
Il reste donc à déterminer f (i). Pour cela, on écrit que −1 = f (−1) = f (i2 ) =
f (i)2 , donc f (i) ∈ {i, −i}. Ainsi, les seuls morphismes de corps de C dans C qui
préservent R sont l’identité et la conjugaison, qui sont bien des morphismes.
5) Comme f est à valeurs dans R, on a bien f (R) ⊂ R. On peut ici voir f comme
un morphisme de corps de C dans C. Cependant, l’identité et la conjugaison ne
sont pas à valeurs dans R. Il n’existe donc pas de tels morphismes.
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