Le théorème du perroquet
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Le théorème du perroquet
Le monde merveilleux des nombres entiers 1) Introduction : Dans le roman de Denis Guedj1, le Théorème du Perroquet (1998), au demeurant fort intéressant et instructif, se trouvent quelques formules de mathématiques découvertes par nos anciens. Parmi celles-ci, figure la très jolie égalité : (1 + 2 + 3 + .... + n )2 = 13 + 23 + 33 ... + n 3 On se propose ici d'en donner une démonstration, puis de passer à la généralisation, à savoir p établir un lien entre les expressions 1p + 2 p + 3p ... + n p et (1 + 2 + 3 + .... + n ) , !n, !p entiers positifs. 2) Démonstration : ! On pose I n = 1 + 2 + 3 + .... + n . On sait que cette somme est aussi égale à n (n + 1) n2 (n + 1)2 , de sorte que I n 2 est bien sûr égal à I n 2 = , mais ce n'est pas In = 2 4 ce résultat qui nous intéresse. 2 2 On note que I n 2 = (1 + 2 + 3 + .... + n ) = ( I n-1 + n) de sorte que : 2 2 2 I n = In-1 + 2n In -1 + n Afin d'établir une récurrence, le 1er terme du second membre est gardé en l'état, alors que l'on (n - 1) n utilise le fait que dans le second terme, d'où , puisque : I n!1 = 2 2n I n-1 + n 2 = n 2 ( n - 1) + n 2 = n3 , il vient : I n 2 = In-12 + n3 De sorte que : "I 2 = I 2 + (n - 1) 3 n -2 $ n -1 2 $I n -2 = I n -3 2 + (n - 2) 3 $ #M $ 2 3 2 $I 2 = I1 + (2) $I 2 = 1 %1 2 En additionnant membre à membre tous ces termes I q de q=n à q=1, on note que 2 ! disparaissent les I q de q= n-1 à q = 1 et il vient, effectivement : 1 Denis Guedj (1940-24 Avril 2010) In " q= n % = $ !q' # q=1 & 2 2 q= n !q = 3 (1) q=1 3) Généralisation : En suivant une démarche analogue, on a : p I n p = (1 + 2 + 3 + .... + n ) = (I n-1 + n ) q= p Soit I n p = p q= p"1 q q ! Cp In-1 n p-q p !C = I n-1 + q= 0 q p q I n-1 n p- q q= 0 Ici, également, le 1er terme du membre de droite est laissé en l'état, tandis que l'on utilise (n - 1) n , dans le terme de sommation, de sorte que : I n!1 = 2 q= p!1 p p I n = I n-1 + n p " q p C ( n - 1)q 2q q= 0 q = p!1 " Or C q p (n - 1) q 2q q =0 et q= p "C = q p (n - 1)q 2q q= 0 n - 1# p ! 1 + = " 2 $ q= p % C qp q= 0 (n - 1)q 2q - C p p ( n - 1)p 2p p ! n + 1# de sorte que : = " 2 $ Comme C pp = 1 , il vient : q = p!1 " q =0 D'où C qp (n - 1) q 2 p p # n + 1% # n - 1% = $ $ 2 & 2 & q p I n = I n-1 Et donc : ( *I n -1p = I n -2 p * **M ) * p p *I 2 = I1 + * p *+I1 = 1 p ! n (n + 1)# + " $ 2 p ! n (n - 1) # " $ 2 p " (n - 1) n % p " (n - 1) (n - 2) % p +$ ' - $ ' 2 2 # & # & " 2. 3 % p " 2. 1% p $ ' - $ ' # 2 & # 2 & De sorte qu'en additionnant membre à membre toutes les relations, il vient : ! p !# q ( q - 1)$ ) * " % + 2 p p ! n ( n + 1) $ terme qui aussi égal à (1 + 2 + ... + n) = # &% " 2 & (1 + 2 + ... + n) = , ' q=1 ( q= n p !# q (q + 1)$ " % 2 p (2) A titre de vérification, on retrouve bien, avec p = 2 : (* " q q + 1 % 2 " q (q - 1) % 2 ,* ( ) = /) $ ' - $ ' ! 2 2 # & # & *. q =1 * + q =n (1 + 2 + ... + n) 2 q =n donc (1 + 2 + ... + n) 2 "q = 3 q =1 ! En fait, la relation (2) est triviale, d’une certaine façon, puisqu’elle s’écrit : ! q =n In p = "{ I q {I - I n -1p p } - I q -1p , soit , effectivement : q =1 In p = p n } + {I p n -1 - I n -2 p } + ... + {I p 1 - I0p } ! # q (q + 1) & p # q (q - 1) & p Il est à noter que le terme " p (q) = % ( - % ( tel que : 2 2 $ ' $ ' ! q =n p (1 + 2 + ... + n) = ! # q &p " p (q) = % ( $ 2' ! r =p )C r =0 r p # " (q) peut être modifié et être écrit : p q =1 ( r ) q p-r 1 - (-1) . q =n D’où : (1 + 2 + ... + n) ! p = " "C q =1 (1 - (-1) ) r r =p r p q 2p-r r =0 2p (3) Ainsi : ! # q & 2s - si p est pair, soit p = 2s il reste " 2s (q) = 2 % ( $2' t =s *C 2t )1 2s q 2s-2t +1 (4) t =1 $ q ' 2s#1 - si p est impair, soit p = 2s - 1, il reste " 2s#1 (q) = 2 & ) %2( t =s *C 2t #1 2s#1 q 2s-2t ! q =n • Avec p = 1, soit s = 1 , on retrouve de façon triviale 1 + 2 + ... + n = ! ! (5) t =1 q =n # " (q) = # q . 1 q =1 q =1 • Avec p = 2, soit s = 1, on retrouve notre point de départ (1) : q =n q =n $ n (n + 1) ' 2 2 3 (1 + 2 + ... + n) = # " 2 (q) = # q = & ) . 2 % ( q =1 q =1 Donc I n ! 2 " n (n + 1) % 2 3 3 3 = $ ' = 1 + 2 + ... + n 2 # & Ce type d’égalité nous apprendrait, par exemple, que : ! 13 + 2 3 + ... + 17 3 = 17 2 9 2 = 23409 , divisible, donc, par 9, 17, 81, 153, 1377, 2601 • Avec p = 3, soit s = 2, l’utilisation de (3) et (5) donne : ! q =n (1 + 2 + ... + n) 3 = 3 4 # " 3 (q) = q =1 q =n # q5 + q =1 1 4 q =n # q3 = q =1 n 3 (n + 1) 8 3 De cette relation, et en utilisant la précédente, on tirerait : ! 15 + 2 5 + ... + n 5 = In 2 (4 In - 1) 3 (6) n 2 ( n + 1)2 2n2 + 2n - 1) Soit également 1 + 2 + ... + n = ( 12 ! 5 5 5 (7) 5 5 5 5 5 2 Par exemple, pour n = 5, a-t-on : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 3. 5 . 59 = 4425 qui donne 5 5 5 5 5 tous les diviseurs de la somme 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ! 5 5 5 5 5 5 5 Egalement, on apprendrait que la somme 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 égale à 29008 est divisible par 37, 49 et 16 ! • Avec p = 4, soit s = 2, l’utilisation de (3) et (4) donne : 4 (1 + 2 + ... + n) = 1 " q= n 7 !q + 2 $# q=1 q= n % q5 ' = ! q=1 & n 4 ( n + 1)4 16 De même que précédemment, l'inversion de cette relation donnerait, en utilisant (6) : In 2 1 + 2 + ... + n = 6 In 2 - 4 In + 1 3 7 7 ( 7 ) (8) 2 n 2 (n + 1) 3n 4 + 6n 3 - n 2 - 4n + 2) Donc 1 + 2 + ... + n = ( 24 7 ! ! 7 7 (9) 7 7 qui nous apprendrait que, par exemple 1 + 2 est divisible par 3 et 43 , tandis que 17 + 27 + ... + 77 a pour diviseur 16, 49 et 1531 ! • Avec p = 5 , soit s = 3, l’utilisation de (3) et (5) donne : q =n (1 + 2 + ... + n) 5 = # " 5 (q) = q =1 n 5 (n +1) 25 5 ! # q &5 Mais " 5 (q) = 2 % ( $ 2' ! t =3 *C 2t )1 5 q 6-2t = t =1 5 q 9 + 10 q 7 + q 5 16 q =n ! Donc (1 + 2 + ... + n) q =n Soit : 5 q =n " q9 = q =1 q =n q =n 5 10 1 n 5 (n +1) 9 7 5 = q + q + q = " " " 16 q =1 16 q =1 16 q =1 25 5 q =n 16 5 1 I n - 2" q 7 - " q 5 5 5 q =1 q =1 ! Donc, en utilisant (6) et (8), il vient : ! q =n "q In 2 = 16 I n 3 - 20 I n 2 + 12 I n - 3 où l’on remarque (!) que le crochet s’annule pour 5 ( 9 q =1 ) q =n 1 I n = , soit : 2 "q 9 q =1 In 2 = 2 I n - 1 ) 8 I n 2 - 6 I n + 3 (10) ( 5 ( ) ! ou bien : ! ! 2 n 2 (n + 1) 2 9 1 + 2 + ... + n = (n + n - 1)(2n4 + 4n3 - n2 - 3n + 3) 20 9 9 (11) Ou, si l’on préfère, avec X = n (n +1) : ! 9 9 1 + 2 + ... + n ! 9 X2 = (X - 1)(2 X 2 - 3X + 3) 20 A titre d’exemple : 19 + 2 9 + ... + 9 9 = 5 * 9 2 * 89 *15933 qui se décompose en : ! 19 + 2 9 + ... + 9 9 = 5 * 35 * 89 * 47 *113 ! • Avec p = 6 , soit s = 3, l’utilisation de (3) et (a) donne : q =n ! (1 + 2 + ... + n) 6 n 6 (n +1) = # " 6 (q) = 26 q =1 ! " 6 (q) = ! 1 3 q11 + 10 q 9 + 3 q 7 ) ( 16 D’où il résulte que : ! ! 6 # q &6 où " 6 (q) = 2 % ( $ 2' t =3 *C t =1 2t )1 6 q 7-2t soit q =n " q11 = q =1 16 6 10 I 3 n 3 q =n q =n " q9 - "q q =1 q =1 7 Donc : ! q =n "q 11 q =1 In 2 = 16 I n 4 - 32 I n 3 + 34 I n 2 - 20 I n + 5 3 [ ] (12) Soit, avec X = n (n +1) : ! q =n "q 11 = !q =1 & X2 # 4 17 2 X - 4 X3 + X -10 X + 5 ( % ' 12 $ 2 Ou ! q =n "q 11 q =1 ! n 2 (n + 1) = 24 A. Bonnet 28/02/2014 2 [2n 8 + 8 n 7 + 4 n 6 -16 n 5 - 5 n 4 + 26 n 3 - 3 n 2 - 20 n + 10]