1 16.5. Les parties suivantes de R3 sont

1
16.5. Les parties suivantes de R3 sont-elles libres ?
a) {(1, 2, 1), (1, 1, 1)} ;
b) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} ;
c) {(0, 0, 0), (3, 2, 1)} ;
d) {(2, 1, −3), (1, 4, 0), (4, 9, −3)} ;
e) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} ;
f) {(1, 0, 1), (0, −5, 0), (1, 7, −2)} ;
g) {(−1, 0, 1)}.
Correction. Nous indiquons seulement la réponse : oui (libre) ou non (pas libre).
a. {(1, 2, 1), (1, 1, 1)} : oui
b. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} : oui
c. {(0, 0, 0), (3, 2, 1)} : non
d. {(2, 1, −3), (1, 4, 0), (4, 9, −3)} : non
e. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} : non
f. {(1, 0, 1), (0, −5, 0), (1, 7, −2)} : oui
g. {(−1, 0, 1)} : oui
16.7. Parmi les sous-ensembles suivants, lesquels sont des parties génératrices de R3 ? Lesquels
sont des bases de R3 ?
a) {(1, 2, 1), (1, 1, 1)} ;
b) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} ;
c) {(0, 0, 0), (3, 2, 1)} ;
d) {(2, 1, −3), (1, 4, 0), (4, 9, −3)} ;
e) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} ;
f) {(1, 0, 1), (0, −5, 0), (1, 7, −2)} ;
g) {(−1, 0, 1)}.
Correction. Nous indiquons seulement dans chaque cas si la partie est génératrice (« oui »)
ou pas (« non »).
a. {(1, 2, 1), (1, 1, 1)} : non
b. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} : oui
c. {(0, 0, 0), (3, 2, 1)} : non
d. {(2, 1, −3), (1, 4, 0), (4, 9, −3)} : non
e. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} : oui
f. {(1, 0, 1), (0, −5, 0), (1, 7, −2)} : oui
g. {(−1, 0, 1)} : non.
−
−
16.8. Quelles sont les composantes du vecteur (1, 2) de R2 dans la base →
e1 , →
e2 si
→
−
→
−
a) e = (1, 0) , e = (0, 1) ;
1
−
b) →
e1 = (0, 1) ,
−
c) →
e1 = (1, 2) ,
2
→
−
e2 = (1, 0) ;
→
−
e = (1, 1) ;
2
2
d)
e)
→
−
−
e1 = (1, 1) , →
e2 = (2, 1) ;
→
−
−
e = (−1, 3) , →
e = (4, 0).
1
2
Correction. Les composantes sont (dans l’ordre) les coefficients devant les deux vecteurs de la
base :
a. (1, 2) = 1(1, 0) + 2(0, 1) ; (composantes : (1, 2))
b. (1, 2) = 2(0, 1) + 1(1, 0) ; (composantes : (2, 1))
c. (1, 2) = 1(1, 2) + 0(1, 1) ; (composantes : (1, 0))
d. (1, 2) = 3(1, 1) − (2, 1) ; (composantes : (3, −1))
5
2 5
2
e. (1, 2) = (−1, 3) + (4, 0). (composantes : ( , ))
3
12
3 12
16.9. Quel est le vecteur de R3 qui a pour composantes (1, 2, −1) dans la base (1, 1, 1), (0, 1, 2),
(0, −1, 0) de R3 ?
Correction. Le vecteur est :
(1, 1, 1) + 2(0, 1, 2) − (0, −1, 0)
c’est-à-dire (1, 4, 5).
16.11. Dans R2 , on donne les bases
→
−
e1 = (1, 0)
E →
−
e2 = (0, 1)
( →
−
f1 = (1, 1)
F
→
−
f2 = (1, 2)
→
−
g1 = (1, 2)
G →
−
g2 = (2, 1)
a) Quelles sont les composantes du vecteur (a, b) dans la base E (resp. F, G) ?
−
−
b) Quelles sont les composantes du vecteur 7→
e1 − 2→
e2 dans la base F (resp. G) ?
→
−
→
−
c) Quelles sont les composantes du vecteur f1 + 3 f2 dans la base E (resp. G) ?
−
d) Quelles sont les composantes du vecteur →
g1 dans la base E (resp. F ) ?
Correction.
a. • Dans la base E, les composantes sont (a, b).
• Dans la base F, les composantes sont (u, v), avec
a=u + v
b = u + 2v
c’est-à-dire (u, v) = (2a − b, b − a).
• Dans la base G, les composantes sont (u, v), avec
a = u + 2v
b = 2u + v
1
2 2
1
c’est-à-dire (− a + b, a − b).
3
3 3
3
→
−
→
−
b. On a 7 e1 − 2 e2 = (7, 2), donc dans la base F les composantes sont (12, −5), et dans la
base G c’est (−1, 4) d’après le calcul précédent.
→
−
→
−
c. On a f1 + 3 f2 = (1, 1) + 3(1, 2) = (4, 7). Les composantes dans la base E sont (4, 7). Dans
10 1
la base G c’est ( , ).
3 3
−
d. On a →
g1 = (1, 2), donc les composantes dans la base E sont (1, 2), et dans la base F c’est
(0, 1).