Vanessa Lleras

Estimateurs d’erreur pour la méthode XFEM
Vanessa LLERAS, Université de Franche Comté
Patrick HILD, Université de Franche Comté
Yves RENARD, INSA de Lyon
Mots-clés : Approximation par éléments finis, Méthode XFEM, Estimateur d’erreur par résidu
La méthode XFEM (eXtended Finite Element Method), introduite en 1999 ([4]), permet de
modéliser des discontinuités de type fissure dans un corps quelle que soit la position de la fissure par
rapport au maillage. Son principe consiste à enrichir la base de la méthode classique des éléments finis
par des fonctions singulières autour de la pointe de fissure et de fonctions en escalier le long de la fissure
pour mettre à profit la discontinuité du champ de déplacements le long de la fissure. Cette stratégie
permet de considérer un maillage indépendant de la géométrie de la fissure. Ainsi, le remaillage n’est pas
nécessaire lorsque les surfaces de discontinuité évoluent dans le temps. Récemment il a été montré que la
convergence de la méthode XFEM était ”optimale” lorsque les fonctions singulières en pointe de fissure
ont un support dont la taille est indépendante du paramètre de discrétisation [3].
Nous avons choisi d’étudier des estimateurs d’erreur par résidu [1, 6]. Il s’agit alors d’estimer
l’erreur exacte ku−uh k à l’aide d’une quantité η(uh ) calculable explicitement, que l’on appelle estimateur
d’erreur a posteriori. Le but final est d’obtenir un estimateur d’erreur ”optimal” du point de vue de
l’analyse mathématique pour la méthode XFEM lorsque les conditions de contact et de frottement sont
prises en compte sur la fissure. Dans un premier temps nous considérons un problème de corps fissuré
sans condition de contact et de frottement sur la fissure et nous proposons un estimateur d’erreur dont
nous étudions la convergence. Dans un second temps nous ajoutons les conditions de contact et de
frottement. On combine alors l’approche XFEM avec la formulation stabilisée de Barbosa et Hughes [2]
et nous proposons un estimateur d’erreur dans ce cadre plus général. La construction de l’estimateur
pour le problème de frottement repose sur un résultat d’unicité obtenu récemment [5] pour le problème
continu.
Références
[1] I. Babuška et W. Rheinboldt, Error estimates for adaptive finite element computations, SIAM
J. Numer. Anal., 15 736–754, 1978.
[2] H.J.C. Barbosa et T.J.R. Hughes, The finite element method with Lagrange multipliers on the
boundary: circumveting the Babuška-Brezzi condition, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 85
179–192, 1991.
[3] E. Chahine, P. Laborde et Y. Renard, Crack tip enrichment in the XFEM method using a
cut-off function, Int. J. Numer. Meth. Engng., à paraı̂tre.
[4] N. Moës, J. Dolbow et T. Belytschko, A finite element method for crack growth without
remeshing, Int. J. Numer. Meth. Engrg., 46 131–150, 1999.
[5] Y. Renard, A uniqueness criterion for the Signorini problem with Coulomb friction, SIAM J. Math.
Anal., 38 452-467, 2006.
[6] R. Verfürth, A review of a posteriori error estimation and adaptive mesh-refinement techniques,
Wiley and Teubner, 1996.
Vanessa LLERAS et Patrick HILD, Laboratoire de mathématiques de Besançon, Université de Franche
Comté, CNRS UMR 6623, 16 route de Gray, 25030 Besançon
[email protected] et [email protected]
Yves RENARD, Pôle de mathématiques, INSA de Lyon, Institut Camille Jordan, UMR CNRS 5208, 20 rue
Albert Einstein, 69621 Villeurbanne
[email protected]