1 Vecteurs colinéaires
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1 Vecteurs colinéaires
Chapitre 02: Géométrie plane (2,5 semaines) Vecteurs colinéaires Vecteurs directeurs d'une droite Équation cartésienne de droites Décomposition d'un vecteur GEOMETRIE PLANE 1 Vecteurs colinéaires ➢ Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l'un est le produit de l'autre par un vecteur. u et ⃗ v sont colinéaires ⇔ ⃗ u =k ⃗ v avec k ∈ℝ . ⃗ ➢ Exemple : v =−3 ⃗ u ⃗ u −5 et ⃗ v 15 sont colinéaires car ⃗ 3 −9 ( ) ( ) ➢ Remarque : 0 est colinéaire à tout vecteur ⃗ 0 =0 ⃗ u u car ⃗ Le vecteur nul ⃗ ➢ Dans un repère du plan, les vecteurs ⃗ u x et ⃗ v x' sont colinéaires : y y' Si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles ; () ( ) Si et seulement si x y'− x' y =0 u et ⃗ v non nuls. ➢ Démonstration : ⃗ u et ⃗ v sont colinéaires alors on a x y' −x' y=0 ◦ Démontrons que si ⃗ ⃗ u x y ( ) et ⃗v ( x'y' ) sont colinéaires, donc il existe k réel tel que ⃗u =k ⃗v , donc x=kx' et y=ky' , donc xy'− x' y=kx' y' −x' ky=0 u et ⃗ v sont colinéaires. ◦ Démontrons que si x y' −x' y=0 alors ⃗ u =⃗ 0 alors ⃗ u et ⃗ v sont colinéaires. Si ⃗ u ≠⃗ 0 , alors l'une de ses coordonnées n'est pas nulle, par exemple x , Si ⃗ on a alors x y' −x' y=0 ⇔ y'= Posons k = x' y. x x' v =k ⃗ u , donc ⃗ u et ⃗ v sont colinéaires. , on a lors y'=ky et x' =kx , donc ⃗ x ➢ Exemple : Les vecteurs ⃗ u 5−1 et ⃗ sont colinéaires car : (√−1 ) v (√−4 5+ 1) ( √ 5−1 )( √ 5+ 1 )−( −1 )( −4 ) =( 5−1 )−4=0 CD sont ➢ Deux droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles si et seulement si les vecteurs ⃗ AB et ⃗ colinéaires. ➢ Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs ⃗ AB et ⃗ AC sont colinéaires. ➢ Exemple : α Les points A ( 5 ;−2 ) , B ( 8 ;2 ) et ⃗u ( β) (−1;−10 ) sont alignés car ⃗ AB 3 et ⃗ AC −6 4 −8 et 3 ( −8 )−4 (−6 ) =0 () ( ) 2 Droites 2.1 Vecteur directeur d'une droite u est un vecteur directeur d'une droite d s'il existe deux points distincts A et B ➢ Un vecteur ⃗ de d tels que ⃗ AB=⃗ u . ➢ Une droite a une infinité de vecteurs directeurs. ➢ Dans le plan muni d'un repère, le vecteur ⃗ u 1 est un vecteur directeur de la droite d m d'équation y=m x+ p () u un vecteur non nul et d la droite passant par A de vecteur ➢ Soit A un point du plan, ⃗ u . directeur ⃗ AM et ⃗ u sont Un point M appartient à la droite d si et seulement si les vecteurs ⃗ colinéaires. 2.2 Équation cartésienne d'une droite ➢ Dans un repère du plan, toute droite d admet une équation de la forme a x+ b y+ c =0 avec ( a ;b ) ≠ ( 0; 0 ) ➢ Cette équation s'appelle l'équation cartésienne de la droite d . ➢ Démonstration : u (α Soit A un point de d et ⃗ β ) un vecteur directeur de d . M ( x ; y ) ∈d ⇔ x−x A et ⃗ u (α β ) sont colinéaires. y− y A ( ) ⇔β ( x− x A )−α ( y− y A )=0 ⇔β x−α y−β x A+ α y A=0 Cette équation est de la forme a x+ b y+ c=0 avec a=β , b=−α et c=−β x A+ α y A u ≠⃗ 0 on a ( α ;β ) ≠ ( 0 ;0 ) et donc ( a ;b ) ≠ ( 0; 0 ) . Comme ⃗ ➢ Dans un repère du plan, toute équation de la forme a x+ b y+ c=0 avec ( a ;b ) ≠ ( 0; 0 ) est l'équation d'une droite. Cette droite a pour vecteur directeur ⃗ u −b . a ( ) ➢ Démonstration : a x+ b y+ c=0 ⇔+ b y=−a x−c Si b ≠ 0 alors ⇔ y=− a c x− , c'est l'équation d'une droite de la forme y=m x+ p . b b Si b=0 alors a ≠ 0 et x=− ➢ c , c'est l'équation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées. a d et d ' sont deux droites d'équations cartésiennes respectives a x+ b y+ c=0 et a' x+ b' y+ c' =0 avec ( a ;b ) ≠ ( 0; 0 ) et ( a' ;b' ) ≠ ( 0; 0 ) Les droites d et d ' sont parallèles si et seulement si a b'−a' b=0 3 Expression d'un vecteur en fonction de deux vecteurs non colinéaires u et ⃗ v deux vecteurs non colinéaires du plan. ➢ Soit ⃗ w du plan, il existe un unique couple de réels ( a ;b ) tels que Pour tout vecteur ⃗ w =a ⃗ u + b⃗ v . ⃗ u ;⃗ v ). w dans la base ( ⃗ Le couple ( a ;b ) est appelé couple des coordonnées du vecteur ⃗ ➢ Exemple : C 3 1 ⃗ MN =⃗ MA+ ⃗ AN =⃗ AN −⃗ AM = ⃗ AC − ⃗ AB 4 3 N MN a bien été exprimé de façon unique en fonction Le vecteur ⃗ de ⃗ AB et ⃗ AC . 1 − 3 MN a pour coordonnées Il en résulte que le vecteur ⃗ 3 4 ⃗ ⃗ dans le repère ( A ; AB ; AC ) . () A M B