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Mathématiques Lycée Schuman-Perret 2015-2016 Exercice 1 Une entreprise, qui fabrique et vend des ordinateurs sur commande, modélise le bénéfice en euros pour x ordinateurs fabriqués et vendus en une journée, par la fonction : f (x) = x3 − 60x2 + 900x − 500. L’entreprise ne pouvant construire plus de 30 ordinateurs par jour, on aura 0 6 x 6 30. 1. (a) f (4) = 2204 donc pour 4 ordinateurs le bénéfice est de 2204( f (10) = 3500 donc pour 10 ordinateurs le bénéfice est de 3500( (b) On obtient : f ′ (x) = 3x2 − 120x + 900 (c) Factorisons : f ′ (x) = 3x2 − 120x + 900, son discriminant : ∆ = (−120)2 − 4 × 3 × 900 = 3600 √ −(−120) ± 3600 Les racines ont : c’est à dire 10 et 30 2×3 La factorisation est alors 3x2 − 120x + 900 = 3(x − 10)(x − 30) Le signe de f ′ (x) et les variations f (x) sont alors les suivantes x 3 (x − 10) (x − 30) f ′ (x) 0 f (x) 10 30 + | + | − 0 + | − | − 0 + 0 − | max ✒ ❅ ❅ ❘ ❅ min +∞ + + + + ✒ (d) f est donc maximale lorsque x = 10, et la valeur de ce maximum est f (10) = 3500(. 2. La courbe C donnée ci-dessous représente l’évolution du bénéfice en fonction du nombre d’ordinateurs fabriqués et vendus en une journée suivant le modèle choisi par l’entreprise. bénéfice en ( 4000 a Pour un bénéfice d’au moins 2 500 (. il faut entre 5 et 16 machines 3500 3000 2500 b contrat A : acheter 300 ordinateurs à fabriquer en dix jours ; 2000 soit 30 ordinateurs par jour : le bénéfice est négatif. 1500 contrat B : acheter 100 ordinateurs à fabriquer en cinq jours ; 1000 soit 20 ordinateurs par jour : le bénéfice est positif. 500 ordinateurs fabriqués 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 L’entreprise a intérêt à choisir le contrat B. −500 1 Stéphane Le Méteil Mathématiques Lycée Schuman-Perret 2015-2016 Exercice 2 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des réponses proposées est correcte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Pour chaque question une courte justification est demandée. 1. La suite (Un ) est géométrique de premier terme U0 = 10 et de raison q = 3, alors : a. U4 = 22 b. c. U4 = 10 × 33 U4 = 810 U4 = 10 + 3 × 4 d. Car U 4 = U0 × q 4 2. La suite (Vn ) est arithmétique de premier terme V0 = 0 et de raison r = 5 alors la somme V0 + V1 + · · · + V10 est égale à : a. 0 b. 50 c. 250 275 d. Car S10 = V0 + V10 × 11 2 3. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 10] par : f (x) = x2 + 5x . 3x + 4 La dérivée de la fonction f est donnée par : a. f ′ (x) = 2x + 5 3 b. f ′ (x) = 9x2 + 38x + 20 (3x + 4)2 c. f ′ (x) = car f ′ (x) = 3x2 + 8x + 20 (3x + 4)2 u′ v − uv ′ v2 4. On considère la fonction g définie pour tout nombre réel x par : g(x) = 2x3 + 4x + 2. Une équation de la tangente à la courbe représentative de g au point d’abscisse 2 est : a. y = 26x + 2 b. y = 28x − 30 c. y = 28x + 26 car f (2) = 26 et y(2) = 26 2 Stéphane Le Méteil