TD3/ Méca

TD3/ Méca-1/MMC
27 Septembre 2001
1. Champ de contraintes dans une poutre
On considère le champ de contraintes suivant dans le domaine 0<x1<L, -c<x2<c et en coordonnées
cartésiennes, en posant I=4c3/3 :
s11= (p/I) (x12x2-(2/3) x23 ) ; s22= (p/I) ((1/3) x23 – c2 x2 + (2/3) c3) ; s12= (p/I) ((c2-x22) x1 )
1. Montrer que Divx s = 0
2. Evaluer le vecteur contraintes sur les faces x1={0,L}, x2={-c,c}.
3. Evaluer la résultante des efforts exercés sur la face x1=x10 par la partie du domaine x1≥x10 ainsi que
le moment de ces efforts en (x10,0).
4. Si on suppose que c<<L, à quel chargement approché correspond ce champ de contraintes
5. Application numérique : On considère une aile d’avion (assimilée à un parallélépipède) d’envergure
L=20m, de demi-épaisseur c=1m, soumise à une portance p=Cz raV2/2 que l’on supposera répartie
uniformément. (Cz=0.8, V=200m/s, ra= 1 kg/m3). Calculer s11max.
2. "Essai brésilien"
On considère un disque de diamètre d, soumis à deux
forces P radiales, appliquées sur la circonférence et
diamétralement opposées. On examine le champ de
contraintes suivant, compte tenu des notations de la
figure, où a est une constante que l'on définira à la
question 2:
s/a = (cos q1/r1) ir1ƒir1 + (cos q2/r2) ir2ƒir2 - (1/d) I
x2
P
q1 r1
d
r
q
r2
x1
1. Montrer que Divx [(cos q/r) irƒir] =0, r, q, ir ayant
q2
les significations habituelles en coordonnées
cylindriques. En déduire que Divx s = 0
(Indication : Divx(aƒb) = Dxa(b) + divxb a, Dx(a a) =
—xa )
a Dxa + aƒ—
2. Montrer que s(n)= 0 le long de la surface libre r=d/2. On ne considérera que des points éloignés des
points d'application de P.
3. Représenter le vecteur contrainte sur l'axe x2=0. Calculer la résultante et en déduire la constante a.
(Indication : La primitive de 1/(1+x2)2 est: x/(2(1+x2)) + Arctg(x)/2. )
4. Représenter le vecteur contrainte sur l'axe x1=0. En déduire pourquoi un matériau peu résistant en
traction casse sur cet axe.
5. Application numérique : On considère un échantillon cylindrique en béton de hauteur H=0.1 m,
diamètre d=0.1m. La force maximale mesurée est : Fmax=2 104 N. Calculer la résistance à la traction du
béton.
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TD3/Eléments de solution:
1. Exercice 1:
1. On vérifie que ∂sij/∂xj vaut identiquement zéro.
Remarque : Ce champ de contraintes vérifie également les équations de Beltrami ; il lui est donc
associé un champ de déplacements si le comportement est élastique.
2. Le vecteur contraintes est s (n). Sur les faces x2=-c par exemple, il vaut : s(-i2) = -s 22i2-s12i1 ; il
correspond à l’action de l’extérieur sur la pièce.
s11(0,x2) = -p/2 (x2/c)3, s12(0,x2)=0,
s11(L,x2) = (3p/4) (L2x2/c3-2/3 (x2/c)3 ), s12(L,x2)=(3p/4) (L/c) (1-(x2/c)2) ;
s12(x1,c)=0, s22(x1,c) = 0,
s12(x1,-c)=0, s22(x1,-c)=p
On a donc une poutre chargée sur sa face inférieure par une pression -p et ainsi que par des forces sur
les faces x1=0 et L.
Si la poutre est élancée L>>c, s11(0,x2) est d’ordre 1 en L/c, alors que s11(L,x2) et s12(L,x2) sont d’ordre
(L/c)2 et (L/c) respectivement. L’action exercée sur la face x1=0 devient négligeable.
Les contraintes sont maximales en x1=L et pratiquement uniaxiale car s12 est d’un ordre de grandeur
plus petit que s12. On note que rapidement s11 est linéaire en x2.
3. Torseurs
Ú s 11 dx2 = 0, Ú s 12 dx2 = p x10 : on peut retrouver cela en raisonnant au niveau de la coupure
0£x1£x10 à partir des actions exercées sur les faces.
Ú x2 s11 dx2 = p (x12/2 –c2/5) ~px12/2 (formule classique RDM), Ú x2 s12 dx2 = 0
4. A.N. : L=20m, c=1m , Cz=0.8, V=200m/s, ra= 1 kg/m3,
p=Cz raV2/2 = 0.8 x1x4.104x0.5 = 16000 Pa
s11(L,c) ~ (3p/4) (L2/c2) = 3x16000/4x(20)2 ~5 Mpa
Poutre épaisse : c=L/5
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Isovaleur s11 Poutre élancée : c=L/10
Isovaleurs s12
Les isovaleurs de s22 sont des droites x2=cst
2. Exercice 2: Essai brésilien
Eléments de solution
4. Divx ((cosq/r) irƒir)
On rappelle :
—xa) Divx(aƒb)= Dxa(b) + divxb a
Divx(a A) = a DivxA + A(—
On en déduit :
—x(cosq/r))
Divx ((cosq/r) irƒir) = (cosq/r) Divx (irƒir) + (irƒir)(—
—x(cosq/r)) ir
= (cosq/r) (Dxir(ir) + divxir ir) + (ir,—
—x(cosq/r) = (-sinq/r) iq/r – (cosq/r2) ir , Dxir = ∂qirƒiq/r= iqƒiq/r
Divx ((cosq/r) irƒir) = (cosq/r) (0 + (1/r) ir) - (cosq/r2) ir = 0
Remarque : avec la formule classique, on trouve le même résultat :
∂srr/∂r + (1/r) ∂srq/∂q + (srr - sqq )/r = - cos q1/r12 + cos q1/r12 = 0
2. Sur le pourtour r=d/2, n=er, cos q1/r1 = cos q2/r2 = 1/d, et : (er1 , er2)=0 ; d'où:
s(n)= a/d [ (er1, er) er1 + (er2, er) er2 - er ] = 0
3. sur x2=0, q=0, q1=q2, r1=r2 , cos q1 = d/2r1 , r1 = (d2/4 + r2)1/2 ; n=-i2 ,
(er1 , -i2) = cos q1,
(er2 , -i2) = - cos q2,
4
s(n) = a [(cos2 q1/r1) er1 - (cos2 q2/r2) er2 + (1/d) i2]
s(n) = a [(cos2 q1/r1) (sin q1 i1 - cos q1 i2) - (cos2 q2/r2) (sin q2 i1 + cos q2 i2) + (1/d) i2]
s(n) = a [-2 cos3 q1/r1 + (1/d) ] i2 = a/d [-d4/4r14 + 1 ] i2
donc, il n'y a pas de cisaillement sur cet axe;
si r1=d/2, (au centre), la contrainte normale est max. et vaut: -3a/d
si r1=d/÷2, (au bord), la contrainte normale vaut zéro.
Résultante (des forces de contact de la partie inférieure x2<0 sur la partie x2>0:
(a/d) Ú]-d/2,d/2[ [-d4/4(d2/4 + r2)2 + 1 ] dr = - (a/d) dp/2 = - a p/2 = P
on en déduit a.
Répartition de s22 sur l'axe x2=0:
-0.4
-0.2
0.2
0.4
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
4. Sur l'axe x1=0, q1=q2=0, q= ±p/2, er1 = -i2, er2= i2 , n = i1 (si on regarde l'action de x1>0 sur x1<0):
s/a = - (1/d) i1
il n'y a, à nouveau, pas de contrainte de cisaillement. Comme a et d sont positifs, la contrainte normale
est une traction. L’essai est intéressant car il est difficile de pratiquer un essai de traction simple sur le
béton, à cause des problèmes d’arrimage de l’échantillon à la presse.
5. Application numérique : s11max = -2P/pd = 2F/(pdH) ~ 1.27 MPa
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Isovaleurs s22
6
Isovaleurs s11
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Isovaleurs s12
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