calcul de l`aire d`un parallelogramme en fonction des coordonne

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calcul de l’aire d’un
parallélogramme en
fonction des
coordonnées de
ses sommets
Il est possible de calculer l’aire d’un parallélogramme en le plaçant dans un repère, et en
n’utilisant que les coordonnées de deux de
ses sommets. On obtient alors une formule
simple qui peut s’appliquer à tous les parallélogrammes dont un autre des sommets est
placé à l’origine.
Première méthode.
Par différentes translations des côtés du
par Rachid Arrass, Inès Viadère, du lycée parallélogramme étudié, on obtient un rectangle de même aire, mais dont deux des
Jacques Feyder d’Epinay-sur-Seine (93)
côtés reposent sur les axes du repère.
enseignants : Marc Anquetil, Jean-Pierre y
y
C(xC , y C)
C(xC , y C)
Perrin
B(c, d)
B(c, d)
chercheur : François Parreau
A(a, b)
O
A(a, b)
x
O
x
y
C(xC , y C)
N
B(c, d)
A(a, b)
O
M
x
En trouvant les intersections M et N que font
les droites (AC) et (BN) avec les axes (Ox) et
(Oy) du repère, on pourra calculer l’aire du
rectangle qui sera aussi celle de notre parallélogramme.
Posons M(x, 0) et N(0, y). En utilisant la règle
du parallélogramme (i.e. OC = OA + OB), on
peut exprimer les coordonnées du point C en
fonction de a, b, c et d :
xC = a + c et yC = b + d.
Cherchons à présent à exprimer les coefficients directeurs des droites (AC) et (AM)
afin de trouver x. Le coefficient directeur de
(AC) est :
yC – b
xC – a
et celui de (AM) :
“MATh.en.JEANS” en 1997
b
a–x
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Or, comme A, C et M sont alignés, on peut
poser l’égalité de ces coefficients directeurs :
yC – b
= b
xC – a a – x
(yC – b)(a – x) = b(xC – a)
Deuxième méthode.
Toujours en translatant le parallélogramme
par deux fois pour le coller aux axes du repère, on obtient le rectangle de même aire :
OMLN. Seulement, on ne connaît pas la longueur OM.
En isolant x, on obtient :
En calculant l’aire du y
C(x C , y C)
a yC – x y C – a b + b x = b x C – a b
grand rectangle OQPN
P
S
N
B(c, d)
et en lui ôtant l’aire de
a yC – b xC = x yC – b x
la ban de L P Q M, o n
obtient aussi l’aire de
A(a, b)
a y C – b xC = x (y C – b)
O M L N, soit l’aire du
parallélogramme. Or on O
M Q
R
x
D’où :
connaît l’aire de OQPN qui est AOQPN = a d.
a y – b xC
x= C
Il reste maintenant à lui ôter celle de LPQM,
yC – b
que nous appellerons M’, et que nous allons
En remplaçant xC et yC par les valeurs précé- calculer.
demment trouvées, on obtient :
Posons M = A’ + A + C’ et M’ = A + A’ + C.
L
P
S
Comme la diagonale (MS)
a y – b xC
x= C
du
parallélogramme
LSRM
yC – b
B’
C’
co up e celu i-ci en deu x
a b+ d –b a+ c
d
=
B
moitiés égales, on a :
b+ d–b
ab+ ad–ab–bc
A’ A(a, b)
B’ + C’ + A’ = A + B + C.
C
=
A
b
d
M
Q
R
c
ad–bc
Or A’ = A et B’ = B. Donc
x=
d
C’ = C. Ainsi M’ = M et comme M = b c, M’
(qui est l’aire de LPMQ) est aussi égale à b c.
Les coordonnées des points M et N sont donc
En fi, co mme A P = A O Q P N – A L P Q M , on
ad–bc
M
; 0 et N (0, d).
obtient : AP = a d – b c.
d
D’où :
ad–bc
d
OM
et ON 0d .
0
• On peut ainsi calculer les longueurs OM et
ON : OM = | x | et ON = | d | ;
ad–bc
OM =
d
• L’aire du parallélogramme OACB peut donc
être exprimée par le produit de ces deux longueurs : AP = | x × d |. Et en remplaçant x par
sa valeur, on obtient : AP = | a d – b c |.
“MATh.en.JEANS” en 1997
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Troisième méthode.
Cette méthode plus géométrique permet
directement de donner la formule du parallélogramme.
En calculant l’aire du y
grand rectangle (AG) b
N
B(c, d)
passant par les sommets du parallélogramm e, et en lui d
A(a, b)
ôtant les aires d es
petits triangles et rec- O
x
a
c
tang les, o n ob tient
l’aire AP de notre parallélogramme passant
par les points A, B et C.
Soit l’aire du grand rectangle :
AG = ( a + c)(b + d)
La formule des deux rectangles et des quatre
triangles est : 2 b c + c d + a b. Ainsi :
AP = AG – (2 b c + c d + a b)
= ( a + c)(b + d) – 2 b c – c d – a b
=ab+ad+bc+cd–2bc–cd–ab
AP = a d – b c.
“MATh.en.JEANS” en 1997