Chapitre 11 : Mouvement harmonique et oscillations

Chapitre 11 :
Mouvement harmonique et oscillations
1. Mouvement du ressort
• Ressort attaché à une masse :
m
• Mise en équation : égaler la loi de Hooke et la loi de Newton
F = −kx = ma
k
a=− x
m
d2 x
k
=− x
2
dt
m
équation différentielle
Un mouvement harmonique considère toujours
une accélération proportionnelle à -x
d2 x
k
2
=
−
x
x
=
−ω
2
dt
m
• Solution :
x = A cos(ωt + ϕ)
vérifier la solution dans l’équation
ω=
!
k
m
fréquence des oscillations
• Paramètres de la solution : - Amplitude A [m]
2π
[Hz] [s−1 ]
- fréquence angulaire ω =
T
- phase ϕ [rad]
• Animation :
k1 < k2 < k3
• Oscillations anharmoniques :
rebonds d’une balle
va-et-vient
!v
• Effet de la gravité :
F!
m
F!
m
−kx = ma
d2 x
−ω x = 2
dt
m!g
2
mg − kx = ma
2
d
x
2
g−ω x= 2
dt
z = x − g/ω 2
La fréquence de vibration ne change pas !
C’est la position d’équilibre qui se déplace.
2
d
z
2
−ω z = 2
dt
2. Pendules
• Pendule simple :
θ
arc : s = Lθ
T!
m!g
pendule presque harmonique
�
g
ω=
L
s
d2 s
−mg sin θ = m 2
dt
g
d2 θ
− sin θ = 2
L
dt
sin θ ≈ θ
approximation (petites oscillations)
• Pendule double :
chaotique !
3. Energie d’un oscillateur harmonique
• Prenons le ressort comme oscillateur harmonique modèle :
1 2
U = kx
2
1
K = mv 2
2
x = A sin(ωt + ϕ)
v = Aω cos(ωt + ϕ)
"
1 2! 2
2
E = U + K = kA sin (ωt + ϕ) + cos (ωt + ϕ)
2
car
1 2
E = kA
2
L’énergie totale d’un oscillateur est constante
et proportionnelle au carré de l’amplitude.
ω 2 = k/m
• Représentation graphique :
1 2
kA
2
E
K
U
t
0
T
2
T
3T
2
4. Oscillations amorties
• Ajout d’une force de frottement visqueuse :
F!
on pose :
dx
V = −λ
dt
m
!
V
fréquence propre : ω0 =
!
dx
d2 x
Newton : −kx − λ
=m 2
dt
dt

%
!
!
"
"2
λ
λt
2

ω0 −
t + ϕ
sin
solution : x = A exp −
2m
2m
amplitude
décroissante
nouvelle fréquence
constante
vérifier la solution dans l’équation différentielle
k
m
x
régime oscillatoire ω0 > λ/2m
A exp(...)
t
sin(...)
régime critique
ω0 = λ/2m
régime apériodique
ω0 < λ/2m
5. Résonance
• Oscillateur amorti forcé : ajout d’une force excitatrice
F!
f!e
m
!
V
on pose :
fe = B cos(ωe t)
fréquence propre : ω0 =
dx
d2 x
Newton : −kx − λ
+ B cos(ωe t) = m 2
dt
dt
solution :
x = A(ωe ) sin(ωe t + ϕ(ωe ))
amplitude : A = !
B
(mωe2 − k)2 + λ2 ωe2
amplitude maximale quand ωe = ω0
!
k
m
A
amortissement faible
amortissement élevé
ω0
ωe
ω e < ω0
ωe = ω0
Un transfert d’énergie maximal est obtenu lorsque
la sollicitation a la même fréquence que la fréquence propre.
C’est la résonance.
ω e > ω0
• Oscillateurs couplés :
t
• Pendules couplés :
• Le pont de Tacoma : 7 novembre 1940
• Le pendule de Wilberforce :
vitesse de rotation
t
position verticale
• Le verre à vin :