Rappels sur les fonctions

LES FONCTIONS
I - RAPPELS
I-1 - Définition
Une fonction est une application qui pour tout « x » appartenant à I associe un unique « y »
appartenant à J tel que f(x)=y.
L’ensemble des point tel f(x)=y est représenté dans un repère orthonormé, et est appelée la
courbe représentative de f notée « Cf ».
Exemple et contre-exemple:
Conséquence importante :
L’ensemble des points tels que y=f(x) étant la représentation de f dans un repère notée
Cf, alors A(xA,yA) appartient à Cf si et seulement si f(xA)=yA.
On dit que A vérifie l’équation de f.
Exemple : f(x)=x²
Le point A(2,5) n’appartient pas à Cf car :
f(2) = 2² = 4 ≠ 5
I-2 - Vocabulaire
L’ensemble des x pour lesquels la fonction est définie s’appelle le domaine de définition.
« x » s’appelle l’antécédent de y. Il se lit sur la droite des abscisses.
« f(x) » s’appelle l’image de x par f. Il se lit sur la droite des ordonnées.
II – Fonctions affines
II-1 - Définition
Ce sont les fonctions définies sur R par : f(x) = mx + p avec m et p appartenant à R.
Autre type de définition :
qui se lit : « f » est une application de R dans R qui à x associe mx + p.
Remarque : - si p=0, f(x)=ax est appelée fonction linéaire.
- si m=0, f(x)=p est appelée fonction constante.
II-2 - Vocabulaire
m = le coefficient directeur ou la pente de la droite affine. Il renseigne sur le comportement la
fonction. Si m>0 la droite « monte »
Si m=0 le droite « est constante »
Si m<0 la droite « descend »
p = l’ordonnée à l’origine.
II-3 – Tableau de variation
Il renseigne sur le comportement de la fonction sur son domaine de définition.
Pour la droite affine, on distingue 3 cas :
II-4 – Tableau de signe
Il faut au préalable résoudre l’équation f(x) = mx + p = 0
Définition :
Résoudre une équation c’est trouver l’ensemble des valeur de « x » (x1, x2,…) tel que
f(x)=0. (f(x1), f(x2),… est égal à zéro).
Résolution :
Le tableau de signe renseigne sur le signe de f(x) lorsqu’on parcours la droite des abscisses.
Ici je suis dans le cas m>0 Commentaire : Ma fonction passe par « 0 » et elle est toujours croissante. Donc elle est
−b
négative puis s’annule pour x =
, ensuite elle devient positive.
a
Théorème :
La fonction f est affine si et seulement si pour tout réel, a, b on a :
f (b) − f (a )
= cons tan te
b−a
Ce rapport est le coefficient directeur de la droite affine. Il s’agit de « m » dans y = mx + p.
Exercice54 – 57 – 65 p72
III – La fonction Carré (x²).
III-1 - Définition
La fonction carré est la fonction qui pour tout réel « x » associe f(x)=x².
Ou
Remarque 1 : ici Df = R
Remarque 2 : l’ensemble d’arrivée (ou des images) est les réels positifs, ie x² n’est jamais
négatif.
III-2 – Courbe représentative
Tableau à remplir à la calculette. Unité des abscisses= 2cm, pour les ordonnées 2cm.
x
f(x)
-2
4
-1
1
-3/4
0,56
-1/2
0,25
-1/4
0,06
0
0
1/4
0,06
1/2
0,25
3/4
0,56
1
1
2
4
Tracé de la courbe :
Propriété : dans un repère orthogonal, la parabole d’équation y=x² admet l’axe des ordonnées
comme axe de symétrie.
Vocabulaire : le point ou la parabole change de sens s’appelle le sommet.
III-3 – Tableau de variation
Graphiquement, on voit bien que la courbe est décroissante jusqu'à « 0 », qu’elle vaut zéro à
l’origine puis qu’elle est croissante ensuite.
III-4 – Tableau de signe
Le tableau de signe de f(x)=x² est le suivant :
III-5 – Résoudre l’équation x²=a
Graphiquement, résoudre f(x) =a revient à trouver l’ensemble des abscisses des points
d’intersection entre Cf et la droite d’équation y=a
Cas a<0
Cas a=0
Cas a>0
On remarque que Cf est
toujours au dessus de y=a.
Il n’y a pas d’intersection
donc pas de solution.
On remarque qu’il n’y a
qu’un point d’intersection
c’est l’origine O(0,0).
On remarque qu’il y a 2
points d’intersections entre la
droite y=a et Cf
Donc S={0}
Donc S={-√a, √a}
III-6 – Résoudre l’inéquation x²>a
Graphiquement, résoudre l’inéquation f(x)>a revient à trouver l’ensemble des abscisses de
points tel que la courbe est strictement au dessus de la droite horizontale y=a.
Cas a<0
Cas a=0
Cas a>0
On remarque que Cf est
toujours au dessus de y=a.
Tous les x conviennent
On remarque que le courbe
est toujours au dessus de 0
sauf à l’origine O(0,0).
On va alors exclure
l’abscisse de ce point.
On remarque que la courbe
est au dessus de y=a pour
tous les x<-√a, puis elle
passe en dessous, puis à
partir de x<√a, elle repasse
au dessus.
Donc S=R
Donc S=]-∞ ;0[ U ]0 ;+∞[
Donc S=]-∞ ;-√a[U]√a ;+∞[
Remarque : - En général les solutions d’une équation sont un ensemble défini d’abscisse de
points, noté S= {x1,x2…}.
- Alors que pour une inéquation, les solutions sont des intervalles d’abscisse
de points noté S= [x1 ;x2] ou bien ]x1 ;x2[ ou bien ]x1 ;x2]U[x3 ;x4[
U se lit « union »
1
IV – La fonction inverse ( )
x
IV-1 - Définition
La fonction inverse est la fonction qui pour tout « x » appartenant à R* = ]-∞ ;0[ U ]0 ;+∞[
associe son inverse. Soit :
IV-2 – Représentation graphique
x
f(x)
-2
-0.5
-1
-1
-1/2
-2
-1/4
-4
0
error
1/4
4
1/2
2
1
1
2
0.5
Représentation graphique :
Propriété : Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction inverse admet
l’origine comme centre de symétrie.
1
s’appelle une hyperbole.
x
Les droites en jaune, que la fonction f(x) approche sans jamais toucher
s’appellent : Asymptotes (horizontale et verticale).
Vocabulaire : La courbe représentative de f ( x) =
IV-3 – Tableau de variation
Graphiquement, on voit bien que la courbe est décroissante de – l’infini à 0, puis qu’elle est
décroissante de 0 à + l’infini. Elle n’a pas de valeur pour x=0.
IV-4 – Tableau de signe
Le tableau de signe de f(x)=1/x est le suivant :
Pour tous les « x » négatifs, les images obtenue sont négatives (ie f(x)<0), et pour tous les
« x » positifs, les images sont positives (ie la courbe est au dessus de la droite des abscisses).
IV-5 – Résoudre l’inéquation 1/x>a
Graphiquement, résoudre l’inéquation f(x)>a revient à trouver l’ensemble des abscisses de
points tel que la courbe est strictement au dessus de la droite horizontale y=a.
Cas a<0
Cas a=0
Cas a>0
Cf est au-dessus de y=a dans
l’intervalle suivant :
S=]-∞ ;-1/a[ U ]0 ;+ ∞[
Pour les x<0 il n’y a pas de
solution, par contre pour
0<x<+∞ la courbe est au
dessus de l’axe des abscisses.
Cf est au dessus de la droite
y=a entre 0 et 1/a non inclus
Donc S=]0 ;1/a[
Donc S=]0 ;+ ∞[
V- Les fonctions associées aux fonctions de base
V-1 – La fonction trinôme (ou Polynôme de degré 2)
Définition : Ce sont les fonctions « f » définies sur R par f(x) = ax² + bx + c.
Avec a,b,c appartenant à R et a≠0.
Remarque : si a=0 alors f(x) = bx + c qui est une fonction affine !!!!!
Exemple de fonction trinome :
- f(x) = 3x² + 2x + 4 (ici a=3, b=2, c=4)
- g(x) = x² + 4x + 4 (ici a=1, b=4, c=4)
Autre écriture de g(x)
- g(x) = (x+2)²
Vocabulaire : La première écriture de g(x) est dite « forme développée »
La deuxième écriture de g(x) est dite « forme canonique ».
Propriété : La courbe représentative d’une fonction Trinôme est une parabole.
- si a>0, le sommet de la parabole est en bas. Donc l’extrêmum de « f » est un
minimum
- si a<0, le sommet de la parabole est vers le haut. Donc l’extrêmum de « f » est un
minimum
Remarque importante : si le forme développée d’une fonction Trinôme est de la forme
f(x) = ax² + bx + c, alors le forme réduite est de la forme :
b
b
f ( x) = a( x + ) + f (− )
2a
2a
Vu lors de l’activité avec la calculatrice :
Si la courbe représentative Cf, de f(x)= x² est une parabole telle que f(0)=0
Alors on peut déduire toutes les fonctions trinômes peuvent se déduire de f(x) de la façon
suivante :
- f1(x)= x² + 2 est la translation de Cf de vecteur +2i (i= vecteur unité pour les
abscisses)
- f2(x)= (x + 3)² est la translation de Cf de vecteur -3j (j= vecteur unité pour les
ordonnées)
- f 3(x)= 4x² est est la courbe Cf qui se contracte 4 fois plus vite (plus resserré autour
de l’axe des ordonnées)
- f4(x)= 4(x+ 3)²+2 est la courbe Cf contractée puis translatée de vecteur +2i-3j
Remarque : pour f(x)=ax² : si a>1 la parabole se resserre
Pour f(x)=ax² : si a< 1 la parabole s’ouvre (elle se desserre).
V-1 – La fonction homographique
Définition : Il s’agit des fonctions de la forme f ( x) =
ax + b
avec a, b, d appartenant à R et c≠0.
cx + d
ax + b a
b
= x + qui est une fonction affine !
d
d
d
nombre _ quelconque
La fonction f(x) existe pour tout « x » tel que cx+d≠0 (car
n’existe pas !)
0
On a alors x qui doit être différent de -d/c .
Remarque : si c=0, alors f ( x) =
Le domaine de définition de « f » est donc : ]-∞ ; -d/c[ U ]-d/c ; +∞[