Exercices d`alg`ebre linéaire: applications linéaires, noyau, image

Exercices d’algèbre linéaire:
applications linéaires, noyau, image
Exercice 1 Soit f : R3 → R3 une application linéaire telle que
   
   
   
0 0
1 1
1 1
   
   
   
f 1 = 2 , f 2 = 3 , f 1 = 1 .
   
   
   
0
1
0
0
0
0
1. Quelle est la dimension de ker f ? Et de l’image de f ?
2. Déterminer une base de ker f .
 
1
 
3. Calculer f 2.
 
3
Exercice 2 Montrer qu’il n’existe aucune application linéaire f : R2 → R3 telle que
 
 
 
! 0
! −1
! 0
 




 
 
−2
2
1
= 1 .
=  1  , f
f
=  2  , f
2
3
0
 
 
 
0
1
−1
Exercice 3 Soit f : R4 → R2 une application linéaire. Montrer que la dimension de ker f est au
moins égale à 2. Donner un exemple où la dimension est exactement 2, exactement 3, exactement 4.
Exercice 4 Soit V un R-espace vectoriel. Soit f : V → V une application linéaire telle que f ◦ f = f
(à savoir, pour tout v ∈ V on a f ( f (v)) = f (v)). Montrer que V = ker f ⊕ Im f .
Indication : on pourra écrire v = f (v) + (v − f (v)).
3
Exercice 5  1.
 Montrer qu’il n’existe aucune application linéaire f : R → R telle que ker f =



1


1
Vect 


.



1

   

1   1 



   

3
1
−1
2. Montrer qu’il existe une unique application linéaire h : R → R telle que ker h = Vect 
  ,  








 1
1 
 
 
2
x
 
 
et h 1 = 1. Déterminer 3 nombres réels a, b, c ∈ R tels que h  y = ax + by + cz.
 
 
1
z
1
Exercice 6 Soit f : R2 → R2 une application linéaire telle que
!
!
!
!
2
1
−1
1
f
=
, f
=
2
−2
−2
1
et soit g : R2 → R2 une application linéaire telle que
!
!
!
!
0
−3
1
−2
g
=
, g
=
.
1
1
1
0
1. Montrer que f et g sont surjectives (c’est à dire Im f = Im g = R2 ).
2. Montrer que f et g sont injectives.
!
1
3. Calculer g ◦ f
−1
Exercice 7 Soient V1 , V2 , V3 trois espace vectoriels réels, et soient f : V2 → V3 et g : V1 → V2
deux applications linéaires.
• Montrer que si f et g sont injectives, alors il en va de même pour f ◦ g.
• Montrer que f ◦ g peut être injective même si f n’est pas injective.
2