RECHERCHE D`UN ZERO
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RECHERCHE D`UN ZERO
G RIP FONCTIONS CASIO RECHERCHE D’UN ZERO Exemple Problème x0 Sur un intervalle [A,B] donné, rechercher le zéro d’une fonction; c’est-à-dire, rechercher x0 tel que f(x0) = 0. 1 2 La fonction définie par: f(x) = (x3-2) / (x2-x+1) présente un zéro sur l’intervalle [1 ; 2]; En donner une valeur approchée à 10-8 près. Représentation de f(x) dans le domaine: -2,3,1,-4,4,1 Principe On développe une méthode de balayage. Une valeur x, inférieure à x0, étant donné, ainsi qu’un pas P et une précision E: • On calcule Z = f(x) @ • On augmente x de P . • On calcule l’image Y= f(x) . • Si Z et Y sont de même signe (ZY>0) alors: • on reprend à @ . • Sinon: • On diminue x de P (on revient un pas en arrière). • On calcule Z = f(x). • On divise le pas P par 10 (pour rendre le balayage plus fin). • Si le pas P est ≥ à la précision F alors: • on reprend à @. • Sinon: • On écrit x et x+E (pour donner un intervalle d’amplitude E). Voir programme au dos. • Exemple: Lancer le programme Pn ou F-ZERO. Utilisation 1- Enregistrer cette nouvelle fonction en F MEM sous f1. 2- Lancer le programme Pn ou F-ZERO. On propose 1 EXE On propose 0.1 EXE On propose 10-8 EXE EXE On lit l’encadrement EXE • Second exemple: Rechercher les zéros de la fonction définie par: f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 qui, d’après une représentation graphique, doivent se situer respectivement dans les intervalles [-2;-1] , [0,5;1,5] et [3;4]. ? ? ? 3 -2 -1 1 4 2 Représentation de f(x) dans le domaine: -3,5,1,-10,10,5 Ces résultats sont caractéristiques; ils permettent de conjecturer que les zéros sont: 1-√5 , 1 , 1+√5. Ceci oriente favorablement une recherche formelle. G RIP FONCTIONS CASIO RECHERCHE D’UN ZERO Indications Indications • On peut sélectionner n’importe quel numéro Pn de programme. • S’assurer que la calculatrice soit dans le bon mode de calcul: COMP, avant de presser EXE. • Ce programme suppose que la fonction à étudier ait été enregistrée en F MEM sous le numéro f1. • Dans le programme, on ne tient pas compte de la borne supérieure de l’intervalle d’étude, puisqu’elle ne doit jamais être atteinte. A N Programme 'F-ZEROä "X DEB"? Xä "PAS"? Pä "PRECIS"? Eä ƒ1 Zä Lbl 0ä X+P Xä ƒ1 Yä ZY>0…Goto 0ä X-P Xä ƒ1 Zä P/10 Pä P≥E…Goto 0ä X¶ X+E¶ "FIN" • On peut nommer le programme F-ZERO. • Ce programme suppose que la fonction à étudier ait été enregistrée en F MEM sous le numéro f1. • Dans le programme, on ne tient pas compte de la borne supérieure de l’intervalle d’étude, puisqu’elle ne doit jamais être atteinte. N Programme Demande des données Calculer Z= f1(x deb). Début de BOUCLE. Augmenter X de P. Calculer Y= f1(x). Z Y >0, aller à Lbl0. Sinon: • Diminuer X de P. • Calculer Z= f1(x nouveau). • Diviser le pas par 10. P ≥ E, aller à Lbl 0. Sinon: • Ecrire X. • Ecrire X+E (précis). • Afficher FIN. SIO 'F-ZERO ä 'F-ZEROä ä DEB"?áXä "X DEB"?áX "PAS"?áP ä "PAS"?áPä "PRECIS"?áE ä "PRECIS"?áEä fÒáZ ä fÒáZä Lbl 0 ä 0ä ä X+PáX X+PáXä ä fÒáY fÒáYä ä If ZY>0 ZY>0ä Then Goto 0 ä 0ä Else X-PáX ä X-PáXä fÒáZ ä fÒáZä P§10áP ä P§10áPä If PØE ä PØEä Then Goto 0 ä 0ä Else Xª X+Eª "FIN" Demande des données. Calculer Z= f1(x deb). Début de BOUCLE. Augmenter X de P. Calculer Y= f1(x). Si Z et Y sont de même signe, Alors: reprendre à Lbl 0. Sinon: • Diminuer X de P. • Calculer Z= f1(x nouveau). • Diviser le pas par 10. Si P (pas) ≥ E (précis), Alors: reprendre à Lbl 0. Sinon: • Ecrire X. • Ecrire X+E (précis). • Afficher FIN. SIO CA CA F ZERO-A F-ZERO