Correction du contrôle no 3

Correction du contrôle no 3
Exercice 1 (12 points)
Les autorités d’une ı̂le ont décidé d’installer une éolienne. L’éolienne choisie ne fonctionne que
pour un vent de 8 nœuds à 48 nœuds. Pour choisir l’implantation, entre le site M (montagne)
et le site F (falaise), on mesure la vitesse du vent chaque jour pendant un mois (30 jours) sur
les deux sites à l’aide d’un anémomètre.
A. Étude du site M.
Voici les résultats mesurés pour le site M.
Vitesse du vent
xi (en nœuds)
Effectifs ni (en
jours)
Effectifs cumulés
croissants
7
14
16
18
20
22
26
28
32
37
44
50
1
2
3
3
1
3
5
1
2
4
3
2
1
3
6
9
10
13
18
19
21
25
28
30
1. Compléter le tableau des effectifs cumulés croissants.
2. Calculer le pourcentage de jours dans le mois où l’éolienne n’aurait pas fonctionné.
Il y a 3 jours où la vitesse du vent est en dehors de l’intervalle [8; 48].
3
= 0, 1 = 10%.
30
L’éolienne n’aurait pas fonctionné 10% des jours.
3. (a) Calculer la vitesse moyenne du vent observé sur le site M.
x1 n1 + x2 n2 + · · · + xp np
N
7 × 1 + 14 × 2 + . . . 50 × 2
=
30
= 27, 5
x =
La vitesse moyenne du vent est de 27,5 nœuds.
(b) À l’aide de la calculatrice, donner l’écart-type de la série (arrondir à 0,1 près).
On obtient σ ≈ 11, 3.
4. Déterminer la médiane de la série. Justifier.
N = 30 = 2 × 15.
La médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales, la 15e et la 16e.
26 + 26
Me =
= 26.
2
5. Déterminer les quartiles Q1 et Q3 , puis l’écart interquartile.
N
30
=
= 7, 5. Donc Q1 est la 8e valeur.
4
4
Q1 = 18.
3N
= 22, 5. Donc Q3 est la 23e valeur.
4
Q3 = 37.
Q3 − Q1 = 37 − 18 = 19. L’écart interquartile est 19.
B. Comparaison de deux sites.
Pour le site F , on a obtenu les résultats suivants :
Min = 8, Q1 = 20, Me = 23, Q3 = 27, Max = 46
1. Combien de jours l’éolienne aurait-elle fonctionné sur le site F ?
Min = 8 et Max = 46. On observe que toutes les vitesses du vent mesurées sont entre
8 et 48. L’éolienne aurait fonctionné tous les jours, soit 30 jours au total.
2. Représenter sur un même axe les diagrammes en boı̂te correspondant au site M et au
site F .
Site M
Site F
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
52
3. On sait de plus que l’éolienne choisie a un rendement optimal pour une vitesse du vent
aux alentours de 23 nœuds. À partir des diagrammes, choisir le site qui paraı̂t le plus
intéressant pour l’implantation de l’éolienne. Justifier.
On observe des vitesses plus souvent proches de 23 sur le site F (d’ailleurs 23 est la
médiane de la série). La moitié des valeurs sont entre 20 et 27 (les quartiles). L’écart
interquartile est plus faible sur la série du site F (7, contre 19 sur le site M). Il y a donc
moins de dispersion sur les valeurs du site F , les vitesses du vent sont plus concentrées
autour de 23.
Le site F est le plus intéressant pour implanter l’éolienne.
Exercice 2 (8 points)
Un entreprise fabrique et vend des montres. On note x le nombre journalier de montres produites (2 6 x 6 24).
On désigne par C(x) le coût journalier de fabrication de x montres, et R(x) la recette correspondante (en euros).
On donne C(x) = 2x2 − 44x + 414 et R(x) = 20x.
1. On note B(x) le bénéfice journalier, où 2 6 x 6 24. Montrer que B(x) = −2x2 +64x−414.
Benef ice
B(x)
B(x)
B(x)
=
=
=
=
Recette − Cout
R(x) − C(x)
20x − (2x2 − 44x + 414)
−2x2 + 64x − 414
2. Résoudre B(x) = 0.
a = −2, b = 64, et c = −414.
2
∆ = b2 − 4ac
√ = 64 − 4 × (−2) × (−414) = 784 > 0.
−b − ∆
−64 − 28
x1 =
=
= 23
2a√
−4
−64 + 28
−b − ∆
=
=9
x2 =
2a
−4
Les solutions de l’équation B(x) = 0 sont 9 et 23.
3. Déterminer le signe de B(x) en fonction de x, présenter le résultat dans un tableau de
signe.
a = −2 < 0. B(x) est du signe de a (négatif ici) à l’extérieur des racines, et du signe de
(−a) entre les racines.
x
B(x)
2
9
−
0
23
+
0
24
−
4. En déduire pour quelles quantités de montres fabriquées l’entreprise fait des bénéfices.
On a donc B(x) > 0 pour x ∈ [9; 23].
L’entreprise fait des bénéfices si elle fabrique entre 9 et 23 montres par jour.
5. Dresser le tableau de variation de B sur [2; 24]. Justifier.
a = −2 < 0 donc la parabole est tournée vers le bas.
Coordonnées du sommet :
−64
−b
=
= 16.
xS =
2a
−4
yS = B(16) = 98.
Avec la calculatrice, f (2) = −294 et f (24) = −30.
x
2
16
98
24
B(x)
−294
−30
6. Pour quelle valeur de x le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice maximal ?
Le bénéfice maximal est obtenu pour x = 16. Le bénéfice maximal est de 98 euros.