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Eléments de correction du Devoir Maison :
Exercice 1 :
Une compagnie de transport maritime met à disposition deux bateaux appelés CatamaranExpress et
FerryVogue pour une traversée inter-îles de 17 kilomètres.
1. Le premier départ de CatamaranExpress est à 5 h 45 min pour une arrivée à 6 h 15 min.
Calculer sa vitesse moyenne en km/h.
d
V=
avec d = 17 km et t = 6 h 15 min – 5 h 45 min = 30 min = 0,5 h
t
17
V=
= 34 km/h
La vitesse de CatamaranExpress est 34 km/h.
0,5
2. La vitesse moyenne de FerryVogue est de 20 km/h.
À quelle heure est prévue son arrivée s'il quitte le quai à 6 h ?
d
V=
avec V = 20 km/h et d = 17 km
t
17
17
20 =
c’est-à-dire 20 t = 17 c’est-à-dire t =
= 0,85 h = 0,85 × 60 = 51 minutes.
t
20
L’arrivée prévue pour le FerryVogue est 6 h 51 min.
Exercice 2 :
Un propriétaire souhaite installer sur le toit de sa maison 35 m² de panneaux
solaires photovoltaïques.
1) Le rectangle ACDE représente le pan du toit sur lequel on va installer les
panneaux.
On donne les dimensions suivantes :
AB = 2 m ; BC = 3,5 m ; CD = 10 m.
L’aire du pan de toit ACDE est-elle suffisamment grande pour accueillir
l’installation souhaitée ? Justifier.
Pour calculer l’aire du pan du toit ACDE, il faut
d’abord calculer la longueur AC.
Le triangle ABC est rectangle en B.
D’après le théorème de Pythagore :
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 22 + 3,52
AC2 = 4 + 12,25
AC2 = 16,25
AC = 16,25
AC  4,03 m
De plus,
AC × CD  4,03 × 10 = 40,3 m2
L’aire du pan du toit ACDE est environ égale
à 40,3 m2, donc est assez grande pour accueillir
l’installation souhaitée.
2) D’après l’installateur, le rendement des panneaux photovoltaïques est maximal si l’angle ACB est
compris entre 29° et 31°.
La toiture est-elle adaptée pour obtenir un rendement maximal des panneaux photovoltaïques ? Justifier.
Le triangle ACB est rectangle en B.
AB
tan ACB =
BC
2
tan ACB =
3,5
ACB  29,7°
La mesure de l’angle ACB est donc comprise entre 29° et 31°, donc la toiture est adaptée pour
obtenir un rendement maximal des panneaux photovoltaïques.
Exercice 3 :
Rose souhaite passer quelques jours à Londres. Elle se rend dans une agence de voyage qui lui propose
pour la location d’un studio dans la capitale anglaise :
Formule A : un prix de location de 30£ à la journée ( £ =livre sterling, monnaie officielle du Royaume –Uni).
Formule B : l’achat d’une carte privilège au prix de 120£ et un prix de 20£ à la journée.
Formule C : un prix de location au mois de 600£.
1. a- Si Rose passe 3 jours à Londres, combien paiera-t-elle avec la formule A ?
30 × 3 = 90
Si Rose passe 3 jours à Londres, elle paiera 90 £ avec la formule A.
b- Si Rose passe 14 jours à Londres, combien paiera-t-elle avec la formule B ?
120 + 20 × 14 = 400
Si Rose passe 14 jours à Londres, elle paiera 400 £ avec la formule B.
2. On note x, le nombre de jours de location du studio.
a- Ecrire en fonction de x les prix fA(x), fB(x), fC(x) qui donnent le prix à payer (en £) respectivement pour
les formules A, B et C.
fA(x) = 30 x
fB(x) = 120 + 20 x
fC(x) = 600
b- Une de ces fonctions est linéaire. Laquelle ? Justifier la réponse.
fA est une fonction linéaire car elle est de la forme fA(x) = ax avec a = 30.
3. On a tracé dans le repère ci-après les courbes (CB) et (CC) représentant les fonctions fB et fC.
a) Identifier chaque courbe du repère et placer leurs noms : (CB) et (CC)
b) Tracer dans ce repère la courbe (CA) représentant la fonction fA.
x
0
10
fA(x)
0
300
fA est une fonction linéaire. Elle est représentée par une droite qui passe par les points de coordonnées
(0 ; 0) et (3 ; 90)
c) Par lecture graphique (on ne demande pas de justification mais de mettre les pointillés sur le graphique,
sans oublier d’écrire la réponse) :
1- Déterminer le prix le plus avantageux pour 8 jours. Préciser alors la formule
Pour 8 jours, le prix le plus avantageux est 240 £ avec la formule A.
2- Si elle dispose de 450£, quelle est la formule la plus avantageuse ?
Si elle dispose de 450 £, la formule la plus avantageuse est la formule B.
3- A partir de combien de jours, la formule C devient-elle plus intéressante ?
La formule C devient plus intéressante à partir de 24 jours.
Exercice 4 :
ABCD est un rectangle tel que AB = 6 cm et AD = 4 cm.
On pose BM = CN = x.
1) a) Exprimer l’aire du triangle ABM en fonction de x.
AB × BM 6 x
Aire du triangle ABM =
=
= 3x
2
2
b) Exprimer DN en fonction de x.
DN = DC – NC = 6 – x
c) Exprimer l’aire du triangle ADN en fonction de x.
AD × DN 4 (6 – x)
Aire du triangle ADN =
=
= 2(6 – x)
2
2
2) a) Pour quelle valeur de x les aires des triangles
ABM et ADN sont-elles égales ?
Aire du triangle ABM = Aire du triangle ADN
3x = 2(6 – x)
3x = 12 – 2x
3x + 2x = 12
5x = 12
12
x=
= 2,4
Pour x = 2,4 cm, les aires des triangles ABM et ADN sont égales.
5
b) Calculer l’aire du quadrilatère AMCN pour cette valeur de x.
Aire du quadrilatère AMCN = Aire du rectangle ABCD – (Aire du triangle ABM + Aire du triangle ADN)
Aire du quadrilatère AMCN = 6 × 4 – (3 × 2,4 + 2(6 – 2,4))
Aire du quadrilatère AMCN = 24 – 14,4 = 9,6 cm2
Exercice 5 :On donne G = (x – 5)² – (x – 5)(7 – 2x)
1) Développer et réduire G.
G = (x – 5)² – [(x – 5)(7 – 2x)]
G = x2 – 2 x × 5 +52 – [7x – 2 x2 – 35 + 10x]
G = x2 – 10x + 25 – 7x + 2 x2 + 35 – 10x
G = 3x2 – 27x + 60
2) Factoriser G
G = (x – 5)² – (x – 5)(7 – 2x)
G = (x – 5)(x – 5) – (x – 5)(7 – 2x)
G = (x – 5)[(x – 5) – (7 – 2x)]
G = (x – 5)(x – 5 – 7 + 2x)
G = (x – 5)(3x – 12)
3) (x – 5)(3x – 12) = 0
Si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul.
x–5=0
ou
3x – 12 = 0
12
x=5
x=
=4
Les solutions sont 5 et 4.
3
Exercice 6 :
1. Le prix d’une voiture passe de 12500 € à 13000 €, quel est le pourcentage de hausse ?
13000
= 1,04
Le pourcentage de hausse est 4 %.
12500
2. Au collège Einstein, le nombre d’élèves a baissé de 12 % en 2010 puis augmenté de 8%; Peut-on en
déduire que le nombre d’élèves a baissé de 4% ?
Soit x le nombre d’élèves au départ.
Baisser de 12 % revient à multiplier par 0,88. Après la baisse de 12 %, le nombre d’élèves est alors égal à
0,88 x.
Augmenter de 8 % revient à multiplier par 1,08. Après l’augmentation de 8 %, le nombre d’élèves est alors
égal à 1, 08 × 0,88 x = 0,9504 x.
Multiplier par 0,95 correspond à une baisse de 5 %.
Donc au final, le nombre d’élèves a baissé d’environ 5 %.
3. L'étiquette d'un article indique que son nouveau prix est de 18 € après une réduction de
20%, quel était son prix avant la démarque ?
Réduire de 20 % revient à multiplier par 0,8.
18
= 22,5
Avant réduction, l’article coûtait 22,5 €.
0,8