1 Séquence Introduction des fractions au CM1 I

Séquence Introduction des fractions au CM1
I. Présentation
Une approche précoce, mais limitée
Le risque majeur à propos de l’enseignement des fractions réside dans le désir d’amener trop vite
les élèves à utiliser des techniques puissantes. L’usage des ces dernières a en effet pour
conséquence d’escamoter un grand nombre de questions importantes et difficiles à enseigner qui
sont pourtant constitutives du sens de l’activité mathématique dans ce domaine.
Les raisons de cet escamotage au profit de la recherche de virtuosité sont nombreuses et
malheureusement puissantes : certaines tiennent à la présence d’un environnement social qui
s’impatiente de voir les élèves accéder à des réflexes algébriques tellement plus "simples" et plus
"mathématiques" ; d’autres ressortent simplement du désir des élèves qui recherchent volontiers des
recettes ; d’autres enfin sont à imputer aux enseignants, souvent bien en peine d’enseigner
correctement (et pas à pas) cette partie de leur programme, ayant eux-mêmes des souvenirs confus,
voire refoulés, de leur propre apprentissage en la matière, et négligeant les points d’appui
didactiques nécessaires.
Il faut avoir à l’esprit que l’enseignement du calcul des fractions s’échelonne sur cinq années : CM1
et CM2 au Primaire ; 6e, 5e et 4e au Collège !
Le nouveau programme de 6e est maintenant tout à fait explicite : c’est à ce niveau de classe que
doit être pris en charge le passage de la fraction-codage d’un partage (3 quarts) à la fraction3
quotient (3 divisé par 4) et à la fraction-opérateur ( × … ou 0,75 × …). La classe de 5e quant à
4
elle prend en charge la simplification, la comparaison et la multiplication des fractions, ainsi que la
a
résolution des équations du type = b et la détermination d’une quatrième proportionnelle. Enfin,
x
c’est seulement en classe de 4e que sont enseignées la division et l’addition (dans toute sa
généralité) des fractions.
À partir de la classe de 4e, les élèves sont alors en mesure de gérer des expressions faisant intervenir
à la fois des calculs de quotients et des questions de priorité, les nombres en jeu pouvant être
positifs ou négatifs.
Ainsi les programmes ont échelonné l’algébrisation du calcul des fractions jusqu’à la fin du collège,
pour permettre la réussite de cette transition difficile et importante par la totalité des élèves, ce qui
est malheureusement toujours loin d’être le cas …
Dans ces conditions, ce qui doit être enseigné au Primaire à propos des fractions est
nécessairement réduit. Il s’agit d’une part de fréquenter et de formaliser au niveau de l’écriture, des
connaissances sociales banales comme demi, quart, moitié, double, moitié de moitié, double de
double, demi-heure, quart d’heure, tiers, triple, dixième, centième, millième ; d’autre part de
s’appuyer sur ces connaissances pour introduire les nombres décimaux par les fractions décimales.
Deux familles de fractions privilégiées :
Autant la virtuosité algébrique générale doit être évitée, autant la familiarisation avec certaines
fractions doit être poussée : il s’agit des familles 1 ; 1/2 ; 1/4 ; 1/8 ; etc. et 1 ; 1/10 ; 1/100 ;
1/1000 ; etc.
La première famille correspond à une foule d’activités naturelles, pratiquées par l’homme depuis
l’aube des cultures, reposant sur la dichotomie et son itération, où concept et technique sont les plus
simples. Si deux parties sont égales, chacune est la moitié du tout : d’où milieu, bissectrice, pliage,
symétrie, angle droit. Si on itère le pliage en deux, on obtient la série en quatre, en huit (et non pas
en six !), etc. : d’où les techniques de division égyptiennes, l’approximation de toute partie de
l’unité par une combinaison de fractions de forme 1/2n .
1
L’intérêt porté à la seconde famille a certainement son origine dans le fait que l’homme possède 10
doigts. D’où le système de numération à base 10 pour les nombres entiers. D’où son prolongement
du côté du fractionnement de l’unité, pour la mesure des quantités inférieures à 1. L’inconvénient
quand on subdivise systématiquement par dix au lieu de le faire par deux, est que les parts
deviennent minuscules à l’échelle humaine dès qu’on est à l’ordre deux de l’itération. Par contre,
l’emboîtement des dénominateurs permet des calculs faciles dans un cas comme dans l’autre.
Des textes officiels très clairs :
Programmes 2002
Introduction au paragraphe "Connaissance des fractions et des nombres décimaux" dans le
document d’application des programmes 2002 du cycle 3 :
« Au cycle 3, une toute première approche des fractions est entreprise, dans le but d’aider la
compréhension des nombres décimaux. En dehors de la connaissance des fractions d’"usage
courant", le travail sur les fractions est essentiellement destiné à donner du sens aux nombres
décimaux envisagés comme fractions décimales ou sommes de fractions décimales (fractions de
258
58
5
8
dénominateurs 10, 100, 1 000 …). Exemple: 2,58 =
= 2+
=2+
+
.
100
100
10 100
L’étude des fractions sera poursuivie au collège. Il convient donc de distinguer les compétences qui
doivent être maîtrisées avant l’entrée au collège, de celles qui sont encore en cours de construction à
la fin du cycle 3 et de celles dont l’approche et la construction relèvent du collège. »
Des problèmes pris le plus souvent dans le domaine de la mesure
L’enseignement des fractions, comme pour les autres chapitres du programme, doit donner une
place centrale à la résolution de problèmes. Il s’agit donc de construire des situations où le recours à
ces nouveaux nombres, les fractions, soit naturel, utile ou nécessaire : les questions de mesure s’y
prêtent bien. Citons à nouveau l’introduction de la rubrique "Connaissance des fractions et des
nombres décimaux" du document d’application :
« Les fractions doivent apparaître comme de nouveaux nombres, utiles pour résoudre des problèmes
que les nombres entiers ne permettent pas de résoudre de façon satisfaisante : problèmes de partage,
de mesure de longueurs ou d’aires, de repérage d’un point sur une droite. Les connaissances
relatives à ces nouveaux nombres peuvent être travaillées dans des activités relevant d’autres
champs disciplinaires : sciences et technologie, géographie … »
D’autre part, on peut lire dans l’introduction de la rubrique "Grandeurs et mesure" :
« Le domaine de la mesure est important à double titre :
– parce que les élèves doivent acquérir des compétences et des connaissances spécifiques relatives à
différentes grandeurs et à leur mesure ;
– parce que les activités de mesurage font intervenir, en étroite imbrication, des notions
géométriques et des notions numériques et, par conséquent, contribuent à une meilleure maîtrise des
unes et des autres ; en particulier la mesure des longueurs et des aires constitue un contexte
privilégié pour prendre conscience de l’insuffisance des entiers et pour travailler sur les fractions et
les nombres décimaux. »
Programmes 2008
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Les nombres décimaux et les fractions :
- fractions simples et décimales : écriture, encadrement entre deux nombres entiers consécutifs,
écriture comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1, somme de deux fractions
décimales ou de deux fractions de même dénominateur ;
- nombres décimaux : désignations orales et écritures chiffrées, valeur des chiffres en fonction de
leur position, passage de l’écriture à virgule à une écriture fractionnaire et inversement,
comparaison et rangement, repérage sur une droite graduée ; valeur approchée d’un décimal à
l’unité près, au dixième près, au centième près.
Page 28 (socle commun, pallier 2)
2
Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique.
A) Les principaux éléments de mathématiques
L’élève est capable de :
- écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers, les nombres décimaux (jusqu’au
centième) et quelques fractions simples ;
- restituer les tables d’addition et de multiplication de 2 à 9 ;
- utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux (pour
la division, le diviseur est un nombre entier) ;
- calculer mentalement en utilisant les quatre opérations ;
- estimer l’ordre de grandeur d’un résultat ;
- utiliser une calculatrice ;
[.]
- résoudre des problèmes relevant des quatre opérations, de la proportionnalité, et faisant intervenir
différents objets mathématiques : nombres, mesures, “règle de trois”, figures géométriques,
schémas ;
- savoir organiser des informations numériques ou géométriques, justifier et apprécier la
vraisemblance d’un résultat ;
- lire, interpréter et construire quelques représentations simples : tableaux, graphiques.
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3
II.
Organisation mathématique de la séquence :
Pré-requis :
– Connaître et savoir utiliser des relations arithmétiques entre nombres entiers telles que :
double, moitié ou demi, triple, tiers, quadruple, quart, trois-quarts, deux tiers, trois demis.
Remarque : ces expressions, d’usage courant, ne sont pas nécessairement reliées à des fractions : la
moitié de 50 est 25, le quart de 60 est 15… Elles peuvent être utilisées avant la rencontre avec les
fractions, le lien étant établi à ce moment-là.
– Savoir mesurer une longueur en reportant un nombre entier de fois un étalon (bande-unité)
ou en encadrant la longueur par deux nombres entiers consécutifs d’unités.
Types de tâche proprement dévolus à l’année de CM1 :
– Utiliser, dans des cas simples, des fractions ou des sommes d’entiers et de fractions pour
coder le résultat de mesurages de longueurs ou d’aires, une unité de mesure étant choisie
explicitement.
Le document d’application précise : « Outre les fractions décimales, les fractions utilisées ont un
dénominateur compris entre 2 et 5 (ou des puissances de ces nombres comme 4, 8, 16, 9, 25…). Des
fractions supérieures à 1 sont utilisées ».
Techniques :
- Concernant le mesurage, mesurer par arpentage avec subdivision de l’unité principale, en
épuisant les unités d’un certain ordre avant d’utiliser celles de l’ordre inférieur. A
- Approcher la longueur par le plus grand nombre possible d’unités, garder ce nombre
d’unités, puis approcher le résidu par le plus grand nombre possible de sous-unités, ajouter
ce nombre de sous-unités au résultat précédent, puis recommencer avec subdivision à l’ordre
suivant, etc.
- Concernant les fractions : en pliant successivement en deux une bande-unité, pour faire
1 1 1 1
3
; etc. puis en utilisant des codages tel
qui
intervenir les fractions telles que ; ; ;
4
2 4 8 16
1
signifie "3 fois le quart de l’unité ou 3 fois ".
4
Technologie :
Le "dénominateur" nomme le type de partage de l’unité (en parts égales) alors que le "numérateur"
précise le nombre de parts qui sont reportées. Ce vocabulaire peut être utilisé en situation, mais il
n’est pas exigible de la part des élèves.
– Nommer les fractions en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart…, dixième, centième…
Remarque : la signification du suffixe "ième" apparaît plus clairement si on étudie aussi des
cinquièmes. On peut imaginer à ce sujet d’évoquer les appellations plus cohérentes des demis, tiers
et quarts que seraient "deuxièmes", "troisièmes" et "quatrièmes". Mais il y a polysémie pour ces
termes : confusion entre l’aspect ordinal et la fraction, ce qui justifie sans doute la création de
termes particuliers pour les fractions d’usage le plus courant, celles dont le dénominateur ne
dépasse pas 4.
– Une unité de longueur étant fixée explicitement, construire un segment ou une bande de
papier dont la mesure de la longueur est donnée sous la forme d’une fraction.
Techniques :
1 1 1 1
; etc. peuvent être obtenues par des pliages en deux de l’unité
Les fractions telles que ; ; ;
2 4 8 16
successifs. Dans d’autres cas, par exemple ceux où l’unité est partagée en trois ou en cinq, on peut
avoir recours à un réseau de droites parallèles équidistantes. Ce réseau
4
permet de partager une longueur en plusieurs longueurs égales, sans recours à la division.
– Une unité d’aire étant fixée explicitement (éventuellement prédécoupée), construire une
surface dont la mesure de l’aire est donnée sous la forme d’une fraction.
– Reconnaître parmi plusieurs écritures, dont des fractions, celle(s) qui exprime(nt) soit la
mesure de la longueur d’un segment donné (l’unité de longueur étant fixée), soit la mesure de
l’aire d’une surface donnée (l’unité d’aire étant fixée).
1
1 3
Technique : Des écritures du type 2 + ou + peuvent être utilisées dans des contextes de mesure
4
2 4
de longueurs de segments ou d’aires de surfaces, obtenus par juxtaposition d’autres segments ou
surfaces.
- Comparer des écritures fractionnaires dans des cas simples, les fractions ayant même
dénominateur. Rencontrer des entiers sous écriture fractionnaire, à partir d’égalités comme :
9
40
= 3 ;
= 4.
3
10
Technologie : Les élèves peuvent s’appuyer sur la signification des fractions :
2 5
« < , car dans la première il y a deux tiers alors qu’il y en a cinq dans la deuxième. »
3 3
7
14
parce qu’il faut deux huitièmes pour obtenir un quart ».
De même : « est égal à
4
8
9
Pour les entiers sous écriture fractionnaire : « , c’est 9 tiers de l’unité, ou 3 fois 3 tiers de l’unité,
3
donc 3 unités », ce qui peut être illustré à l’aide de segments.
Types de tâches qui peuvent attendre le CM2 :
– Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs.
– Écrire une fraction sous forme de somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1.
Technologie :
Les raisonnements utilisés pour encadrer une fraction entre deux entiers ou pour écrire une fraction
sous forme de somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1 sont du type :
7
3 1
3
7
7
1
« Dans (sept tiers), il y a deux fois et . Or c’est 1. Donc 2 < < 3 et
= 2 + ».
3
3 3
3
3
3
3
Caractéristiques de l'organisation mathématique finale :
- Considérer les fractions comme de véritables nombres, c’est à dire les placer par rapport aux
entiers et les utiliser comme résultats de mesures.
- Recourir aux fractions pour exprimer une mesure inférieure à l’unité ou pour affiner une mesure
comprise entre deux entiers ; comparer des mesures ; anticiper un résultat.
2
4
8
- Mémoriser certaines relations arithmétiques simples, issues d’expériences : 1 c’est
ou
ou
2
4
8
1
2
4 1 1
3 6
3
;
c’est
ou
; + c’est
;
est égal à
; etc.
2
4
8 2 4
4 8
4
5
III.
Organisation didactique
L'organisation didactique à construire autour de l‘étude des fractions au cycle 3 est
nécessairement complexe : on est amené à conduire conjointement un grand nombre de types de
tâches dont certaines concernent aussi le domaine de la mesure.
Voici, page suivante, une séquence qui montre une introduction de la famille des fractions 1 ; 1/2 ;
1/4 ; 1/8 ; etc. à propos de familles de surfaces.
Sources : « La machine à partager », brochure de l’IREM de Haute Normandie ; Séminaire de
formation de formateurs de la COPIRELEM, à Maxéville, 2001, atelier de C. Houdement et M.L.
Peltier.
La première séance est consacrée à l’introduction de la notion d’aire et de l’égalité d’aires, à partir
de surfaces non standard. Ces notions sont introduites sans recours à la mesure.
La seconde séance prolonge la première en introduisant la famille des fractions 1 ; 1/2 ; 1/4 ; 1/8 ;
etc. avec lesquelles on obtient des jeux d’écriture variés.
Dans cette activité, le recours aux fractions de l’unité est naturel : on travaille à partir de feuilles de
bottin, en les découpant en deux, puis en quatre, etc. ; l’unité est l’aire d’une feuille de bottin ; les
autres surfaces ont au début une aire inférieure, et on est peu tenté de les prendre pour nouvelle
unité.
Notion d’aire – Travail sur la famille
de fractions 1 ; 1/2 ; 1/4 ; 1/8 ; etc.
Matériel : un bottin, des ciseaux, du scotch, de la pâte à fix, des transparents pour le
rétroprojecteur.
I. Première séance
1 Création de surfaces de mêmes forme et taille :
On distribue des feuilles de bottin à chaque PE.
La consigne : « Partagez la feuille en deux parties directement superposables. Cherchez un
maximum de partages différents ». C’est un travail individuel.
On récolte les demi-feuilles les plus classiques et aussi les plus variées ; on les affiche.
S’il y a un doute, on les vérifie par appel au deuxième morceau : superposition et reconstitution du
rectangle initial.
On institutionnalise :
« Dans cette activité, deux parties issues de partages différents ont des formes différentes, des
périmètres différents, mais la même aire (la moitié de celle du rectangle initial).
Ainsi, deux surfaces superposables ont même forme, même périmètre, même aire, mais deux
surfaces de même aire n’ont pas toujours la même forme, ni le même périmètre ».
2 Propriétés pour qu’une ligne partage le rectangle en deux surfaces superposables :
On annonce :
- Les contenus mathématiques de la séance : la notion d’aire et les fractions au CM1 ;
- Les objectifs de formation: travailler en situation d’homologie directe, donner des exemples de
progression pour enseigner les grandeurs et les fractions ; donner un exemple de gestion de classe.
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- Un objectif mathématique secondaire (hors programmes de l’enseignement français) : définir les
caractéristiques d’une ligne qui partage un rectangle en deux surfaces superposables.
On conduit la recherche sur ce dernier objectif, en faisant travailler en groupe.
La consigne : « Rédigez les caractéristiques d’une telle ligne au feutre sur le transparent ». Lecture
au rétroprojecteur. Pas de discussion, seulement demande de modification pour les groupes qui
changent d’avis au vu des idées des autres ; nouvelle lecture ; nouvelles modifications, etc. jusqu’à
un consensus.
Conclusion : « Une ligne partage un rectangle en deux surfaces superposables si et seulement si elle
est symétrique par rapport au centre du rectangle, part d’un bord, passe par le centre et ne comporte
pas de point double. ».
7
3 Passage d’une surface à l’autre par découpage/recollement :
On a obtenu une famille de surfaces de formes différentes mais ayant toutes la même aire, la moitié
de l’aire de la feuille initiale. Ainsi la notion d’aire et la relation "avoir la même aire" peuvent être
introduites sans recours à la mesure.
Question : « Les surfaces ayant la même aire, est-il possible de passer d’une quelconque d’entre
elles à une autre par simples découpages/recollements ? »
Consigne : « Trouver une technique pour réaliser un tel passage ».
La tache peut paraître difficile, voire impossible dans le cas de lignes courbes très contournées. Une
technique s’élabore cependant collectivement. Certains commencent par les surfaces considérées
comme "simples", puis traitent les lignes brisées, puis les courbes.
Par exemple, on peut viser à partir de chaque surface, à atteindre le même demi-rectangle, les
parties courbes de la ligne disparaissant par découpage et recollement grâce à la symétrie centrale !
On peut énoncer la technique au moyen de pictogrammes. On la fait tourner pour s’assurer de sa
portée.
On institutionnalise :
« Lorsqu’on passe d’une surface à une autre par découpage/recollement, la forme peut changer,
mais l’aire ne change pas .
Réciproquement, si deux surfaces ont la même aire, on peut passer de l’une à l’autre par une suite
de découpages et recollements. »
8
4 Création de plusieurs familles distinctes de surfaces de même aire :
Même consignes qu’au I , pour des demi-feuilles de bottin de forme rectangulaire.
On collectionne une nouvelle famille de surfaces de même aire, cette aire étant différente de celle
des surfaces de la première famille (un quart de l’aire du rectangle initial).
On recommence le travail de création de surfaces à partir de quarts de feuilles de bottin
rectangulaires.
On institutionnalise :
« On peut classer les surfaces par la relation "avoir la même aire que". Ce classement constitue une
partition de l’ensemble des surfaces. Tout représentant d’une classe est un spécimen de l’aire de
cette classe ».
Nouvelles consignes :
« - Fabriquer des surfaces différentes ayant l’aire de la feuille entière ;
- Avec les feuilles déjà obtenues, fabriquer deux ou trois surfaces de même aire, cette aire n’étant
aucune de celles des trois premières familles (famille feuille entière ; famille demi-feuille ; famille
quart de feuille). »
Plusieurs familles solutions sont retenues pour cette dernière consigne.
5 Analyse de la séance :
L’activité permet une définition en acte de la relation d’équivalence sur l’ensemble des surfaces :
"avoir la même aire que". On a construit plusieurs classes distinctes.
L’utilisation des nombres n’est pas indispensable : pas de mesure au sens de l’utilisation d’une unité
et de sous unités, et même le recours aux fractions peut être évité.
Les critères pour « avoir la même aire » sont :
. La superposabilité directe ;
. La superposabilité après découpage et recollement ;
. Le fait d’avoir une aire exprimée par la même fraction d’une aire donnée.
II.
Seconde séance
On conserve le matériel construit à la première séance : les familles de surfaces.
On conduit des situations de communication qui amènent les PE à utiliser des mesures pour l’aire
des surfaces et des fractions pour écrire ces mesures. Ces situations ressemblent à ce qu’Ermel fait à
propos de longueurs au CM1.
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