Corrigé du DL n 2 de Mathématiques - Tivomaths

Première S
Octobre 2016
Corrigé du DL n°2 de Mathématiques
Thème : Fonctions de référence.
Représenter un ensemble.
1. Dans un repère orthonormé, E est l’ensemble des points M (x ; y) tels que |x| + |y| = 1. Représenter graphiquement cet ensemble E .
2. Dans un repère orthonormé, F est l’ensemble des points M (x ; y) tels que |x| + |y| 6 1. Représenter
graphiquement cet ensemble F .
.............................................................................................................
Une solution.
1. L’idée est de partage le plan en 4 zones, selon le signe des abscisses et des ordonnées.
1.5
Dans cette zone, x > 0 et y > 0, ainsi |x| = x
et |y| = y. Par suite,
Dans cette zone, x 6 0 et y > 0, ainsi |x| =
−x et |y| = y. Par suite,
|x| + |y| = 1 ⇔ −x + y = 1 ⇔ y = x + 1.
|x| + |y| = 1 ⇔ x + y = 1 ⇔ y = −x + 1.
1.0
C’est donc que dans cette zone, E coı̈ncide
C’est donc que dans cette zone, E coı̈ncide
avec la droite d4 d’équation y = x + 1.
avec la droite d1 d’équation y = −x + 1.
0.5
d4
−2.0
−1.5
−1.0
d1
0.5
−0.5
1.0
1.5
d3
d2
−0.5
Dans cette zone, x 6 0 et y 6 0, ainsi |x| =
−x et |y| = −y. Par suite,
|x| + |y| = 1 ⇔ −x − y = 1 ⇔ y = −x − 1.
Dans cette zone, x > 0 et y 6 0, ainsi |x| = x
et |y| = −y. Par suite,
|x| + |y| = 1 ⇔ x − y = 1 ⇔ y = x − 1.
−1.0
C’est donc que dans cette zone, E coı̈ncide
C’est donc que dans cette zone, E coı̈ncide
avec la droite d3 d’équation y = −x − 1.
avec la droite d2 d’équation y = x − 1.
−1.5
Finalement, l’ensemble E est représenté par le carré orange suivant :
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LATEX 2ε
1.0
0.5
−1.0
0.5
−0.5
1.0
−0.5
−1.0
2. On partage encore le plan en 4 zones, selon le signe des abscisses et des ordonnées.
1.5
Dans cette zone, x > 0 et y > 0, ainsi |x| = x
et |y| = y. Par suite,
Dans cette zone, x 6 0 et y > 0, ainsi |x| =
−x et |y| = y. Par suite,
|x| + |y| 6 1 ⇔ x + y 6 1 ⇔ y 6 −x + 1.
|x| + |y| 6 1 ⇔ −x + y 6 1 ⇔ y 6 x + 1.
1.0
C’est donc que dans cette zone, F coı̈ncide
C’est donc que dans cette zone, F coı̈ncide
avec l’ensemble des points situés au-dessous
avec l’ensemble des points situés au-dessous
de la droite d4 d’équation y = x + 1.
de la droite d1 d’équation y = −x + 1.
0.5
d4
−2.0
−1.5
−1.0
d1
0.5
−0.5
1.0
1.5
d3
d2
−0.5
Dans cette zone, x 6 0 et y 6 0, ainsi |x| =
−x et |y| = −y. Par suite,
Dans cette zone, x > 0 et y 6 0, ainsi |x| = x
et |y| = −y. Par suite,
|x| + |y| 6 1 ⇔ −x − y 6 1 ⇔ y > −x − 1.
|x| + |y| 6 1 ⇔ x − y 6 1 ⇔ y > x − 1.
−1.0
C’est donc que dans cette zone, F coı̈ncide
C’est donc que dans cette zone, F coı̈ncide
avec l’ensemble des points situés au-dessus de
avec l’ensemble des points situés au-dessus
la droite d3 d’équation y = −x − 1.
de la droite d2 d’équation y = x − 1.
−1.5
−2.0
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LATEX 2ε
Finalement, l’ensemble F est représenté par la surface délimitée par le carré rouge suivant :
1.0
0.5
−1.0
0.5
−0.5
1.0
−0.5
−1.0
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LATEX 2ε