étude expérimentale d`amortisseurs dynamiques de type tsd

ÉTUDE EXPÉRIMENTALE D’AMORTISSEURS
DYNAMIQUES DE TYPE TSD
(”TUNED SLOSHING DAMPER”)
EXPERIMENTAL STUDY OF TUNED
SLOSHING DAMPERS
B. MOLIN*, F. REMY*
* Aix Marseille Université, CNRS, Centrale Marseille, IRPHE UMR 7342
13451 Marseille cedex 13, France
[email protected], [email protected]
Résumé
On considère un amortisseur dynamique constitué d’une cuve rectangulaire, remplie
d’eau, munie d’un écran perforé en son milieu. Des essais de mouvements forcés sont
réalisés sur Hexapode. On teste plusieurs types d’écrans, à trous, puis à fentes verticales.
On diminue progressivement le nombre de fentes sur la largeur, le taux de porosité étant
maintenu constant à 18 %. Les coefficients de masse ajoutée et d’amortissement, tirés
des essais, sont comparés à des valeurs calculées via un modèle numérique où l’écran est
d’abord supposé créer une perte de charge proportionnelle au carré de la vitesse. L’accord se dégrade lorsque on diminue le nombre de fentes. L’ajout d’un terme d’inertie à la
condition de perte de charge permet d’améliorer significativement l’accord entre calculs
et essais.
Summary
Forced motion experiments are reported on a Tuned Sloshing Damper that consists
in a rectangular tank, filled with water, with a perforated screen in its middle. Different
types of screens are tested : a steel plate with circular openings, then vertical slatted
screens, the open-area ratio being kept equal to 18 %. Experimental added mass and
damping coefficients are compared with calculations where the screen is first assumed to
induce a loss of head proportional to the square of the traversing velocity. The agreement
deteriorates when the number of slats, over the width of the tank, is reduced from twelve
down to two. An inertia term is then added up to the discharge law, resulting into an
improved agreement.
1
I – Introduction
Depuis quelques années une vaste littérature est apparue sur des amortisseurs dynamiques ”liquides”, ”Tuned Liquid Dampers” (TLD) en anglais, avec des applications
essentiellement dans les bâtiments terrestres, pour limiter leurs vibrations sous l’effet du
vent ou des tremblements de terre. Une sous-espèce est le TSD, ”Tuned Sloshing Damper”, consistant en une cuve avec une surface libre, dont la fréquence du premier mode
de ballottement est mise en coı̈ncidence avec la fréquence propre du mode de la structure
que l’on souhaite amortir. La dissipation d’énergie est assurée par des écrans perforés,
placés par exemple en milieu de cuve. Ces systèmes se rapprochent de certaines citernes
anti-roulis utilisées dans le naval. Une différence est que les périodes d’intérêt sont assez éloignées, typiquement de l’ordre de 3 secondes pour les édifices terrestres (tours de
contrôle, gratte-ciel, etc.) et de l’ordre de 10 à 20 secondes pour les navires. Cet écart de
période a des répercussions importantes sur les dimensions de la cuve et peut conduire à
préférer, pour les navires, d’autres géométries (tubes en U).
On considère ici le cas simple d’une cuve rectangulaire, munie d’un seul écran perforé
en son milieu, en mouvement de translation horizontale. Ce cas a été largement étudié, de
manière théorique, numérique et expérimentale. On renvoie le lecteur intéressé à Warnitchai & Pinkaew (1998), Tait (2008), Faltinsen & Timokha (2009), Faltinsen et al. (2011),
Crowley & Porter (2012b), Molin & Remy (2013), où il pourra trouver de nombreuses
autres références.
Faltinsen et al. (2011) présentent des résultats expérimentaux et numériques pour une
cuve longue de un mètre, avec une hauteur d’eau de 40 cm. L’écran perforé consiste en une
succession de fentes horizontales, larges de 3 mm, séparées de parties pleines de hauteur
variable de manière à obtenir différents taux de porosité, de 5 à 50 % (le taux de porosité
étant défini comme le rapport de la surface des ouvertures à la surface totale). Les essais
sont réalisés en mouvement forcé harmonique. Les résultats présentés ne concernent que
l’élévation de surface libre à la paroi, les efforts hydrodynamiques ne sont pas mesurés.
Un modèle numérique est proposé, basé sur la théorie potentielle linéarisée, où les fentes
de l’écran sont modélisées. Crowley & Porter (2012b), comme Molin & Remy (2013),
recourent également à la théorie potentielle linéarisée mais modélisent l’écran comme une
paroi poreuse où la composante normale de la vitesse est continue et où se produit un
saut de pression. Molin & Remy (2013) s’inspirent de travaux antérieurs (Molin, 2011)
pour écrire le saut de pression sous la forme :
P− − P+ = ρ
1−τ
Vr |Vr |,
2 µ τ2
(1)
τ étant le taux de porosité, Vr la vitesse relative de l’écoulement (par rapport à la paroi), et
µ un coefficient de perte de charge dépendant de la nature des perforations et du nombre
de Reynolds. Cette idéalisation, et le recours à la théorie potentielle pour l’écoulement
extérieur, se justifient asymptotiquement quand l’épaisseur de la paroi est nulle et quand
le nombre de perforations tend vers l’infini (donc que leur taille devient infiniment petite).
Molin & Remy (2013) procèdent à des essais avec une cuve longue de 80 cm, pour une
hauteur d’eau de 32 cm (soit donc le même ratio h/L que Faltinsen et al., 2011). L’écran
perforé consiste en une plaque d’acier, épaisse de 2 mm, avec des ouvertures circulaires
de diamètre 4 mm, pour un taux de porosité de 18 %.
Alors que Faltinsen et al. (2011) font varier le taux de porosité, à amplitude de mouvement constante, Molin & Remy (2013) font varier l’amplitude du mouvement, à taux
2
de porosité constant. D’après leur théorie, seul importe le paramètre (1 − τ ) A/(2 µ τ 2 L),
A étant l’amplitude du mouvement imposé : il est équivalent de faire varier τ ou A si
ce paramètre est conservé, ceci dans le respect des hypothèses de départ, en particulier
que le mouvement de la surface libre reste modéré et bien décrit par la théorie linéaire.
Molin & Remy (2013) obtiennent des coefficients hydrodynamiques (masse ajoutée et
amortissement) en bon accord avec leurs valeurs calculées, tant que les hypothèses de
comportement linéaire de la surface libre restent remplies. Les fonctions de transfert de
l’élévation de surface libre à la paroi, mesurées et calculées, sont aussi en bon accord, et
voisines de celles obtenues par Faltinsen et al. (2011) sur les cas comparables.
Comme on l’a écrit, le recours à la théorie potentielle est justifiable de manière asymptotique, lorsque la taille des ouvertures devient infiniment petite. L’écoulement est supposé
se séparer à leur traversée (ce qui implique donc des angles vifs), mais les sillages s’homogénéisent rapidement, à une distance de l’ordre de l’espacement, ou du diamètre, des
perforations, donc négligeable vis à vis de la longueur de la cuve.
En pratique il peut être plus commode d’utiliser un système à fentes, horizontales ou
verticales, et de chercher à minimiser leur nombre, et il se pose donc la question de la
pertinence du modèle théorique lorsqu’on utilise des fentes plutôt que des trous circulaires,
et qu’on en diminue le nombre, à taux de porosité constant.
Cette question a motivé les essais que l’on rapporte ici, où l’on a repris le montage
décrit dans Molin & Remy (2013), et remplacé la plaque perforée par des fentes, verticales,
en diminuant progressivement leur nombre sur la largeur de la cuve.
Dans la première partie on rappelle brièvement le modèle numérique décrit dans Molin
& Remy (2013). Puis on présente les essais, effectués sur l’Hexapode de Centrale Marseille, et les coefficients hydrodynamiques obtenus, comparés à leurs valeurs numériques
de référence. Lorsque le nombre de fentes diminue on observe une certaine variation de
ces coefficients que l’on attribue à des effets de masse ajoutée. Une modification ad hoc
de la relation (1) permet de rendre compte de l’évolution observée.
II – Le modèle numérique
z
y
h
b
b
Figure 1 – Géométrie.
La figure 1 illustre la géométrie du problème. On utilise un système de coordonnées
Oyz centré au milieu de la cuve, à la surface libre. La cuve est de longueur L = 2b, la
hauteur d’eau est h. La cuve est soumise à un mouvement de translation harmonique,
3
suivant y, d’amplitude A et de pulsation ω. On se place dans le cadre de la théorie
potentielle linéarisée, le potentiel des vitesses Φ(y, z, t) étant exprimé sous la forme :
{
Φ(y, z, t) = ℜ φ(y, z) e−i ω t
}
(2)
Le potentiel φ(y, z) vérifie l’équation de Laplace dans le domaine fluide −b ≤ y ≤ b
−h ≤ z ≤ 0, l’équation de surface libre linéarisée g φz − ω 2 φ = 0 en z = 0, et des
conditions de glissement aux parois :
φz (y, −h) = 0
φy (±b, z) = A ω
(3)
A l’écran poreux la linéarisation de Lorenz appliquée à la relation (1) conduit à :
i ω (φ− − φ+ ) =
4 1−τ
∥φy − A ω∥ (φy − A ω)
3 π µ τ2
(4)
Le potentiel φ est exprimé sous la forme :
∞
∑
cosh λm (z + h)
cosh λm h
m=1
∞
cosh k0 (z + h) ∑
cosh kn (y ± b)
±B0 cos k0 (y ± b)
±
cos kn (z + h) (5)
Bn
cosh k0 h
cosh kn b
n=1
φ(y, z) = A ω y +
Am cos λm (y − b)
2
2
où λm = (2 m − 1) π/(2 b), Am = 2 A ω 3 /(λ2m (ωm
− ω 2 ) b), ωm
= g λm tanh λm h et
2
ω = g k0 tanh k0 h = −g kn tan kn h.
Dans (5), par ± on entend + dans le compartiment gauche −b ≤ y ≤ 0, et − dans
le compartiment droit 0 ≤ y ≤ b. De cette manière l’égalité des vitesses horizontales en
y = 0 est assurée. En l’absence d’écran poreux B0 ≡ Bn ≡ 0.
L’expression (5) satisfait à toutes les équations du problème hormis la condition de
perte de charge (4), qui est non-linéaire. Pour vaincre cette difficulté on suit un processus
itératif, où on écrit, à l’itération (j) :
(j)
(j)
i ω (φ− − φ+ ) =
4 1−τ
∥φ(j−3/2)
− A ω∥ (φ(j)
y
y − A ω)
3 π µ τ2
(6)
qui conduit à :
(
(j)
B0
+
∑
) cosh k (z + h)
0
cos k0 b + k0 sin k0 b f (j−3/2) (z)
Bn(j)
(
cosh k0 h
1 − kn tanh kn b f (j−3/2) (z) cos kn (z + h) = f (j−3/2) (z) g(z)
)
(7)
n
où
g(z) =
∑
λm (−1)(m+1) Am
m
f (j) (z) =
2i 1 − τ
−
3 π ω µ τ2
cosh λm (z + h)
cosh λm h
cosh k0 (z + h) ∑
(j)
kn Bn(j) tanh kn b cos kn (z + h)
+
g(z) − k0 B0 sin k0 b
cosh k0 h
n
Dans (6) et (7) (j − 3/2) signifie que les valeurs moyennées des coefficients Bn , aux
itérations (j −2) et (j −1), sont utilisées pour calculer f (z). De cette manière on introduit
de la relaxation dans le schéma itératif et la convergence est plus rapide.
4
Les séries Am et Bn sont tronquées à des ordres M et N , respectivement, et on construit
le système linéaire suivant :
∫
0
(j)
B0
∫
−h
0
=
−h
∑ (j)
cosh2 k0 (z + h)
Bn
dz +
cosh k0 h
n
0
−h
∫
cos k0 b + k0 sin k0 b f (j−3/2) (z) cosh k0 (z + h)
cos km (z + h) dz
cosh k0 h
1 − km tanh km b f (j−3/2) (z)
0
(j)
cos2 km (z + h) dz +
+Bm
−h
=
−h
−h
1 − kn tanh kn b f (j−3/2) (z)
cos kn (z + h) cosh k0 (z + h) dz
cos k0 b + k0 sin k0 b f (j−3/2) (z)
g(z)
cosh k0 (z + h) dz
cos k0 b + k0 sin k0 b f (j−3/2) (z)
∫
0
0
f (j−3/2) (z)
(j)
B0
∫
∫
∑
∫
0
(j)
Bn
−h
n̸=m
1 − kn tanh kn b f (j−3/2) (z)
cos km (z + h) cos kn (z + h) dz
1 − km tanh km b f (j−3/2) (z)
f (j−3/2) (z) g(z)
cos km (z + h) dz
1 − km tanh km b f (j−3/2) (z)
résolu par une méthode de Gauss. La convergence est atteinte en 10 à 20 itérations, les
coefficients Bn étant initialisés à zéro.
L’effort hydrodynamique s’obtient en intégrant la pression linéarisée i ω ρ φ sur les
parois solides et sur l’écran poreux. On l’écrit sous la forme
{
Fy = ℜ 2 i ρ A ω 2 b h (Ca + i Cb ) e−i ω t
}
(8)
où
A ω b h [Ca + i Cb ] = A ω b h +
M
∑
Am
m=1
+
N
∑
n=1
(
Bn
tanh λm h
tanh k0 h
+ B0 (cos k0 b − 1)
λm
k0
1
1−
cosh kn b
)
sin kn h
kn
(9)
Ca est le coefficient de masse ajoutée et Cb le coefficient d’amortissement.
III – Campagne expérimentale
Les essais ont été réalisés à l’aide d’une plateforme Stewart ”Hexapode Mistral” de
Symétrie 1 . La photo (figure 2) montre l’hexapode et la cuve utilisée (avec un niveau
de remplissage différent de celui considéré ici). On distingue un cloisonnement intérieur,
séparant la cuve en quatre compartiments sur sa longueur. Ce compartimentage permet
d’éviter les éventuelles instabilités transverses (swirling ou autres) et, surtout, assure la
rigidité des écrans. Les dimensions intérieures de la cuve sont : longueur 80 cm, largeur
50 cm (soit environ 12 cm pour chaque compartiment), la hauteur d’eau dans les essais
rapportés ici étant de 32 cm.
Comme indiqué sur la photo, l’hexapode est équipé de capteurs d’effort placés en tête
de chacune de ses six jambes. Un logiciel intégré restitue le torseur des efforts de liaison
entre l’ensemble cuve + plaque support et les jambes de l’hexapode. Pour améliorer la
détermination de la partie purement hydrodynamique des efforts les essais sont menés deux
fois, cuve pleine, et cuve vide, et les deux séries temporelles des efforts sont retranchées.
Une analyse de Fourier permet de restituer les coefficients Ca et Cb .
1. http ://www.symetrie.fr/
5
Figure 2 – La cuve sur l’hexapode.
Dans les essais de la campagne précédente (Molin & Remy, 2013) la paroi perforée
consistait en une plaque d’acier, de 2 mm d’épaisseur, percée d’ouvertures circulaires de 4
mm de diamètre, pour un taux de porosité de 18 %. Dans les nouveaux essais rapportés ici,
les perforations consistent en des fentes verticales. Trois écrans sont testés successivement
où, à taux de porosité maintenu constant (18 %), on diminue progressivement le nombre
de fentes : douze, puis quatre puis deux sur la largeur (figure 3) (dans ce dernier cas le
nombre de compartiments est réduit à deux).
IV – Résultats obtenus
Les figures 4 et 5, reproduites de Molin & Remy (2013), présentent les coefficients de
masse ajoutée et d’amortissement calculés pour des amplitudes de mouvement allant de
1 mm à 32 mm et pour des pulsations allant de 3 rad/s à 13 rad/s. Le coefficient de perte
de charge µ a été pris égal à 0.5, suivant notre expérience avec ce type de perforations
(Molin, 2011). Les coefficients de masse ajoutée sont aussi donnés pour la cuve nue (sans
écran, ”no wall” sur la figure), et pour la cuve avec un écran opaque (”solid wall”). Ces
deux cas sont asymptotiques lorsque le coefficient (1 − τ ) A/(2 µ τ 2 L) tend vers zéro ou
vers l’infini, soit, à taux de porosité donné, lorsque l’amplitude du mouvement tend vers
les mêmes limites.
Les trois premiers modes de ballottement de la cuve nue ont pour pulsations propres,
respectivement, 5.72 rad/s, 8.72 rad/s et 10.74 rad/s. La pulsation propre du mode 2
(8.72 rad/s) est aussi celle du mode 1 de la demi-cuve. Dans le cas de la cuve nue le coefficient de masse ajoutée est singulier aux pulsations des modes 1 et 3, et passe localement
de +∞ à −∞. Le même comportement s’obtient pour celui de la cuve avec écran opaque,
à la pulsation du mode 2. Il est frappant que les différentes courbes, donnant le coefficient
de masse ajoutée, semblent se croiser exactement aux pulsations des deux premiers modes
6
Figure 3 – Ecrans testés : perforations (haut gauche), douze fentes sur la largeur (haut
droite), quatre fentes (bas gauche), deux fentes (bas droite).
propres.
On constate sur la figure 4 que, lorsque l’amplitude augmente, le coefficient de masse
ajoutée passe graduellement du cas sans écran au cas écran opaque. Corrélativement le
coefficient d’amortissement qui, à faible amplitude, présente deux pics aux pulsations des
modes 1 et 3, finit par ne présenter (sur la gamme de pulsations considérée) qu’un seul
pic à la pulsation du mode 2.
Les figures 6 and 7 présentent les coefficients de masse ajoutée et d’amortissement
obtenus pour les différents écrans testés et pour 4 amplitudes de mouvement : 1 mm,
4 mm, 8 mm et 12 mm. Les valeurs calculées (toujours avec µ = 0.5) sont aussi incluses.
On constate tout d’abord que les coefficients hydrodynamiques tirés des mesures pour
l’écran à trous sont en raisonnablement bon accord avec les valeurs calculées sauf, à la
plus forte amplitude, aux pulsations voisines du mode 2 : le modèle numérique prédit des
cambrures excessives et, pratiquement, la surface libre déferle. Pour l’écran à douze fentes
les coefficients hydrodynamiques sont relativement voisins mais on note quand même
quelques différences. Dans ce cas la largeur des fentes est de 7.5 mm, à peu près le double
du diamètre des perforations.
Lorsque le nombre de fentes diminue, on observe que les courbes se décalent vers la
7
2.5
no wall
1 mm
2 mm
4 mm
8 mm
16 mm
32 mm
solid wall
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
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4
5
6
7
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9
frequency (rad/s)
10
11
12
13
Figure 4 – Coefficients de masse ajoutée calculés pour différentes amplitudes de mouvement.
2.5
1 mm
2 mm
4 mm
8 mm
16 mm
32 mm
2
1.5
1
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0
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9
frequency (rad/s)
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13
Figure 5 – Coefficients d’amortissement calculés pour différentes amplitudes de mouvement.
gauche, vers les plus basses pulsations. Ceci reflète la modification des pulsations propres
des modes 1 et 3 sous l’effet des obstructions apportées, par rapport à la cuve nue. Une
interprétation intuitive est que, à mode géométrique et pulsation donnés, les obstructions
augmentent l’énergie cinétique. L’énergie potentielle ne variant pas, la pulsation propre
doit nécessairement diminuer (voir Faltinsen & Timokha, 2009, section 4.7). Autrement
formulé, l’effet de masse ajoutée des écrans n’est plus négligeable, et un terme impliquant
8
3
3
num
trous
12 fentes
4 fentes
2 fentes
2.5
num
trous
12 fentes
4 fentes
2 fentes
2.5
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2
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1.5
1
1
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omega (rad/s)
9
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omega (rad/s)
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num
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12 fentes
4 fentes
2 fentes
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num
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12 fentes
4 fentes
2 fentes
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1.5
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0.5
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-0.5
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-1
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omega (rad/s)
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3
4
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6
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omega (rad/s)
9
10
11
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13
Figure 6 – Coefficients de masse ajoutée Ca pour A = 1 mm (haut gauche), 4 mm (haut
droite), 8 mm (bas gauche), 12 mm (bas droite).
l’accélération semble manquer dans l’équation (1) de perte de charge. D’après la figure
7 la pulsation du mode 1 descend de 5.72 rad/s à environ 5.5 rad/s dans le cas 4 fentes
et à 5 rad/s dans le cas 2 fentes. Il serait évidemment souhaitable de conforter cette
observation par des calculs exacts en théorie potentielle. Quant au mode 3, sa pulsation
passe de 10.74 rad/s à, respectivement, 10 et 9.5 rad/s. Elle se rapproche ainsi de la
pulsation propre du mode 2 (qui elle ne se décale pas puisque l’écran est localisé à un
ventre du mode 2).
Il est frappant que, dans le cas 2 fentes, à la plus faible amplitude de mouvement, la
hauteur du premier pic de l’amortissement est diminuée (par rapport au cas de référence),
alors qu’elle est très fortement augmentée pour le second pic. Cette augmentation est
probablement liée au fait que les pulsations des modes 2 et 3 sont devenues très voisines.
Enfin on remarque que les différences entre les 4 types d’écran tendent à se gommer
lorsque l’amplitude du mouvement augmente.
V – Modification de la condition de perte de charge
La masse ajoutée d’un écran constitué d’une succession périodique de parties pleines
et de fentes est discutée dans Molin (2011), où il est démontré qu’à longueur d’écran
et porosité données, elle devient nulle asymptotiquement lorsque le nombre d’ouvertures
tend vers l’infini. L’expression donnée dans Molin (2011), sur la base du saut de pression
qu’elle implique, conduit à modifier la condition (4) de perte de charge de la manière
9
3
3
num
trous
12 fentes
4 fentes
2 fentes
2.5
num
trous
12 fentes
4 fentes
2 fentes
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omega (rad/s)
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omega (rad/s)
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omega (rad/s)
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Figure 7 – Coefficients d’amortissement Cb pour A = 1 mm (haut gauche), 4 mm (haut
droite), 8 mm (bas gauche), 12 mm (bas droite).
suivante :
4 1−τ
d
∥φy − A ω∥ (φy − A ω) − i ω (1 − τ )2 π Cm (τ )
(φy − A ω)
2
3π µτ
4NF
(10)
où d est la largeur de la cuve (ici 50 cm), NF le nombre de fentes sur cette largeur et
Cm (τ ) est donné par (Morse & Ingard, 1968) :
i ω (φ− − φ+ ) =
[
8
1
πτ
1
πτ
Cm (τ ) =
ln
tan
+ cot
2
2
(1 − τ ) π
2
4
2
4
]
(11)
Le terme additionnel est identique à celui proposé par Crowley & Porter (2012a, leur
relation (2.29)).
On présente sur les figures 8 et 9 les nouveaux coefficients de masse ajoutée et d’amortissement obtenus, comparés à leurs valeurs expérimentales, dans les cas 4 fentes et 2
fentes. Les résultats numériques initiaux (sans ajout du terme d’inertie) sont aussi reproduits pour comparaison. A la plus faible amplitude d’oscillation (1 mm) l’accord entre
numérique et expérimental est très bon, le décalage en fréquence et la modification de la
hauteur des pics sont bien reproduits. L’accord numérique expérimental se dégrade lorsque
l’amplitude augmente, mais il subsiste quand même un certain progrès par rapport au calcul initial. Cette dégradation est probablement due à plusieurs facteurs. Notre équation
de perte de charge s’apparente à la formule de Morison où on combine un terme d’inertie
tiré de la théorie potentielle, et un terme de traı̂née lié à la séparation de l’écoulement,
10
3
3
num. initial
num. 4 fentes
exp. 4 fentes
num. 2 fentes
exp. 2 fentes
2.5
num. initial
num. 4 fentes
exp. 4 fentes
num. 2 fentes
exp. 2 fentes
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omega (rad/s)
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num. initial
num. 4 fentes
exp. 4 fentes
num. 2 fentes
exp. 2 fentes
2.5
num. initial
num. 4 fentes
exp. 4 fentes
num. 2 fentes
exp. 2 fentes
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2
2
1.5
1.5
1
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0.5
0.5
0
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-0.5
-0.5
-1
-1
3
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omega (rad/s)
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3
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omega (rad/s)
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13
Figure 8 – Coefficients de masse ajoutée Ca pour A = 1 mm (haut gauche), 4 mm (haut
droite), 8 mm (bas gauche), 12 mm (bas droite). Condition de perte de charge modifiée.
combinaison notoirement incohérente. La formule de Morison est asymptotiquement justifiable lorsque le nombre de Keulegan-Carpenter tend vers zéro (inertie dominante) ou
vers l’infini (traı̂née dominante), elle est très imparfaite lorsque les deux composantes ont
un poids comparable 2 . Outre ce problème, les hypothèses d’écran poreux équivalent, et
d’écoulement redevenu irrotationnel à très faible distance de l’écran, sont évidemment de
moins en moins bien satisfaites lorsque la taille des fentes et leur espacement augmentent.
Enfin, comme on l’a déjà écrit, les écarts que l’on observe aux hautes pulsations sont
principalement dus aux non-linéarités de surface libre (déferlement).
Références
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Mathematics, 76, 33-57.
Crowley S., Porter R., 2012b. An analysis of screen arrangements for a tuned liquid
damper, J. Fluids and Structures, 34, 291–309.
Faltinsen O., Firoozkoohi R., Timokha A.N., 2011. Steady-state liquid sloshing
in a rectangular tank with a slat-type screen in the middle : Quasilinear modal analysis
and experiments, Physics of Fluids, 23, 042101.
Faltinsen O., Timokha A.N., 2009. Sloshing, Cambridge University Press.
2. Le nombre de Keulegan-Carpenter qu’il faudrait ici introduire serait basé sur l’amplitude de
l’écoulement à travers les fentes et sur leur espacement.
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3
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num. initial
num. 4 fentes
exp. 4 fentes
num. 2 fentes
exp. 2 fentes
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num. initial
num. 4 fentes
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num. 4 fentes
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omega (rad/s)
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Figure 9 – Coefficients d’amortissement Cb pour A = 1 mm (haut gauche), 4 mm (haut
droite), 8 mm (bas gauche), 12 mm (bas droite). Condition de perte de charge modifiée.
Molin B., 2011. Hydrodynamic modeling of perforated structures, Applied Ocean Research, 33, 1–11.
Molin B., Remy F. 2013 Experimental and numerical study of the sloshing motion in
a rectangular tank with a perforated screen, J. Fluids and Structures, 43, 463–480.
Morse P.M. & Ingard K.U. 1968 Theoretical Acoustics. New-York : McGraw-Hill.
Tait M.J., 2008. Modelling and preliminary design of a structure-TLD system, Engineering Structures, 30, 2644–2655.
Warnitchai P., Pinkaew T., 1998. Modelling of liquid sloshing in rectangular tanks
with flow-dampening devices, Engineering Structures, 20, 593–600.
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