La transformation de formules - appui

La transformation de formules
www.phymaths.ch
1er septembre 2010
1 Formules élémentaires
Il est absolument indispensable de maitriser la transformation de formules. Voilà quelques
outils nécessaires pour y arriver. Une formule de physique ou de mathématique est une
équation, c.à.d qu’elle est formée de deux membres (gauche et droite) séparés par le signe
égal (=). Le plus important est de se rappeler que si l’on fait une opération algébrique
dans un des membres d’une équation il faut absolument faire la même opération dans
l’autre.
Une autre chose est d’avoir à l’esprit que la soustraction est en fait l’addition d’une valeur
négative (4 − 5 = 4 + (−5)) et que la division est synonyme de multiplication par l’inverse
( 43 = 3 · 14 ).
1.1 Rappels
1.1.1 Produit en croix et multiplication par un facteur
Soit une égalité de deux fractions
a
c
=
b
d
en effectuant le produit en croix on a l’égalité
a·d =b·c
Si on désire isoler b, on divise les deux côtés de l’égalité par c puis on simplifie
b·c
a·d
=
c
c
⇒
a·d
b · c!
=
c
c!
⇒
b=
a·d
c
On utilise le même processus si on désire isoler les autres lettres.
Le truc consiste à enlever les lettres qui nous gênent en multipliant ou en divisant des deux
côtés de l’égalité par les valeurs adéquates, en n’oubliant pas que la même intervention
doit être faite des deux côtés de l’équation.
1
Exercice 1.1 (•). Dans les équation suivantes chaque lettre représente une variable, isolez
celle entre parenthèses.
1. abc = def
cde
2. ab =
sv
f gh
abc
=
3.
de
j
(e)
(c)
(isolez la fraction
g
)
b
1.1.2 Addition et soustraction de termes
Soit une équation de forme générale
a+b=c+d
Si on désire isoler a, on va ajouter −b de chaque côtés.
a + b + (−b) = c + d + (−b)
⇒
a+b−b= c+d−d
⇒
a=c+d−b
Exercice 1.2 (•). Dans les équation suivantes chaque lettre représente une variable, isolez
celle entre parenthèses.
1. a + b + c = d − e − f
2. a + b = c − d + e
(e)
(c)
1.1.3 Résolution d’une équation du premier degré
Soit une équation du premier degré (x est à la puissance 1) de la forme
a·x+b= c·x+d
Pour résoudre selon x on ajoute −b − c · x de chaque côté et on simplifie,
"− c · x = !
# ·"
a · x + !b + "
−b
c ·"
x + d + −b#
−c
x
⇒
a·x−c·x= d−b
on met x en évidence à gauche et on divise des deux côtés par (a − c)
x(a − c)
(d − b)
=
(a − c)
(a − c)
⇒
x=
d−b
a−c
Exercice 1.3 (•). Résoudre (isolez x) les équation suivantes (chaque lettre représente
une variable).
1. cx − f = 3x
2. a − bx = cd + ex
ax + 5
=x+2
3.
2
2
1.1.4 Puissances et racines
Soit l’expression
!
a
c
=
b
d
Que vaut b ?
!
a
c
=
b
d
"! #2
a
b
⇒
=
$ c %2
d
a
c2
= 2
b
d
⇒
2
bc = ad
⇒
2
⇒
ad2
b= 2
c
Exercice 1.4 (•). Résoudre (isolez x) les équation suivantes (chaque lettre représente
une variable).
&√
x+y =a+b
1.
1
2. ab =
1
1+
x
2
ax + 5
= x+2
3.
2
b
c
1.2 Formules de la forme a =
1.2.1 La vitesse, la masse volumique
La vitesse d’un corps est la division de la distance parcourue par ce corps par le temps
mis à parcourir cette distance. On posera v pour la vitesse, d pour l’espace parcouru et t
pour le temps.
d
v=
t
Que valent t et d :
v=
d
t
⇒
v=
v
d
=
1
t
d
t
⇒
⇒
v·t=1·d
v
d
=
1
t
⇒
v·t
"
v·t = 1·d
⇒
v
"
=
⇒
1·d
v
t=
d
v
d=v·t
Exercice 1.5 (•). Effectuer de même pour la masse volumique ρ =
3
⇒
m
v,
isolez m et v.
1.2.2 L’échelle
L’échelle est définie par le rapport de la distance virtuelle Dv (sur la carte, la photo etc.)
et de la distance réelle Dr .
Dv
Ech =
Dr
En procédant de même que pour la vitesse
Dv
Ech
=
1
Dr
et
1 · Dv = Ech · Dr
⇒
Ech
Dv
=
1
Dr
1 · Dv
Ech · Dr
=
Ech
Ech
⇒
Dv = Ech · Dr
⇒
⇒
Dr =
Dv
Ech
Exemple: Quelle est la distance réelle si on a une échelle de 1 : 1500 et une distance
virtuelle de 30cm.
Il suffit de choisir la formule adéquate de remplacer par les valeurs données, soit
Dr =
0.3m
Dv
1500
= 1 = 0.3m ·
= 0.3m · 1500 = 450m
Ech
1
1500
Exercice 1.6 (•). Quelle est la distance virtuelle si on a une échelle de 200 : 1 et une
distance réelle de 0.3mm.
2 Formules plus compliquées
Soit la formule suivante.
x − βct
y=&
1 − β2
On se propose d’isoler la valeur de β.
x − βct
y=&
1 − β2
(x − βct)2
y2 =
1 − β2
élévation au carré
→
y2 =
(x − βct)2
1 − β2
produit en croix, développement
y 2 −y 2 β 2 = x2 −2βxct+β 2 c2 t2
0
→
y 2 − y 2 β 2 = x2 − 2βxct + β 2 c2 t2
réarrangement, mise en évidence
→
(c2 t2 +y 2)β 2 −xctβ+(x2 −y 2 ) =
Nous avons une équation du deuxième degré (aβ 2 + bβ + c = 0) en β, avec pour coefficients,
a = c2 t2 + y 2
b = −xct
4
c = (x2 − y 2)
Le calcul du discriminant ∆ = b2 − 4ac nous donne
$
$
4x2 c2 t2 − 4[(c2 t2 + y 2)(x2 − y 2 )] = 4[$
x2$
c2$
t2 − $
x2$
c2$
t2 + c2 t2 y 2 − x2 y 2 + y 4 ] ⇒
∆ = 4[c2 t2 y 2 − x2 y 2 + y 4]
pour terminer
β1,2
&
&
√
xct ± y 4 − x2 y 2 + c2 t2 y 2
2! xct ± 2! y 4 − x2 y 2 + c2 t2 y 2
−b ± ∆
=
=
=
2! (c2 t2 − y 2)
2a
c2 t2 − y 2
Remarque On voit que quelque soit la difficulté de la transformation, ce sont toujours
les mêmes opérations qui sont utilisées.
5