Fonctions affines

CHAPITRE
Fonctions affines
Énigme du chapitre.
On peut coder un message en utilisant le chiffrage affine. Par exemple, le message « BONJOUR » devient le message « GTQETLC » par
le chiffrage affine Y = 3X + 1 (ex : comme B
est la deuxième lettre de l’alphabet, on multiplie 2 par 3 et on l’ajoute à 1, on obtient 7 et
la septième lettre de l’alphabet est G . Si le résultat est supérieur à 26, on prend le reste de
la division euclidienne du résultat par 26.
Coder le message suivant par le chiffrage affine
Y = 5X + 2 : « VIVE LES MATHS ».
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Objectifs du chapitre.
— Déterminer par le calcul l’image d’un
nombre donné et l’antécédent d’un
nombre donné.
— Connaître et utiliser la relation y =
ax +b entre les coordonnées (x ; y ) d’un
point M qui est caractéristique de son
appartenance à la droite représentative
de la fonction affine x 7! ax + b.
— Déterminer une fonction affine à partir
de la donnée de deux nombres et leurs
images.
— Représenter graphiquement une fonction affine.
— Lire et interpréter graphiquement les
coefficients d’une fonction affine représentée par une droite.
I/ Fonctions affines
Activité A. Une nouvelle fonction, encore !
1. Un site d’achat de musique en ligne propose un abonnement permettant de télécharger des
morceaux à prix cassés. L’abonnement coûte
e, quel que soit le nombre de morceaux
téléchargés, et chaque morceau de musique est alors disponible au prix de ; e.
10
(a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous.
Nombre de morceaux achetés
Prix total payé en euros
0 70
0 10 15 25 30 50 80
(b) Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ?
(c) Soit x le nombre de morceaux téléchargés et
fonction de x .
f (x ) le coût total. Exprimer f (x ) en
f (0), f (10), f (15), f (25), f (30), f (50), f (80) ?
2. Soit f la fonction définie par f (x ) = 0;7x + 10.
Une fonction définie par x 7! ax + b est appelée une fonction affine.
(a) La fonction f est-elle une fonction affine ? Si oui, indiquer les valeurs des nombres a
et b.
Les nombres a et b sont respectivement appelés le coefficient directeur et l’ordonnée
(d) Quelles sont les valeurs de
à l’origine de la représentation graphique de la fonction affine.
(b) Calculer les images
f(
10), f ( 20) et f ( 30).
(c) Tracer dans un même repère d’origine O, la représentation graphique de la fonction
et la représentation graphique de la fonction g définie par g x
; x.
( )=07
f
(d) Que peut-on conjecturer au sujet de la représentation graphique d’une fonction affine ?
(e) Quelle est l’ordonnée du point d’intersection de la représentation graphique de
l’axe des ordonnées ?
f avec
1) Définition
Définition
Soit a et b deux nombres quelconques. Une fonction affine
nombre x , le nombre ax b. On note f x 7! ax b.
+
:
+
f est une fonction qui associe, à tout
Exemples
( ) = 3x + 2 est une fonction affine, avec a = 3 et b = 2.
( ) = 2x 5 est une fonction affine, avec a = 2 et b = 5.
— La fonction g définie par g x
— La fonction h définie par h x
Remarques
Cas particuliers :
— Si a
, alors
— Si b
, alors
=0
=0
f : x 7! b. La fonction f est une fonction constante.
f : x 7! ax . La fonction f est une fonction linéaire de coefficient a.
Faire les exercices 1 2 3 4 F 5 F
2) Représentation graphique
Propriétés
— Dans un repère, une fonction affine f x 7! ax b est représentée par droite d non
parallèle à l’axe des ordonnées. Le nombre a est appelé le coefficient directeur de d . Le
nombre b est appelé l’ordonnée à l’origine de d .
— Réciproquement, toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées, représente une fonction
affine.
:
+
()
()
()
Exemple
On considère le repère suivant :
4
2
4
2
0
2
4
2
(d )
(d )
2
1
4
(d ) et (d ) représentent respectivement les fonctions affines g : x 7! 2x + 1 et
h : x 7! 2x + 3.
Le coefficient directeur de la droite (d ) est 2 et celui de la droite (d ) est 2.
L’ordonnée à l’origine de la droite (d ) est 1 et celui de la droite (d ) est 3.
g (0) = 1 et g (1) = 3, donc (d ) passe par les points de coordonnées (0;1) et (1;3).
h(0) = 3 et h(1) = 1, donc (d ) passe par les points de coordonnées (0;3) et (1;1).
Les droites
1
2
1
1
1
2
2
2
Remarques
()
()
— La droite d est parallèle à la droite représentative de la fonction linéaire x 7! ax .
— La droite d coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées
b.
— Les points de la droite d sont tous les points M du plan dont les coordonnées
vérifient l’égalite y ax b.
()
= +
Faire les exercices 6 7 8 9 F 10 F
(0; )
(x ; y )
II/ Proportionnalité des accroissements
Activité B. À la découverte d’une nouvelle propriété
1. Conjecture :
(a) Soit f la fonction affine définie par
Calculer les quotients suivants :
f (2) f (1)
f (x ) = 2x + 1;5.
2) f ( 3)
2 1
3 1
1 ( 2)
2 ( 3)
(b) Reprendre les calculs précédentes avec la fonction f définie par f (x ) = 5x + 4.
i.
f (3) f (1)
ii.
iii.
f (1) f (
2)
iv.
f(
(c) Que peut-on conjecturer ?
2. Démonstration : Soient
par f x
ax b.
( )= +
a et b deux nombres quelconques et f la fonction affinie définie
(x ) f (x ) sous
f (x ) f (x )
.
(b) Factoriser la différence f (x ) f (x ) puis en déduire la valeur du quotient
x x
(a) On considère deux nombres distincts x1 et x2 . Exprimer la différence f
sa forme développée et réduite.
1
2
1
1
2
2
2
1
Propriété
Soient f une fonction affine telle que f x
ax b, et x1 et x2 deux nombres distincts. L’accroissement de f x est proportionnel à l’accroissement de x , a étant le coefficient de proportionnalité.
Soit :
( )= +
()
f (x2 ) f (x1 ) = a(x2
x1 )
ou
a=
f (x2 ) f (x1 )
:
x2 x1
Remarque
f (x2 ) f (x1 ) représente l’accroisement de f (x1 ) à f (x2 ) et x2 x1 représente l’accroissement de
x1 à x2 .
Exemple
Soit f la fonction affine définie par
f (x ) = 4 x
3. On a :
f (100) f (99) 397 393
100 99 = 1 = 4:
Méthode
Étant donnée une fonction affine f x 7! ax b dont on connait deux points de sa représentation
graphique, la propriété de proportionnalité des accroissements va nous servir à déterminer les
coefficients a et b.
:
Exemple
Soit f une fonction affine telle que
f(
+
2) = 2 et f (4) = 5.
—
f est une fonction affine, donc f (x ) = ax + b.
2) = 5 2 = 3 = 1 :
4 ( 2)
6 6 2
Par conséquent, on a : f (x ) = x + b.
— On calcule b grâce aux coordonnées d’un des points de la représentation graphique de f
f ( 2) = 2, d’où :
1 ( 2) + b = 2
2
1+b =2
b = 2 + 1 = 3:
On a donc : f (x ) = x + 3.
a=
f (4) f (
1
2
1
2
Faire les exercices 11 12 13 14 F 15 F
Problèmes :
Faire les exercices 16 F 17 F 18 F 19 F 20 F
Vu au brevet :
Faire les exercices 21 F 22 F
: