CORRECTION DE L`INTERROGATION DE MATHEMATIQUES

CORRECTION DE L'INTERROGATION DE MATHEMATIQUES (PGCD ET TRIGONOMETRIE)
Exercice 1 : Trouve le PGCD des nombres suivants ( précise la méthode utilisée):J'utilise l'algorithme
d'Euclide (méthode des divisions successives) pour trouver les PGCD suivants :
Déterminons le PGCD de 90 et 12 :
Étapes a
b
r
a – bq = r
1
90
12
6

90 – 7×12=6
2
12
6
0

12 – 2×6=0
Déterminons le PGCD de 270 et 198 :
Étapes a
b
r
a – bq = r
1
270
198
72

270 – 1×198=72
2
198
72
54

198 – 2×72=54
3
72
54
18

72 – 1×54=18
4
54
18
0

54 – 3×18=0
Déterminons le PGCD de 702 et 273 :
Étapes a
b
r
a – bq = r
1
702
273
156

702 – 2×273=156
2
273
156
117

273 – 1×156=117
3
156
117
39

156 – 1×117=39
4
117
39
0

117 – 3×39=0
FINALEMENT, PGCD(90,12) = 6
PGCD(270,198) =18 ET
PGCD(702,273) = 39.
Simplifie rapidement les fractions suivantes : J'utilise les résultats de la question précédente:
90 6×15 15
=
=
12 6×2
2
270 18×15 15
=
=
198 18×11 11
702 39×18 18
=
=
273 39×7
7
Exercice 2 : Du balcon de mon appartement situé au
deuxième étage d'un immeuble, j'aperçois dans le chantier
situé en face, une grue. L'immeuble se trouve exactement à
19,8 mètres du pied de la grue. Placé à 8 mètres au-dessus
du sol, j'ai déterminé (à l'aide d'un simple rapporteur) l'angle
sous lequel je voyais la grue. Cet angle est égal à 61°.
1. En appelant H le point de [BA] tel que (OH) et (AB) soient
perpendiculaires, et en constatant que HA = 8 m, calculer

la mesure de l'angle
HOA arrondie au dixième de degré
près.
Dans le triangle AHO rectangle en H (d'après l'énoncé), on a:
HA
8
=
tan 
HOA =
HO 19,8
8
donc 
≈ 22,000698
HOA = tan-1
19,8
La mesure l'angle 
HOA est donc 22° au dixième près.
N.B. : la grue est supposée verticale et
le sol horizontal.
2. En déduire l'angle 
HOB , puis calculer HB au cm près.
On a 
61 ≈
BOA = 
HOA or 
BOA = 61° et 
HOA ≈ 22° donc
BOH + 
61 – 22 ≈
39 ≈

La mesure de l'angle BOH est donc 39° au dixième près.
Dans le triangle BOH rectangle en H, on a :
BH
tan 
donc BH = OH ×tan 
BOH =
BOH ≈ 19,8×tan39
OH
La longueur de [OH] est 16,03 mètres au centimètre près.

BOH + 22

BOH

BOH
≈16,0337
3. En déduire la hauteur de la grue au cm près.
On a BA = BH + HA ≈ 16,03 + 8 ≈ 24,03. La hauteur de la grue est 24,03 m au centimètre près.
CORRECTION DE L'INTERROGATION DE MATHEMATIQUES (PGCD ET TRIGONOMETRIE)
Exercice 1 : Trouve le PGCD des nombres suivants ( précise la méthode utilisée):J'utilise l'algorithme
d'Euclide (méthode des divisions successives) pour trouver les PGCD suivants :
Déterminons le PGCD de 18 et 56:
Étapes a
b
r
a – bq = r
1
56
18
2

56 – 3×18=6
2
18
2
0

18 – 9×2=0
Déterminons le PGCD de 156 et 240 :
Étapes a
b
r
a – bq = r
1
240
156
84

240 – 1×156=84
2
156
84
72

156 – 1×84=72
3
84
72
12

84 – 1×72=12
4
72
12
0

72 – 6×12=0
Déterminons le PGCD de 400 et 165 :
Étapes a
b
r
a – bq = r
1
400
165
70

400 – 2×165=70
2
165
70
25

165 – 2×70=25
3
70
25
20

70 – 2×25=20
4
25
20
5

25– 1×20=5
5
20
5
0

20 – 4×5=0
FINALEMENT, PGCD(18,56) = 2
PGCD(156,240) =12 ET
PGCD(400,165) = 5.
Simplifie rapidement les fractions suivantes : J'utilise les résultats de la question précédente:
18 9×2
9
=
=
56 28×2 28
240 12×20 20
=
=
156 12×13 13
400 5×80 80
=
=
165 5×33 33
Exercice 2 : Du balcon de mon appartement situé au
deuxième étage d'un immeuble, j'aperçois dans le chantier
situé en face, une grue. L'immeuble se trouve exactement à
20,4 mètres du pied de la grue. Placé à 9 mètres au-dessus
du sol, j'ai déterminé (à l'aide d'un simple rapporteur) l'angle
sous lequel je voyais la grue. Cet angle est égal à 61°.
1. En appelant H le point de [BA] tel que (OH) et (AB) soient
perpendiculaires, et en constatant que HA = 9 m, calculer

la mesure de l'angle
HOA arrondie au dixième de degré
près.
Dans le triangle AHO rectangle en H (d'après l'énoncé), on a:
HA
9
=
tan 
HOA =
HO 20,4
9
donc 
≈ 23,8059
HOA = tan-1
20,4
La mesure l'angle 
HOA est donc 23,8° au dixième près.
9
20,4
N.B. : la grue est supposée verticale et
le sol horizontal.
2. En déduire l'angle 
HOB , puis calculer HB au cm près.


On a BOA = BOH + 
61 ≈ 
HOA or 
BOA = 61° et 
HOA ≈ 23,8° donc
BOH + 23,8
61 – 23,8 ≈ 
BOH
37,2 ≈ 
BOH
La mesure de l'angle 
BOH est donc 37,2° au dixième près.
Dans le triangle BOH rectangle en H, on a :
BH
tan 
donc BH = OH ×tan 
BOH ≈ 20,4×tan 37,2
BOH =
OH
La longueur de [OH] est 15,48 mètres au centimètre près.
≈15,4844
3. En déduire la hauteur de la grue au cm près.
On a BA = BH + HA ≈ 15,48 + 8 ≈ 23,48. La hauteur de la grue est 23,48 m au centimètre près.