Corrigé « petit travail n.1»

Corrigé « petit travail n.1»
7. (partiel)
Objet: Soient (X , Y ) ∈ P(E)2, montrer que X ∪ Y = Y ∩ X
Y ⊂X
Résolution:
Pour cela
On suppose X ∪ Y = Y ∩ X et on veut montrer que tout a de Y est dans X
Soit a ∈ Y alors a ∈ X ∪ Y , comme X ∪ Y = Y ∩ X alors a ∈ X ∩ Y , donc a ∈ X, d’où tout a de Y
est dans X; donc Y ⊂ X; cqfd.
Variante (en plus condensé): Y ⊂ X ∪ Y = X ∩ Y (hypothèse) ⊂ X.
8. (partiel)
Objet: Utiliser les fonctions caractéristiques pour montrer que si (A, B, C) ∈ P(E)3, A ∩ (B ∪ C) =
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Résolution:
On utilisera le résultat du a: une partie M de E est caractérisée par sa fonction caractéristique χM .
i) Calculons χA∩(B ∪C): d’après les résultats du b χA∩(B ∪C) = χA.χB ∪C = χA.(χB + χC −
χB .χC )=χA∩(B ∪C) = χA.χB ∪C = χA.χB + χA.χC − χA.χB .χC .
ii) Calculons χ(A∩B)∪(A∩C)=χ(A∩B) + χ(A∩C)-χ(A∩B).χ(A∩C)=χA.χB + χA.χC -χA.χB .χA.χC ; or
la multiplication dans R est commutative donc χA.χB .χA.χC =χA.χA.χB .χC et de plus , comme
χA ne peut prendre que les valeurs 0 ou 1, χA.χA = χA, d’où finalement χ(A∩B)∪(A∩C) = χA.χB +
χA.χC -χA.χB .χC .
Par suite χA∩(B ∪C) = χ(A∩B)∪(A∩C) et donc A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
9. (partiel)
Objet: Montrer que si (A, B, C) ∈ P(E)3, (A ∪ B = A ∪ C et A ∩ B = A ∩ C)
C ⊂ B.
Résolution:
Pour montrer l’implication, nous allons donc supposer que (A ∪ B = A ∪ C et A ∩ B = A ∩ C) et
essayer d’en déduire que C ⊂ B; et pour montrer que C ⊂ B on montrera, comme au 7, que tout
élément de C appartient à B.
Soit x ∈ C, alors x ∈ A ∪ C; d’après l’hypothèse A ∪ B = A ∪ C donc x ∈ A ∪ B.
Maintenant, il y a deux possibilités
i) x ∈ B.
ii) x ∈ A, mais alors, comme x ∈ C, x ∈ A ∩ C, d’où d’après l’hypothèse A ∩ B = A ∩ C, x ∈ A ∩ B,
et donc x ∈ B.
Dans les deux cas, x ∈ B.
Conclusion: tout élément de C appartient à B, d’où C ⊂ B.
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