Modèle mathématique. Ne pas hésiter à consulter le fichier d`aide

2e7
Correction
Mathématiques – DS6
Année 2011 – 2012
Exercice 1 : (5 points)
43
.
100
1150 46
Pour le 2nd fleuriste, la proportion de fleurs jaunes est
.Le deuxième fleuriste semble avoir le

2 500 100
1) Pour le 1er fleuriste, la proportion de fleurs jaunes est
mieux respecté son contrat.
2) On fait l’hypothèse que « la couleur de chaque fleur est choisie au hasard ».
Pour le premier fleuriste, on assimile la situation à un échantillon de taille n = 100, avec une probabilité
d’obtenir une fleur jaune égale à p = 0,5.
On a n  25 et 0,2 p 0,8, d’après le théorème de l’intervalle de fluctuation, dans 95% des cas, la

1

100
proportion de fleurs jaunes est située dans l’intervalle I1 = 0,5 
; 0,5 
1 
 soit I1 =[0,4 ; 0,6].
100 
43
 I1, le premier fleuriste a bien respecté son contrat.
100
Pour le deuxième fleuriste, on assimile la situation à un échantillon de taille n = 2 500, avec une
probabilité d’obtenir une fleur jaune égale à p = 0,5.
On a n  25 et 0,2 p 0,8, d’après le théorème de l’intervalle de fluctuation, dans plus de 95% des cas,

la proportion de fleurs jaunes est située dans l’intervalle I2 = 0,5 

soit I2 =[0,48 ; 0,52].
1
2 500
; 0,5 


2 500 
1
46
 I2 ,on rejette donc l’hypothèse. Cela signifie que le second fleuriste n’ a pas
100
respecté son contrat ( attention, cette décision de rejet comporte un risque d’erreur d’environ 5%).
Exercice 2 : (2 points)
1) On assimile la situation à un échantillon de taille n = 1 000 avec une probabilité p inconnue.
La fréquence observée est f =
565
=0,565. On a n  25 et 0,2 f  0,8 , d’après le théorème de
1 000
l’intervalle de confiance, dans plus de 95% des cas, la probabilité p est située dans l’intervalle

1
1 
; 0,565 
0,565 
 soit [0,533 ; 0,597].
1 000
1 000 

2) Pour être élu, il faut plus de 50% des voix, l’ intervalle de confiance permet d’affirmer que dans plus
de 95% des cas, on devrait avoir p  0,5, ce qui signifie que le candidat serait élu.
Attention, il y a environ 5% d’erreurs.
Exercice 3 : (4 points)
1) f est une fonction affine si et seulement si il existe alors deux réels a et b tels que pour tous réel x,
f (x) = ax + b.
a=
f ( 3 )  f ( 2 )  1  1  2
= -0,4


3  ( 2 )
5
5
f(3) = -1  3a+b =-1  3×(-0,4)+ b = -1  b = 0,2
Pour tous réels x, f(x)= -0,4x + 0,2
2) -0,4<0, la fonction affine f est alors décroissante sur ℝ.
3) f(x)=0  -0,4x + 0,2= 0  -0,4x = -0,2  x =
On a le tableau de signes suivant :
x
-∞
f(x)
+
 0 ,2
= 0,5
 0 ,4
0,5
+∞
-
Exercice 4 : (3 points)
1) Comme a>0, la fonction affine g est croissante sur ℝ.
2) Les fonctions suivantes : x
2x + 10 et x
Exercice 5 : (6 points)
a) (5x – 4)2 – (3x + 7)2 = 0
 [ (5x – 4) + (3x + 7)][ (5x – 4) – (3x + 7)] = 0
 ( 5x – 4 + 3x + 7)(5x – 4 – 3x – 7) = 0
 ( 8x +3)(2x – 11) = 0
 ( 8x +3)= 0 ou (2x – 11) = 0
3
11
ou x =
8
2
 3 11
S={
;
}
8
2
x=
b) 3x(x + 1) = (x + 2)(x + 1)
 3x(x + 1) – (x + 2)(x + 1) = 0
 (x + 1) [3x – (x + 2)] = 0
 (x + 1) (3x – x – 2) = 0
 (x + 1) (2x – 2) = 0
 ( x +1)= 0 ou (2x – 2) = 0
ou x = 1
 x = -1
S = {-1 ; 1}
c)
3x  1
1
x4
La valeur interdite est - 4.
3x  1
1
x4
3x  1
 1  0 et x  -4
x4
3x  1 x  4


 0 et x  -4
x4 x4
3x  1  x  4

 0 et x  -4
x4
2x  5

 0 et x  -4
x4

 x = 2,5 et x  -4
S = {2,5}
2)
2 x
0
3 x
La valeur interdite est - 3.
2–x =0  x=2
x
-∞
-3
Sg de 2-x
+
+
Sg de 3+x
–
+
Sg de
–
+
2x
3 x
S = ]-3 ; 2[
2
+∞
–
+
–
1
5
x  peuvent convenir pour g.
3
3