Langue naturelle, formalisation et vérifonctionnalité Exercices

Langue naturelle, formalisation et vérifonctionnalité
Exercices
23 octobre 2012
Exercice 1. Nature logique des traductions formelles.
But de l’exercice : Traduire des instances de tautologies.
Exercice : Traduire les phrases suivantes dans le langage formel de la logique des propositions, puis montrer que chaque formule ainsi obtenue est
une tautologie, par la méthode des tables de vérité.
(1) Si l’escargot est un mamifère, alors l’escargot est un mamifère ou un
batracien.
(2) S’il neige, alors, s’il ne neige pas, il pleut.
(3) Si la lune est une comète, alors, si elle est un satellite de la terre, elle est
une comète.
(4) Si la vautour est un ruminant, alors l’escargot est un carnivore ; ou l’escargot est un carnivore seulement si la baleine est un herbivore.
(5) Si la chat mange la souris, alors la souris mange le chat ; ou, si la souris
mange le chat, alors le chat mange la souris.
(6) Si l’idée de Dieu est innée, à moins qu’elle ne soit factice ou adventice,
alors l’idée de Dieu est factice, à moins qu’elle ne soit adventice ou innée.
(7) S’il est faux que, si la terre tourne, Galilée avait raison, alors la terre
tourne.
(8) S’il est faux que, si la terre tourne, Galilée avait raison, alors Galilée
avait tort.
(9) S’il n’y a pas d’atmosphère sur Mars et s’il est vrai que, s’il n’y a pas
d’atmosphère sur Mars, il n’y a pas de vie sur Mars, alors il n’y a pas de vie
sur Mars.
(10) Si 2 est un nombre premier, alors, si 2 est un nombre pair, 2 et un
nombre premier et pair.
(11) Si le juge untel est indulgent sans être faible, alors il est indulgent si,
et seulement si, il n’est pas faible. (12) Si le ciel est bleu, l’herbe verte et la
neige blanche, alors, si la neige n’est pas blanche, le ciel est bleu et l’herbe
verte.
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(13) S’il est vrai que, si le monde est éternel, il n’a ni commencement ni fin,
alors, si le monde a un commencement ou une fin, il n’est pas éternel.
Exercice 2. Traductions de phrases typiques du langage naturel dans le
langage formel de la logique des propositions.
But de l’exercice : S’exercer à l’art de traduire, au moyen des connecteurs
¬, ∧ et ∨.
Exercice : Traduire les phrases suivantes dans le langage formel de la logique
des propositions, en désignant par p la proposition (atomique) "Pierre aime
Marie" et par q la proposition "Marie aime Pierre".
N.B. : En traduisant les phrases de cet exercice, on fera ressortir les différences d’usage et de nuance entre les conjonctions de coordination de la
grammaire de notre langue et les connecteurs propositionnels.
(1) Pierre et Marie s’aime l’un l’autre.
(2) Pierre et Marie ne s’aime ni l’un ni l’autre.
(3) Pierre aime Marie, mais Marie ne le lui rend pas.
(4) Il est faux que Marie aime Pierre et n’en soit pas aimée.
(5) Pierre est aimé de Marie, mais il est faux que Pierre et Marie s’aiment
mutuellement.
(6) Marie n’est pas aimée de Pierre ou elle ne l’aime pas.
(7) Il est faux que Pierre soit aimé de Marie et Marie de Pierre.
(8) Il est faux que Marie aime Pierre ou qu’elle en soit aimée.
III. Traductions de phrases typiques du langage naturel dans le langage
formel de la logique des propositions.
But de l’exercice : S’exercer à l’art de traduire toutes sortes de phrases logiquement équivalentes à des phrases en "si alors".
Exercice : Traduire les phrases suivantes dans le langage formel de la logique des propositions, en indiquant soigneusement à quelles propositions
atomiques correspondent les lettres de proposition utilisées.
(1) Si la loi est juste, alors elle est respectée.
(2) La loi n’est respectée que si elle est juste.
(3) Si la loi est rigoureuse, mais sans être injuste, les citoyens ont tort de
s’en prendre à elle.
(4) Si 18 est divisible par 10, alors 18 est divisible par 2 et par 5.
(5) Si 21 est divisible par 3, mais n’est pas divisible par 7, alors 21 n’est pas
divisible par lui-même.
(6) Si les mathématiques sont une science, elles ne sont ni un art ni un jeu.
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(7) La soirée aura lieu seulement si le conférencier arrive.
(8) Pour que 21 soit divisible par 3, il suffit qu’il soit divisible par 9.
(9) Pour que 9 soit un nombre premier, il ne suffit pas qu’il soit un nombre
impair.
(10) Pour que le suspect soit innocent, il n’est pas nécessaire qu’il ait un
alibi.
(11) Pour que ce quadrilatère soit un carré, il est nécessaire, mais non suffisant, que ses diagonales soient perpendiculaires.
(12) Pour que 18 soit divisible par 4, il est suffisant, mais non nécessaire,
qu’il soit divisible par 8.
(13) La pile Wonder ne s’use que si l’on s’en sert.
(14) Ne tirer la poignée qu’en cas de danger.
Exercice 3. Traductions de phrases typiques du langage naturel dans le
langage formel de la logique des propositions.
But de l’exercice : S’exercer à l’art de traduire au moyen de divers connecteurs propositionnels.
Exercice : Traduire les phrases suivantes dans le langage formel de la logique des propositions, en indiquant soigneusement à quelles propositions
atomiques correspondent les lettres de proposition utilisées.
(1) Le monde n’a ni commencement, ni fin, ni cause.
(2) Bien que 2 soit un nombre premier, c’est un nombre pair.
(3) Les vrais croyants ne servent pas à la fois Dieu et l’argent.
(4) Selon que le mal peut ou non être évité, il faut le combattre ou s’y résigner.
(5) Selon que vous serez puissants ou misérables, les juegements de cour vous
feront blanc ou noir.
(6) Le suspect sera condamné, sauf si l’on arrête le vrai coupable.
(7) Je viendrai demain vous apporter des bonbons, à moins qu’il ne pleuve.
(8) A moins que le monde n’ait eu un commencement, il n’aura pas de fin.
(9) Pour que M. Dupont risque de perdre son procès contre M. Durant, il
est nécessaire et suffisant qu’ils aient conclu un contrat, que celui-ci ait été
légal et que M. Dupont ne l’ait pas exécuté.
(10) Si tu m’aimes, alors moi aussi ; mais si tu ne m’aimes pas, alors moi
non plus.
(11) Rodrigue et Chimène éprouvent l’un envers l’autre les mêmes sentiments.
(12) La condition nécessaire et suffisante pour que le nombre p soit premier
est qu’il ne soit divisible que par lui-même et par 1.
Exercice 4. Formalisation d’arguments.
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But de l’exercice : Traduire des arguments formulés dans le langage courant
dans le langage symbolique de la logique des propositions, afin de faire ressortir la structure desdits arguments et, par la suite, de déterminer s’ils sont
valides ou non.
Exercice : Traduire les arguments suivants dans le langage formel de la logique des propositions.
(1) Si les transports publics fonctionnent normalement aujourd’hui, alors les
étudiants viendront au cours. Or les transports publics ne fonctionent pas
normalement aujourd’hui. Par conséquent, les étudiants ne viendront pas au
cours aujourd’hui.
(2) Pierre sortira s’il ne pleut pas. Or il pleut. Par conséquent Pierre ne
sortira pas.
(3) Je vous payerai pour votre installation de T.V. seulement si elle marche.
Or votre installation ne marche pas. C’est pourquoi je ne vous payerai pas.
(4) S’il ne lui a pas dit, elle ne trouvera jamais. Si elle ne lui a pas posé la
question, il ne le lui dira pas. Or elle a trouvé. Donc . . . [compléter, de façon
à obtenir un argument valide]
(5) Le ministre ne conservera l’appui des travailleurs que s’il signe le décret.
Il n’aura la voix des agriculteurs que s’il y oppose son veto. Or il doit fatalement ou bien ne pas signer le décret ou bien ne pas y opposer son veto. Le
ministre perdra donc soit la voix des travailleurs, soit celle des agriculteurs.
(6) A moins que les impôts ne soient augmentés, le budget de l’Etat sera
en déficit. Si le budget de l’Etat est en déficit, les prix des services publics
seront relevés. Par conséquent, si les impôts sont augmentés, les prix des
services publics ne seront pas relevés.
(6) Si nous ne soutenons pas les prix agricoles, les paysans ne voteront pas
pour nous. Si nous soutenons les prix agricoles, alors, à moins que nous
n’instituions un contrôle sévère de la production, la surproduction agricole
continuera. Sans la voix des paysans, nous ne serons pas réélus. Par conséquent, si nous sommes réélus sans avoir institué un contrôle sévère de la
production, la surproduction agricole continuera.
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