Thème 12: Généralités sur les fonctions

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
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Thème 12: Généralités sur les fonctions
12.1 Introduction
Qu’est-ce qu’une Une fonction est une sorte de "machine". On choisit dans un ensemble de
fonction ? départ A un objet qu'on introduit dans la machine, qui le transforme. À la
sortie, elle en a fait un nouvel objet appelé image de l'objet de départ. La
machine établit ainsi un lien entre un ensemble de départ A et un ensemble
d'arrivée B contenant les images.
Chaque objet de A a une image et une seule dans B. Les objets qui entrent
dans la machine et en ressortent sont le plus souvent des nombres.
Un exemple de la vie Vous achetez des timbres à 90 centimes. Le prix que vous
courante: paierez à la caisse dépendra du nombre de timbres que vous
achetez. On dira alors que le prix est fonction du nombre de
timbres.
12.2 Les 4 représentations d’une fonction :
Expressions de la fonction
Tableau de valeurs
f: A→ B
x 0,9x
ou f (x) = 0,9x
Diagramme sagittal
Le graphique
y
f
1
3
0,90
2
1,80
3
2,70
x
1,50
A
2
1
y
B
1
2
3
x
Définition: Lorsqu’on associe au nombre x le nombre y, on dit que y est
l’image de x, et que x est une préimage de y.
Une fonction est une règle de correspondance pour laquelle
chaque valeur de la variable x (choisie dans un certain domaine)
a une et une seule image bien déterminée y.
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THÈME 12
Modèle 1 : On a relevé, un certain jour en un endroit donné, la température
toutes les deux heures.
Si T désigne la température et h l’heure, on peut dire que T est
La température comme
fonction de h.
fonction du temps:
La relation qui lie h et T est donnée par le tableau :
h (en heures)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
T (en degrés)
–2
–1,6
–1
0,2
1,6
4,3
5,9
6
5
4,3
2,2
1,1
0,2
a) Quelle est l’image de 2 ?
b) 14 est-elle l’image de 6 ?
c) Déterminer les préimages de 4,3 ?
d) Lequel de ces 2 graphiques correspond à la situation
représentée ?
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Exercice 12.1:
m (en kg)
a (en cm)
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L’allongement a d’un ressort est donné en fonction de la masse
m suspendue à ce ressort par le tableau :
0
0
1
7
2
14
3
21
4
28
5
35
6
50
7
65
8
73
9
73
10
73
a) Donner l’image de 2 puis la préimage de 7.
b) Faire une représentation graphique, puis interpréter ces
données.
Exercice 12.2:
Soit f la fonction donnée par f (x) = 3x 2 + x − 5 .
a) Calculer les images de 0 et de -3.
b) Calculer les préimages de 5 et de -6.
Exercice 12.3:
Soit h la fonction donnée par h(x) =
x+3
.
x −2
Compléter le diagramme :
1
-5
……
……
Exercice 12.4:
……
……
2
-3
Représenter graphiquement l’évolution de la moyenne d’un
élève qui obtient successivement les notes :
4 ; 4.5 ; 4 ; 2 ; 3.5 ; 6 ; 5.5 ; 5 ; 6.
Exercice 12.5:
Représenter graphiquement le prix à payer en fonction du temps
de stationnement dans un parking qui pratique les tarifs
suivants :
• de 0 à 60 minutes : 2.• de 1 h à 2 h : 5.• ensuite le prix augmente de 2.- par tranche de 30 minutes.
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THÈME 12
12.2 Modèle mathématique, fonction donnée par une formule:
Une des branches importantes des mathématiques est la
modélisation. Dans le cadre de l’exercice 1, on pourrait chercher
une formule permettant de calculer l’allongement a en fonction
de la masse m.
On obtiendrait un modèle mathématique de cette situation
concrète. Dans ce cours, nous allons voir comment on trouve des
formules (fonctions mathématiques) pour décrire des situations
concrètes. Nous allons voir aussi comment résoudre des
questions relatives à une fonction dont on connaît la description
par une formule mathématique.
Exemple d’une fct donnée
par une formule : y = 7x est une formule qui définit une fonction. Appelons g
cette fonction. On utilise de façon équivalente l’une ou l’autre
des formulations suivantes:
• g est la fonction qui à toute valeur de x fait correspondre la
valeur y = 7x .
• g est la fonction donnée par g(x) = 7x .
• g est la fonction donnée par g : x 7x .
g(x) se lit « g de x ». Il ne s’agit pas d’une multiplication !
Concrètement, g(x) = 7x représentait, dans l’exercice 1, l’allongement du ressort lorsqu’on lui accroche une masse m
supposée pas trop grande.
Le nombre noté g(1,5) correspondra donc à l’allongement du
ressort à l’aide d’une masse de 1,5 kg et se calculera en
remplaçant x par 1,5 dans la formule : g(1,5) = 7 ⋅1,5 = 10,5 (cm).
On doit, dans cette situation concrète, préciser une condition
d’utilisation de la formule qui est: x est un nombre supérieur ou
égal à zéro et inférieur ou égal à 5.
On écrira simplement ED = [0 ; 5].
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Modèle 2 : Vous organisez un voyage d’autobus pour assister à un événement
culturel. Le coût du billet est de 40 francs par personne.
Cependant, si le groupe comprend plus de 24 personnes, la
Modéliser une situation: compagnie d’autobus accorde une réduction pour chacun des
passagers. Cette réduction est calculée en prenant le nombre de
personnes qui s’ajoute au groupe minimum de 24 multiplié par 75
centimes. Sachant que l’autobus ne peut contenir plus de 48
personnes:
a) Esquisser graphiquement le coût C du billet par personne en
fonction du nombre x de personnes.
b) Exprimer algébriquement la relation entre les variables C et x.
c) Calculer le prix total P pour un groupe de 10, 20, 30, puis 40
personnes.
d) Esquisser graphiquement le prix total P pour un groupe, en
fonction du nombre x de personnes du groupe.
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THÈME 12
Exercice 12.6:
Trois compagnies de taxis pratiquent les tarifs suivants :
Compagnie
A
B
C
Prise en charge
0.–
5.–
3.–
Prix par km
3.–
–.80
1.50
a) Exprimer pour chaque compagnie le prix à payer P en fonction
de la distance x parcourue.
b) Sur un même dessin, représenter le prix demandé par chaque
compagnie en fonction du parcours. Les 3 prix se représentent
à l’aide de droites.
c) Pour quels parcours la compagnie C est-elle la plus
avantageuse ?
Exercice 12.7:
Un musée offre des prix spéciaux pour les groupes d’étudiants,
ces prix sont fonction du nombre d’étudiants dans le groupe.
Nbre de personnes dans le groupe Prix en Frs
0 à 20
4.–
plus de 20
2.50
a) Trouver un modèle mathématique décrivant le coût individuel
en fonction du nombre d’étudiants dans le groupe.
b) Donner le graphique de cette fonction.
c) Quel sera le coût individuel pour un groupe de 18 étudiants ?
de 27 étudiants ?
d) Trouver un modèle mathématique décrivant le coût total pour
un groupe en fonction du nombre d’étudiants dans le groupe.
e) Donner le graphique de cette fonction.
f) Quel sera le coût total pour un groupe de 18 étudiants ? de 27
étudiants ?
Exercice 12.8:
Un thermomètre est gradué à la fois en degrés Celsius et en
degrés Fahrenheit. Notons C la température en degrés Celsius et
F celle en Fahrenheit.
a) Trouver une formule de la forme F = a ⋅ C + b permettant de
calculer F lorsqu’on connaît C.
b) Représenter graphiquement F en fonction de C.
c) Trouver une formule permettant de calculer C lorsqu’on
connaît F.
d) Exprimer en Celsius les températures de 25°F et 100°F.
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Exercice 12.9:
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On veut fabriquer une boîte ouverte à partir d’un morceau de
carton de 30 sur 50 cm en coupant à chaque coin un carré de
côté x puis en repliant les bords (voir figure).
a) Calculer le volume V de la boîte, lorsque x = 5 .
b) Exprimer le volume V de la boîte en fonction de x. On notera
V (x) la fonction ainsi définie.
c) Préciser quelles sont les valeurs de x possibles.
d) Représenter graphiquement la fonction V (x) , en choisissant
de faire le calcul pour les valeurs x = 0, 3, 6, 9, 12 et 15.
e) Comment faire d’après le graphique ci-dessus pour
construire une boîte dont le volume soit le plus grand
possible ?
Modèle 3 : On désire construire une aire de repos de forme rectangulaire le
long de l’autoroute. Notons x la longueur du côté du rectangle
perpendiculaire à la route, et y le côté parallèle à la route. On
place
une barrière autour de l’aire de repos sur trois côtés
Modéliser une situation:
seulement, la route faisant la délimitation du 4ème côté. On veut de
plus que la surface du rectangle soit de 4'800 m2. On notera L la
longueur totale des trois barrières.
a)
b)
c)
d)
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Faire une figure d’étude et placer les variables x et y.
Exprimer y en fonction de x.
Exprimer L en fonction de x.
Préciser quelles sont les valeurs de x possibles.
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THÈME 12
Exercice 12.10:
Suite du modèle précédent :
e) Représenter graphiquement L en fonction de x, x ∈ ] 0 ; 150 ]
f) Chercher à l’aide du graphique précédent les dimensions du
rectangle de telle sorte que L soit la plus petite possible.
Exercice 12.11:
On dispose de 250 m de clôture grillagée pour construire 6 cages
pour un zoo, assemblées selon le schéma ci-dessous :
a) Exprimer y en fonction de x.
b) Exprimer l’aire totale des 6 cages en fonction de x.
c) Préciser quelles sont les valeurs de x possibles.
Exercice 12.12:
On veut construire la structure d’une caisse à base carrée avec
12 m de lambourdes. Posons x les côtés de la base carrée et y
comme indiqué sur la figure.
a)
b)
c)
d)
e)
Exercice 12.13:
y
Exprimer y en fonction de x.
Exprimer le volume V(x) de la caisse.
Préciser quelles sont les valeurs de x possibles.
Représenter le graphique de V(x) pour x > 0.
Pour quelle valeur approximative de x la caisse aura-t-elle un
volume maximum ?
Une cabine de douche de forme parallélépipédique à base carrée
est fabriquée à partir de deux matériaux différents : le sol (carré)
revient à Fr 400.- par m2 ; les cinq autres parois coûtent Fr 100.par m2.
On sait encore que le coût total des matériaux sera de Fr 1500.a) Exprimer le coût de chaque type de parois.
x
x
b) Grâce au coût total, exprimer y en fonction de x.
c) Exprimer le volume V(x) de cette cabine de douche en
fonction de x.
d) Préciser quelles sont les valeurs de x possibles.
e) À l’aide du graphique ci-contre, déterminer approximativement les dimensions de cette cabine de douche
admettant un volume maximal.
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Exercice 12.14:
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On veut annexer un abri rectangulaire formé de deux parois
verticales de 4 m de large et d’un toit plat à une construction
existante, comme le montre la figure. Le toit plat est fait en tôle
et coûte 15 frs le mètre carré, les côtés sont faits de contreplaqué qui coûte 10 frs le mètre carré.
a) Si l’on a 800 frs à disposition pour la construction, exprimer
la longueur y en fonction de la hauteur x.
b) Exprimer le volume intérieur V(x) de l’abri en fonction de x.
c) Préciser quelles sont les valeurs de x possibles.
Exercice 12.15:
Une entreprise projette de fabriquer un réservoir en forme de
cylindre circulaire droit, ouvert au sommet et d’une capacité de
24π cm3. Le prix des matériaux pour le fond est de 1,20 frs/cm2
et pour la paroi de 0,50 frs/cm2.
a) Exprimer la hauteur du réservoir en fonction du rayon x.
b) Exprimer le prix des matériaux du réservoir en fonction du
rayon x.
Exercice 12.16:
Un rectangle ABCD a un périmètre de 40 cm. Il tourne dans
l’espace autour de AD et engendre ainsi un cylindre.
Déterminer le volume V(x) de ce cylindre en fonction du rayon
CD = x.
12.3 Notion d’ensemble de définition
Définition: Considérons une fonction donnée par la formule y = f (x) .
L’ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles on peut
utiliser cette formule s’appelle l’ensemble de définition de la
fonction. On le note ED.
Méthode: Pour trouver l’ensemble de définition d’une fonction, on cherche
s’il y a des conditions concrètes d’utilisation de la formule, et/ou
des valeurs interdites pour lesquelles on ne peut pas faire le
calcul.
On se souviendra en particulier qu’il est interdit de diviser par
zéro.
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THÈME 12
Modèle 4: Déterminer les ensembles de définition de
a) la fonction rencontrée au modèle 2 (voyage en autobus)
Déterminer ED :
b) f (x) =
Exercice 12.17:
1
x−3
(sans condition concrète d’utilisation)
Donner l’ensemble de définition de la fonction f si :
x(x + 4)
3 − 2x
x−3
c) f (x) = 2
x +x
3
e) f (x) = 2
x − 9x + 14
−5(4 − x) 2
g) f (x) =
(1− x 2 )(2 − x)
2x
16 − x 2
1
d) f (x) = x −
x
2
x + x +1
f) f (x) =
−2x 2 − 3
a) f (x) =
b) f (x) =
12.3 Un peu de vocabulaire au sujet des graphiques
Définition: Le graphe d'une fonction f est l'ensemble de tous les couples de
la forme (x ; f (x)) où x est un élément de l'ensemble de départ
(ou ensemble de définition).
On représente en général le graphe d'une fonction dans le
système d'axes Oxy, en traçant l'ensemble des points du plan
dont les coordonnées sont de la forme (x ; f (x)).
On dit alors que le graphe de f est la courbe d'équation y = f (x).
axe des ordonnées
P(x ; f (x))
f (x)
x
axe des abscisses
graphe de f
Soit un point Q(4 ; 2). Les nombres 4 et 2 sont appelés les
coordonnées de Q. La première coordonnée s’appelle l’abscisse
et la deuxième coordonnée s’appelle l’ordonnée.
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Modèle 5: On considère la fonction f (x) = x2 + 1.
a) Le point P(3 ; 11) est-il sur le graphe de f (x) ?
Coordonnées de points
sur un graphe :
b) Quel devrait être alors l’abscisse de ce point pour que son
ordonnée puisse valoir 11 ?
Exercice 12.18:
Résoudre les questions suivantes sans dessin.
a) Le point P(1 ; 6) est-il sur le graphe de f (x) = 2x + 4 ?
b) Le point P(2 ; 7) est-il sur le graphe de f (x) = x 2 + 8x − 11?
c) Le point P d’abscisse x = 3 est sur le graphe de
f (x) = x 2 − 7x + 3 . Déterminer son ordonnée.
d) Le point P d’ordonnée y = -2 est sur le graphe de
f (x) = 2x + 4 . Déterminer son abscisse
Exercice 12.19:
Calculer k sachant que le point P(k ; 4) est sur le graphe de la
fonction f donnée par f (x) = x 2 − 5x + 10 .
12.4 Points d’intersection entre le graphe et les axes de coordonnées.
Intersection sur Ox : La première coordonnée des points d’intersection du graphe de f
et l’axe Ox s’obtient en calculant les zéros de la fonction f.
C’est-à-dire en résolvant l’équation f (x) = 0 .
Intersection sur Oy : La deuxième coordonnée du point d’intersection du graphe de f
et l’axe Oy s’obtient en calculant l’ordonnée à l’origine de la
fonction f. C’est-à-dire en calculant f (0) .
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THÈME 12
Modèle 6: Pour la fonction f (x) = 3x + 18 , on demande l’ED, et les
9 − x2
coordonnées des points d’intersection avec les axes.
Intersection avec
les axes :
Exercice 12.20:
On donne f (x) = 2x 2 − x − 6 .
a) Déterminer le(s) point(s) d’intersection du graphe de f et de
l’axe Ox.
b) Déterminer le(s) point(s) d’intersection du graphe de f et de
l’axe Oy.
Exercice 12.21:
Pour chacune des fonctions suivantes, donner les zéros de la
fonction, ainsi que l’ordonnée à l’origine.
x(x + 4)
3 − 2x
x−3
c) f (x) = 2
x +x
2x
16 − x 2
x2 + x +1
d) f (x) =
−2x 2 − 3
a) f (x) =
Exercice 12.22:
b) f (x) =
Déterminer les coordonnées des points d’intersection du graphe
de f et des axes.
−5(4 − x) 2
(1− x 2 )(2 − x)
3
c) f (x) = 2
x − 9x + 14
a) f (x) =
Exercice 12.23:
b) f (x) = x −
1
x
Pour les 3 fonctions :
a) f (x) = 5x − 2
b) f (x) = x 2 − x + 3
calculer les 5 expressions suivantes :
f (− a) ; − f (a) ; f (a + h) ; f (a) + f (h) et
c) f (x) =
1
x
f (a + h) − f (a)
.
h
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