Thème 17: Optimisation

OPTIMISATION
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Thème 17: Optimisation
Introduction :
Dans la plupart des applications, les grandeurs physiques ou géométriques
sont exprimées à l’aide d’une formule contenant une fonction. Il peut s’agir de
la température d’un corps au moment t, du volume d’un gaz dans un ballon
sphérique de rayon x, de la vitesse d’un corps au temps t …
Disposant de cette fonction, sa dérivée pourra nous être utile pour déterminer
ses valeurs extrêmes. Celles-ci sont parfois appelées valeurs optimales parce
que, vu leur signification, elles constituent les valeurs les plus favorables.
Déterminer ces valeurs constitue ce que l’on appelle un problème
d’optimisation.
17.1 L’optimisation lors de la construction de boîtes
Modèle 1 : On souhaite construire une boîte en découpant quatre carrés aux
coins d’une feuille cartonnée, et en rabattant les bords restants.
La feuille mesure 22 cm de long et 18 cm de large. De la taille
des carrés découpés dépendra le volume de la boîte.
Calculer la dimension des carrés de sorte que la boîte ait le plus
grand volume possible.
Optimisation
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THÈME 17
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Exercice 17.1:
On désire construire une boîte en carton à partir d’une feuille
rectangulaire en coupant 6 carrés à chaque coin et au milieu des
côtés et en pliant les côtés.
Si la feuille de carton admet comme dimensions: 45 x 30 cm, le
but de cet exercice sera de déterminer les dimensions de la boîte
fermée admettant un volume maximum.
p
x
l
a) Quelle est la fonction à optimiser, quelle en est la formule de
base ?
b) Justifier les relations suivantes :
p = 30 – 2x
l=
45 − 3x
2
c) Déterminer ED, l’ensemble des valeurs admissibles pour x.
d) Montrer que le volume exprimé en fonction de x est :
V (x) = 3x 3 − 90x 2 + 675x
e) Déterminer la valeur de x pour laquelle le volume est
maximum.
f) Que vaut alors ce volume optimisé ?
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Les boîtes d’allumettes sont généralement formées de 2 parties
distinctes ; la boîte elle-même ainsi qu’un couvercle coulissant.
Ses dimensions doivent assurer un volume de 28,875 cm3 pour une
longueur de 5,5 cm. La figure ci-dessous montre le patron des 2
parties où l’on constate que le couvercle doit être légèrement plus
large pour assurer le coulissement. Déterminer la hauteur h et la
largeur x permettant de construire la boîte admettant un volume
(extérieur) de 28,875 cm3 en minimisant l’aire de la surface en
carton utilisé.
5,5 cm
5,5 cm
h h/2
Exercice 17.2:
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x + 0,05
h
x + 0,05
h
x
h/2
h
h + 0,05
h + 0,05
a) Quelle est la fonction à optimiser, quelle en est la formule en
fonction de x et h ?
b) À l’aide de l’information concernant le volume, montrer que h
peut s’exprimer en fonction de x par la relation :
h=
5, 25
x
c) Montrer que la surface totale en carton en fonction de x est :
S(x) =
16, 5x 3 + 16, 85x 2 + 144, 375x + 110, 25
x2
d) Montrer que x ≅ 3, 54 cm est un zéro de S ′(x) .
e) À l’aide du graphe ci-contre, en déduire le tableau de
croissance de S(x) pour x ≥ 0.
f) Quelles sont alors les dimensions optimales de cette boîte
d’allumettes.
g) Les dimensions des boîtes vendues par Feudor (Coop, Migros)
sont de 1,5 × 3,5 × 5,5 cm.
Ces dimensions sont-elles optimales ?
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THÈME 17
Une méthode générale ?
La variété des problèmes d’optimisation est telle qu’il est bien
difficile de donner une méthode générale de résolution.
Nous allons néanmoins donner sous forme d’une marche à
suivre, une stratégie d’approche de ces problèmes. Cependant, ce
n’est qu’au prix de quelques efforts et d’entraînements que vous
arriverez à une certaine aisance dans la résolution de ces
problèmes.
Essayez donc avec … persévérance !
17.2 Marche à suivre pour la résolution des problèmes d’optimisation
Lisez le problème attentivement (plusieurs fois) en réalisant parallèlement une
figure d’étude pour y indiquer toutes les informations.
Exprimez la quantité Q à optimiser (une aire, un volume, des coûts, …) comme
fonction d’une ou de plusieurs variables.
Si Q dépend de plus d’une variable, disons n variables, trouvez au moins (n – 1)
équations liant ces variables.
Utilisez ces équations pour exprimer Q comme fonction d’une seule variable (par
substitutions).
Déterminer l’ensemble de définition ED des valeurs admissibles de cette variable.
À l’aide d’un tableau de signes de la dérivée de Q, étudiez la croissance de cette
fonction.
Calculez les extremums de Q sans oublier de contrôler ce qui se passe au bord
de ED.
Répondez finalement à la question posée à l’aide d’une phrase.
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17.3 L’optimisation d’une aire dans une figure géométrique
Modèle 2 : ABCD est un carré de côté 6. Le point I est le milieu de [CD].
M est un point quelconque de [AB], N est le point de [CB] tel
que CN = BM.
Optimisation
Quelle doit être la position de M sur [AB] pour que l’aire du Δ
MNI soit minimale ?
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Solution: Relire l’énoncé du problème et profiter de faire une figure
d’étude "intelligente" :
B
M
A
La quantité à optimiser est l’aire du triangle MNI et se
calcule grâce à :
N
C
I
D
Les (n – 1) équations liant ces variables :
Exprimons l’aire du triangle en fonction d’une variable :
L’ensemble des valeurs possibles ED :
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Solution (fin): Calcul de la dérivée de A(x) puis étudier sa croissance :
Recherche des min (avec le bord du domaine) :
La réponse est donc :
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Exercice 17.3:
ABCD est un carré de 8 cm de côté.
AB′C ′D′ est un carré de x cm de côté.
A
D'
D
x
C'
B'
Pour quelle valeur de x, la partie ombrée
a-t-elle la plus grande aire ?
Que vaut alors cette aire optimale ?
Exercice 17.4:
On considère le rectangle ABCD de 12
cm de long et 8 cm de large. Soit M le
point milieu de CD . On inscrit dans ce
rectangle un parallélogramme admettant
deux de ses côtés parallèles à AM .
Déterminer la position du point P sur AB
tel que ce parallélogramme soit d’aire
maximum. Que vaut alors cette aire ?
B
C
D
A
C
M
P
B
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17.4 L’optimisation d’un coût de construction
Modèle 3 : On désire construire une caisse en bois (sans couvercle) de
volume 0,64 m3 et dont la hauteur est égale à la profondeur. Le
bois prévu pour le fond coûte Fr. 20.- par m2, celui pour les faces
Fr. 10.- par m2.
hauteur
Quels sont les dimensions et le prix de la caisse la moins chère
(on admet que l’épaisseur du bois est négligeable) ?
profondeur
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Exercice 17.5:
Une cabine de douche de forme parallélépipédique à base
carrée est fabriquée à partir de 2 matériaux différents : le sol
(carré) revient à Fr. 400.- par m2 ; les cinq autres parois coûtent
Fr. 100.- par m2. Sachant que le coût total des matériaux est de
Fr. 1500.- , quelles sont les dimensions de la cabine si l’on veut
que son volume soit le plus grand possible ?
a) Quelle est la fonction à optimiser, quelle en est la formule
en fonction de x (côté du carré) et h (la hauteur de la
douche) ?
b) À l’aide de l’information concernant le prix des différentes
parois, montrer que h peut s’exprimer en fonction de x par
la relation :
h=
15 − 5x 2
4x
c) Montrer que le volume de la cabine en fonction de x est :
V (x) = −
5 3 15
x + x
4
4
d) Déterminer la valeur de x pour laquelle ce volume est
maximum.
e) Quelles sont alors les dimensions optimales de cette cabine
de douche ?
Exercice 17.6:
L’entreprise de portes et fenêtres qui vous emploie projette la
construction d’un entrepôt de 450 m2 de surface au sol. Les
exigences municipales de la commune de Morges sur
l’esthétisme des rues commerciales obligent les commerçants à
recouvrir la façade de leurs édifices avec des matériaux de
première qualité alors que les côtés et l’arrière peuvent être
recouverts avec des matériaux de moindre qualité. Les coûts ont
été estimés à Fr. 800.- le mètre carré pour la façade et de Fr.
100.- le mètre carré pour les côtés et l’arrière.
Sachant que la hauteur de l’édifice sera de 3 mètres, déterminer
le coût minimum possible de recouvrement des 4 parois de
l’entrepôt.
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17.5 L’optimisation de la surface
Modèle 4 : Parmi tous les rectangles admettant un périmètre de 1 m, quel
est celui dont l’aire est maximale ? Que vaut alors cette aire ?
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THÈME 17
Exercice 17.7:
x
y
Exercice 17.8:
On dispose de 250 m de clôture grillagée pour construire 6 cages
mitoyennes et identiques pour un zoo (cf. schéma ci-contre)
a) Exprimer y en fonction de x.
b) Montrer que la surface au sol d’une cage est donnée par :
1
S(x) =
(−3x 2 + 250x)
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c) Quelles dimensions doit-on donner à une de ces cages de
manière à maximaliser sa surface au sol ?
Un éleveur de bovins désire enclore un terrain rectangulaire
bordant une rivière rectiligne. Il dispose de 1000 m de fil et ne
veut pas enclore le côté longeant la rivière, car ses bovins ne
savent pas nager. Calculer la surface maximale qu’il peut créer.
17.6 L’optimisation d’un cylindre
Modèle 5 : On fait tourner un rectangle de périmètre 40 cm autour de l’un de
ses axes de symétrie. Déterminer les dimensions du rectangle
pour que le cylindre ainsi obtenu ait le plus grand volume.
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Exercice 17.9:
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On fait tourner un rectangle de périmètre 40 cm autour de l’un
de ses axes de symétrie. Déterminer les dimensions du rectangle pour que le cylindre ainsi obtenu ait :
a) la plus grande aire latérale ;
b) la plus grande aire totale.
17.7 Un petit mélange de tout !!
Exercice 17.10:
Un aquarium (ouvert au-dessus) de 15 cm de haut doit avoir
une contenance de 600 cm3. Désignons par x la longueur et par
y la largeur de la base (voir figure).
Déterminer les dimensions de cet aquarium permettant de
minimiser la surface S de verre.
Exercice 17.11:
On désire accoler à une construction existante un abri
rectangulaire ouvert composé de deux parois verticales de 1 m
de profondeur et d’un toit plat (voir figure). Le toit est exécuté
en zinc qui coûte 40 fr. le m2 et les deux autres côtés en contreplaqué qui coûte 15 fr. le m2.
Si on dispose de 300 fr, déterminer les dimensions de cet abri
admettant un volume maximum. Que vaut alors ce volume ?
x
y
1m
Exercice 17.12:
Exercice 17.13:
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On se propose d’envoyer un colis de
volume égal à 12 dm3 dont la forme est
celle d’un parallélépipède rectangle de
base carrée (AB = BC). Son emballage
est maintenu à l’aide d’une ficelle
comme le montre la figure. Trouver les
dimensions du colis permettant
d’utiliser le moins de ficelle possible.
Une feuille de papier doit contenir 600 cm2 de texte imprimé.
Les marges supérieures et inférieures doivent avoir 5 cm
chacune, et celles de côté 3 cm chacune. Déterminer les
dimensions de la feuille pour lesquelles il faudra un minimum
de papier.
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