BAC BLANC Terminales ES 123 CORRIGÉ ∫

Mars 2014
BAC BLANC Terminales ES 123
Epreuve de mathématiques
CORRIGÉ
Exercice 1 VRAI – FAUX
la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[ par ( )
→Soit

(
1ère affirmation : (
)
)
(
D’où (

4 points
)
(
(
( )
)
)
(
(
)
(
))
)
( ( )
(
L’affirmation est VRAIE
2ème affirmation : L'ensemble des solutions de l'équation ( )
( )
( ) équivaut à
( )))
est
( )
(
( ))
(factorisation)
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Ainsi ( )
( ) équivaut à
( )
ou
Soit
( )
c’est-à-dire
L’affirmation est donc FAUSSE
→ On considère la fonction définie sur l'intervalle [1 ; 4].
Affirmation 3
4
La fonction f est une fonction de densité de probabilité sur [1 ; 4] si
 f t dt  1
1
1
Graphiquement, on lit f t   . Ainsi
3
4
1
1
1
1 
1 3 dt   3 t 1  3  4  3  1  1
4
L’affirmation est donc VRAIE.
→ Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l'intervalle [0 ; 5]
Affirmation 4
P(X > )
5
Pour toute loi uniforme sur a; b , pc  X  d  
Ici, p X  3  p3  X  5 
d c
.
ba
53 2

50 5
L’affirmation est donc FAUSSE
Exercice 2
5 points
Tous les résultats numériques devront être donnés sous forme décimale et arrondis au dix-millième.
Une usine fabrique des billes sphériques dont le diamètre est exprimé en millimètres. Une bille est dite hors norme
lorsque son diamètre est inférieur à 9 mm ou supérieur à 11 mm.
Partie A
On appelle
en mm.
la variable aléatoire qui à chaque bille choisie au hasard dans la production associe son diamètre exprimé
On admet que la variable aléatoire
suit la loi normale d'espérance 10 et d'écart-type 0,4.
1) Montrer qu'une valeur approchée à 0,0001 près de la probabilité qu'une bille soit hors norme
est 0,0124.
Calculons la probabilité que la bille soit dans les normes, c'est-à-dire P9  X  11 .
A l’aide de la calculatrice, on trouve P9  X  11  0,9876 à 0,0001 près.
Donc la probabilité que la bille soit hors norme est de 1  P9  X  11  0,0124 à 0,0001
près
2) On met en place un contrôle de production tel que 98% des billes hors norme sont écartés et 99% des billes
correctes sont conservées.
On choisit une bille au hasard dans la production. On note
N l’évènement : « la bille choisie est aux normes »,
A l’évènement : « la bille choisie est acceptée à l’issue du contrôle ».
a) Construire un arbre pondéré qui réunit les données de l’énoncé.
0,99
A
0,9876
0,01
A
0,0124
0,02
A
0,98
A
N
N
b) Calculer la probabilité de l’évènement A.
A l’aide de la formule des probabilités totales, p A  pN   pN  A  pN  pN  A
p A  pN   pN  A  pN  pN  A = 0,9876  0,99  0,0124  0,02  0,9880 à 0,0001 près
c) Quelle est la probabilité pour qu’une bille acceptée soit hors norme ?
La probabilité pour qu’une bille acceptée soit hors norme est définie par p A N 
pA  N  0,0124  0,02

 0,0003 à 0,0001 près. La probabilité sera de 0,0003 à
p  A
0,9880
0,0001 près
p A N  
Partie B
Ce contrôle de production se révélant trop coûteux pour l’entreprise, il est abandonné : dorénavant, toutes les billes
produites sont donc conservées, et elles sont conditionnées par sacs de 100 billes.
On considère que la probabilité qu’une bille soit hors norme est de 0,0124.
On admettra que prendre au hasard un sac de 100 billes revient à effectuer un tirage avec remise de 100 billes dans
l’ensemble des billes fabriquées.
On appelle Y la variable aléatoire qui à tout sac de 100 billes associe le nombre de billes hors norme de ce sac.
1. Justifier que la variable aléatoire
suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
On considère ici une épreuve de Bernoulli où l’événement « la bille choisie est hors norme » est considéré
comme succès de probabilité 0,54.
On répète 100 fois cette épreuve dans des conditions d’indépendance car le tirage est assimilé avec remise.
Alors la variable aléatoire Y suit la loi binomiale de paramètres n=100 et p=0,0124,
c’est-à-dire B(100 ; 0,0124).
2. Quels sont l’espérance et l’écart-type de la variable aléatoire Y ?
EY   n  p  100  0,0124  1,24
 Y   n  p  1  p   100  0,0124  0,9876  1,2246
3. Quelle est la probabilité pour qu’un sac de 100 billes contienne exactement deux billes hors
norme ?
(
)
)(
(
) (
)
à 10-4 près
4. Quelle est la probabilité pour qu’un sac de 100 billes contienne au plus une bille hors norme ?
(
)
(
)
(
)
à 10-4 près
Exercice 3
Partie A
1)
a. Pour tout
et
(
La suite (
)
(
)
)est géométrique de raison 0,9 et premier terme -2.
b.
c.
d.
(
)
(
)
( )
Partie B
1)
•
désigne le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année 2012 + n alors
désigne le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année 2012 ( c'est-à-dire =
10)
•
10% des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville alors 90% des
habitants restent. (
)
•
1,2 mille personnes naissent ou emménagent à Bellecité. (
)
2)
VARIABLES
a, i, n
INITIALISATION
Choisir n
a prend la valeur 10
TRAITEMENT
Pour i allant de 1 à n
a prend la valeur 0,9a +
SORTIE
3)
>
a.
Ainsi
(
)
Afficher a
5⇔
(
1,2
5) ⇔
>
5⇔
(
)
5
(
5) ⇔
>
(
(
)
)
(
(car
)
)
b. L'année ou la population de Bellecité sera supérieure à 11,5 mille est 2019 (car
5 )
(
(
)
)
Exercice 4
Partie A
( )
( )
1)
2)
3)
a.
5
( )
. g est de la forme avec
alors pour tout réel
b. ( )
(
( )
,
)
(
)
(
)
et ( )
alors
qui donne a=14.
On peut remplacer a par 14 dans la dérivée de g :
( )
Alors,
(
)
5
et d'après la partie 2) on a
( )
5et
5ou simplement
( )
(
5
)
Partie B
1)
( )
5 Les consommateurs sont prêts à acheter 153 objets.
2)
Pour que la demande soit de 350 objet, on cherche le prix x tel que : ( )
5⇔
⇔
( )
(
⇔
5
)⇔
( )⇔
5
⇔
( )
5
Le prix de vente unitaire de l'objet doit donc être de 157 € pour que la demande soit de 350 objets.
3)
a. ( )
( )
(
Ainsi
)(
(
)
)
5, soit
ce qui équivaut à
(
)
( 5)
( 5)
donc
Le prix d'équilibre est de 193€
b. (
)
le nombre d’objet commun entre loffre et la demande est alors de 386.
Le chiffre d'affaire généré est