29-09-2015

Vérité versus Contre-vérité et (contre-)exemples
Considérons la proposition
P := [(p ∧ ¬q) ∧ [p → (q → r )]] → ¬r
Est-ce que c’est une tautologie ?
Cherchons un contre-exemple.
Si P est fausse
alors [(p ∧ ¬q) ∧ [p → (q → r )]] vraie, mais ¬r fausse ;
alors p, ¬q, p → (q → r ) et r sont vraies ;
alors p, ¬q, (q → r ) et r sont vraies ;
alors p, r sont vraies et q est fausse.
Si P est fausse, alors nécessairement p, r sont vraies et q est fausse.
29 septembre 2015
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P := [(p ∧ ¬q) ∧ [p → (q → r )]] → ¬r
Si P est fausse, alors nécessairement p, r sont vraies et q est fausse.
Mais aussi dans le sens inverse ?
• Est-ce que tous les "alors" dans l’argument sont des "si et seulement
si"’s ?
• Ou simplement vérifier si choisir p, r vraies et q est fausse donne un
contre-exemple :
[(V ∧ ¬F ) ∧ [V → (F → V )]] → ¬V
donc P serait F dans cette situation.
Effectivement c’est un contre-exemple et P n’est pas une tautologie.
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Considérons la proposition
P := [(p ∧ ¬q) ∧ r ] → [(p ∧ r ) ∨ q]
Est-ce que c’est une tautologie ?
Cherchons un contre-exemple.
Si P est fausse
alors [(p ∧ ¬q) ∧ r ] est vraie mais [(p ∧ r ) ∨ q] est fausse ;
alors p, ¬q et r sont vraies, mais (p ∧ r ) et q sont fausses ;
alors p, et r sont vraies mais (p ∧ r ) est fausse, ce qui est absurde !
Il est impossible de trouver un contre-exemple.
Conclusion : P est une tautologie.
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Quantificateurs encore
Soit p(u) une fonction propositionnelle avec univers du discours U.
Pour montrer que ∃u p(u) est vraie,
il faut montrer qu’un exemple existe.
Il suffit de trouver un exemple,
c.-à-d., trouver un élément a ∈ U tel que p(a) est vraie.
∃n ∈ Z [¬”n > 0” → ”n2 > 0”] est vraie,
parce que n = −1 donne un exemple !
¬” − 1 > 0” est vraie, et ”(−1)2 > 0” est vraie aussi, donc l’implication
est vraie aussi.
Et n = 1 est un autre exemple !
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Soit p(u) une fonction propositionnelle avec univers du discours U.
Pour montrer que ∀u p(u) est fausse ,
il faut montrer qu’un contre-exemple existe.
Il suffit de trouver un contre-exemple,
c.-à-d., trouver un élément a ∈ U tel que p(a) est fausse.
∀n ∈ Z [¬”n > 0” → ”n2 > 0”] est fausse,
parce que n = 0 donne un contre-exemple !
Car ¬”0 > 0” est vraie, mais ”02 > 0” est fausse
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Équivalences logiques et règles d’inférences.
Déjà rencontré :
¬[∀u p(u)] ⇔ [∃u ¬p(u)]
"ce n’est pas vraie que pour chaque u la proposition p(u) est vraie"
si et seulement si
"pour au moins un u la proposition p(u) est fausse".
¬[∃u p(u)] ⇔ [∀u ¬p(u)]
"ce n’est pas vraie qu’il existe un u telle pour laquelle la proposition p(u)
est vraie"
si et seulement si
"pour chaque u la proposition p(u) est fausse".
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Fonctions propositionnelles avec univers de discours Z, l’ensemble des
entiers :
p(n) := ”n > 0”, q(n) := ”n2 > 0”,
r (n) := ”n2 − 3n − 4 = 0”, s(n) := ”n2 − 3 > 0”.
Vraie ou fausse ?
∃n [p(n) ∧ r (n)]
∀n [¬p(n) → q(n)]
∃n [q(n) → p(n)]
∀n [r (n) ∨ s(n)]
∀n [r (n) → p(n)]
∃n [r (n] → p(n)]
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Soit p(u) une fonction propositionnelle avec univers de discours U
non-vide alors
(∀u p(u)) → (∃u p(u))
est une tautologie.
Mais si U = ∅ alors (∀u p(u)) est vraie et (∃u p(u)) est fausse !
Modification :
[(∀u p(u)) ∧ U 6= ∅] ⇒ (∃u p(u))
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Soit a ∈ U un certain élément.
[∀u p(u)] → p(a)
est une tautologie.
[[∀u p(u)] ∧ (a ∈ U)] ⇒ p(a)
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Autres équivalences utiles ?
Pour mieux comprendre nos règles et trouver d’autres :
Supposons que l’univers du discours U est fini :
U = {u1 , u2 , . . . , un }.
Dans ce cas ∀u p(u) veut dire
p(u1 ) ∧ p(u2 ) ∧ . . . ∧ p(un )
Et ∃u p(u) veut dire
p(u1 ) ∨ p(u2 ) ∨ . . . ∨ p(un ).
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En utilisant les définitions de ∀, ∃ et la règle de De Morgan plusieurs fois,
on obtient
¬[∀u p(u)] ⇔ ¬[p(u1 ) ∧ p(u2 ) ∧ p(u3 ) ∧ . . . ∧ p(un )]
⇔ ¬p(u1 ) ∨ ¬[p(u2 ) ∧ p(u3 ) ∧ . . . ∧ p(un )]
⇔ ¬p(u1 ) ∨ ¬p(u2 ) ∨ ¬[p(u3 ) ∧ . . . ∧ p(un )]
⇔ ...
⇔ ¬p(u1 ) ∨ ¬p(u2 ) ∨ . . . ∨ ¬p(un )
⇔ ∃u ¬p(u).
Donc notre formule ¬[∀u p(u)] ⇔ [∃u ¬p(u)] est une règle de De Morgan
généralisée !
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Et si on utilise les règles de la distributivité ? Soit q une proposition
logique. En utilisant la distributivité plusieurs fois, on obtient
[∀u p(u)] ∨ q ⇔ [p(u1 ) ∧ p(u2 ) ∧ p(u3 ) ∧ . . . ∧ p(un )] ∨ q
⇔ [p(u1 ) ∨ q] ∧ [[p(u2 ) ∧ p(u3 ) ∧ . . . ∧ p(un )] ∨ q]
⇔ [p(u1 ) ∨ q] ∧ [p(u2 ) ∨ q] ∧ [[p(u3 ) ∧ . . . ∧ p(un )] ∨ q]
⇔ ...
⇔ [p(u1 ) ∨ q] ∧ [p(u2 ) ∨ q] ∧ . . . ∧ [p(un ) ∨ q]
⇔ ∀u [p(u) ∨ q]
Nous avons obtenue une règle logique si U est fini. Nous allons voir que
cette règle reste vraie si U n’est pas fini.
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Proposition
Soit p(u) une fonction propositionnelle d’univers du discours U (fini ou
infini), et q une proposition logique.
[∀u p(u)] ∨ q ⇔ ∀u [p(u) ∨ q]
Démonstration.
(i) Pour montrer "(∀u p(u)) ∨ q → ∀u [p(u) ∨ q]", supposons
(∀u p(u)) ∨ q est vraie, c-.à-d. q est vraie ou (∀u p(u)) est vraie. Si q est
vraie, alors [p(u) ∨ q] est vraie pour chaque u ; c.-à-d. ∀u [p(u) ∨ q] est
vraie. Si p(u) est vraie pour chaque u, alors aussi p(u) ∨ q est vraie pour
chaque u, c.-à-d. ∀u [p(u) ∨ q] est vraie. Donc nous avons montré que si
(∀u p(u)) ∨ q est vraie, alors ∀u [p(u) ∨ q] est vraie aussi.
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(Suite).
(ii) Pour montrer "(∀u [p(u) ∨ q]) → [(∀u p(u)) ∨ q]", supposons
(∀u [p(u) ∨ q]) est vraie, c-.à-d., [p(u) ∨ q] est vraie pour chaque u. Alors
si q est fausse, on a nécessairement p(u) est vraie pour chaque u, i.e,
∀u p(u) est vraie et donc aussi [∀u p(u)] ∨ q est vraie. Et si q est vraie,
alors [∀u p(u)] ∨ q est vraie aussi. Donc nous avons montré que si
∀u [p(u) ∨ q] est vraie alors (∀u p(u)) ∨ q est vraie aussi.
Ainsi la formule est montrée.
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En utilisant la commutativité et l’associativité de ∧ et
q ⇔ [q ∧ q] ⇔ [q ∧ q ∧ q] ⇔ [q ∧ q ∧ q ∧ q] ⇔ . . .
on obtient
[∀u p(u)] ∧ q ⇔ [p(u1 ) ∧ p(u2 ) ∧ p(u3 ) ∧ . . . ∧ p(un )] ∧ q
⇔ [p(u1 ) ∧ p(u2 ) ∧ p(u3 ) ∧ . . . ∧ p(un )] ∧ [q ∧ q . . . ∧ q]
⇔ [p(u1 ) ∧ q] ∧ [p(u2 ) ∧ q] ∧ . . . ∧ [p(un ) ∧ q]
⇔ ∀u [p(u) ∧ q]
Nous avons obtenue une règle logique si U est fini. Cette règle reste aussi
vraie si U n’est pas fini.
Similairement pour ∃.
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Sommaire :
Proposition
Soit p(u) une fonction propositionnelle avec univers de discours un
ensemble U, et q une proposition logique. Alors on a
(∀u p(u)) ∨ q ⇔ ∀u [p(u) ∨ q] (distr. généralisée)
(∀u p(u)) ∧ q ⇔ ∀u [p(u) ∧ q] (assoc. et comm. de ∧ généralisée)
(∃u p(u)) ∨ q ⇔ ∃u [p(u) ∨ q] (assoc. et comm. de ∨ généralisée)
(∃u p(u)) ∧ q ⇔ ∃u [p(u) ∧ q] (distr. généralisée)
Les (autres) preuves sont laissées à vous.
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Corollaire
Soit p(u) une fonction propositionnelle avec univers du discours un
ensemble U, et q(v ) une proposition logique avec univers du discours
l’ensemble V .
Quelques équivalences (mais on en d’autres similaires) :
(∀u p(u)) ∨ (∀v q(v )) ⇔ ∀u [p(u) ∨ (∀v q(v ))]
⇔ ∀u ∀v [p(u) ∨ q(v )]
(∀u p(u)) ∨ (∃v q(v )) ⇔ ∀u [p(u) ∨ (∃v q(v ))]
⇔ ∃u ∀v [p(u) ∨ q(v )]
(∃u p(u)) ∧ (∀v q(v )) ⇔ ∃u [p(u) ∧ (∀v q(v ))]
⇔ ∃u ∀v [p(u) ∧ q(v ))]
Ces règles sont donc naturelles.
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Autres équivalences s’en déduisent. Par exemple la règle
((p1 ∨ p2 ) → q) ⇔ ((p1 → q) ∧ (p2 → q))
est généralisée ainsi :
Proposition
([∃u p(u)] → q) ⇔ (∀u [p(u) → q])
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Démonstration.
Même la preuve est généralisée :
([∃u p(u)] → q) ⇔ ¬[∃u p(u)] ∨ q (Car (p → q) ⇔ ¬p ∨ q)
⇔ [∀u ¬p(u)] ∨ q (De Morgan généralisée)
⇔ [∀u (¬p(u) ∨ q)] (distr. généralisée)
⇔ [∀u (p(u) → q)] (Car (p → q) ⇔ ¬p ∨ q)
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Supposons p(u) et q(u) sur le même univers de discours U. Il faut faire
attention ! On a en effet
(∀u p(u)) ∨ (∀u q(u)) ⇔ (∀u p(u)) ∨ (∀v q(v ))
⇔ (∀u ∀v (p(u) ∨ q(v ))
mais ce n’est pas la même chose comme (∀u (p(u) ∨ q(u)) !
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Proposition
(∀u p(u)) ∨ (∀u q(u))) ⇒ (∀u (p(u) ∨ q(u)))
(∃u (p(u) ∧ q(u))) ⇒ (∃u p(u)) ∧ (∃u q(u))
mais
(∀u p(u)) ∧ (∀u q(u))) ⇔ (∀u (p(u) ∧ q(u)))
(∃u (p(u) ∨ q(u))) ⇔ (∃u p(u)) ∨ (∃u q(u))
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Contre-exemple :
Posons p(u) :="u = 0" et q(u) :="u > 0" avec univers du discours
N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
∀u p(u) est fausse (parce que p(1) est fausse)
et aussi
∀u q(u) est fausse (parce que q(0) est fausse).
Mais pour chaque nombre naturel u on a u = 0 ou u > 0, c.-a-d.,
∀u (p(u) ∨ q(u)) est vraie.
Donc l’implication (∀u (p(u) ∨ q(u)) → (∀u p(u)) ∨ (∀u q(u)) est fausse.
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Contre-exemple :
Fonctions r (n) := ”2n + 1 = 5”, s(n) := ”n2 = 9” avec univers du
discours Z.
Ici ∃n r (n) vraie (prend n = 2) et ∃n s(n) vraie (prend n = 3, ou prend
n = −3).
Mais ∃n [r (n) ∧ s(n)] est fausse, car il n’existe pas de nombre entier m
pour lequel 2m + 1 = 5 et m2 = 9 sont simultanément vraies.
Conclusion :
[[∃n r (n)] ∧ [∃n s(n)]] → [∃n [r (n) ∧ s(n)]]
est fausse.
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Définition : "m est pair" s’il existe un entier k tel que m = 2k.
Montrons : "Si m et n sont pairs, alors mn est un carré (le carré d’un
nombre entier)".
Par exemple : si m = 2 et n = 8 alors 2 · 8 = 16 = 42 est un carré.
"Preuve" :
m est pair donc il existe un entier k tel que m = 2k. De même pour n,
donc n = 2k.
En multipliant on obtient m · n = (2k) · (2k) = 4k 2 , qui est en effet un
carré (le carré de 2k).
Une fausse preuve.
"Argument" :
"m est pair" et "n est pair" ⇔ ([∃k m = 2k] ∧ [∃k n = 2k]) →
→ ∃k [m = 2k ∧ n = 2k] ⇒ [∃k mn = (2k)2 ]
Ici → n’est pas une tautologie.
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On a une autre situation qui demande un peu d’attention.
Proposition
Soit p(u, v ) une fonction propositionnelle avec univers du discours U × V .
(i) On a seulement :
(∃v ∀u p(u, v )) ⇒ (∀u ∃v p(u, v ))
(ii) Mais
(∀u ∀v p(u, v )) ⇔ (∀v ∀u p(u, v ))
(∃u ∃v p(u, v )) ⇔ (∃v ∃u p(u, v ))
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Démonstration.
(i) Supposons (∃v ∀u p(u, v )) est vraie, c.-à-d., il existe un élément de V ,
disons v0 ∈ V , tel que p(u, v0 ) est vraie pour chaque u ∈ U.
Est-ce que (∀u ∃v p(u, v )) est vraie ? Soit u ∈ U, est-ce qu’il existe un
v ∈ V (qui dépend possiblement de u) tel que p(u, v ) est vraie ? Oui,
prend v0 !
On a montré l’implication.
(ii) (∀u ∀v p(u, v )) veut dire pour chaque u et pour chaque v on a
p(u, v ). Mais parce que u ∧ v ⇔ v ∧ u, c’est la même chose comme dire
pour chaque v et pour chaque u on a p(u, v ), c.-à-d., (∀v ∀u p(u, v ))
Similairement pour l’autre équivalence.
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Mais
(∀u ∃v p(u, v )) → (∃v ∀u p(u, v ))
n’est pas vraie pour tous les p(u, v ).
(∀u ∃v p(u, v )) veut dire : pour chaque u il existe un v tel que p(u, v ) est
vraie. Mais il est possible qu’un tel v est variable et dépend de u.
Par contre, (∃v ∀u p(u, v )) veut dire qu’il existe un v indépendant de u,
tel que p(u, v ) est vraie. C’est plus fort.
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Contre-exemple :
Soit U = V = Z et p(u, v ) ="u + v = 1".
(∀u ∃v p(u, v ) est vraie, car pour chaque entier u il existe un entier v tel
que u + v = 1 (en effet on peut prendre v = 1 − u).
(∃v ∀u p(u, v )) est fausse. Preuve par l’absurde.
Supposons (∃v ∀u p(u, v )) est vraie, c.-à-d, il existe pas un entier, disons
n, tel que pour chaque entier u on a u + n = 1. En particulier pour u = 0
et u = 1 on obtient
0+n =1=1+n
donc 0 = 1, ce qui est absurde. Fin de la preuve.
Donc l’implication (∀u ∃v p(u, v )) → (∃v ∀u p(u, v )) est fausse.
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Definition
Fonctions propositionnelles p(u) et q(u) avec le même univers du discours
U sont logiquement équivalentes si p(a) ↔ q(a) vraie pour tous les a ∈ U.
C.-à-d. si
∀u [p(u) ↔ q(u)]
est vraie.
On écrit
∀u [p(u) ⇔ q(u)]
Et si
∀u [p(u) → q(u)]
est vraie on écrit
∀u [p(u) ⇒ q(u)]
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Proposition
Soient p(u) et q(u) deux fonctions propositionnelles avec le même univers
de discours U et a ∈ U un élément. Supposons ∀u [p(u) ⇒ q(u)].
Si p(a) vraie, alors q(a) est vraie aussi.
Démonstration.
Par hypothèse ∀u [p(u) → q(u)] est vraie et a ∈ U. Donc par la règle
d’inférence [[∀u p(u)] ∧ (a ∈ U)] ⇒ p(a) nous pouvons conclure
p(a) → q(a) est vraie.
Si p(a) vraie, alors par modus ponens, q(a) est vraie aussi.
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Nous pouvons combiner les règles.
Exemple.
p(u), q(u) et r (u) : même univers du discours U.
Si ∀u (p(u) ⇒ q(u)) et ∀u (q(u) ⇒ r (u)) alors aussi ∀u (p(u) ⇒ r (u)).
Preuve :
[[∀u (p(u) → q(u))] ∧ [∀u (q(u) → r (u))]]
⇔ [∀u ((p(u) → q(u)) ∧ (q(u) → r (u))] ⇒ [∀u (p(u) → r (u))],
où nous avons combiné avec ((p → q) ∧ (q → r )) ⇒ (p → r ).
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Soit p(u) une fonction propositionnelle avec univers de discours U.
Supposons U = U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Un , où n ≥ 1.
Alors
[∀u ∈ U p(u)] ⇔ [∀u ∈ U1 p(u)] ∧ [∀u ∈ U2 p(u)] ∧ . . . ∧ [∀u ∈ Un p(u)]
Donne une possibilité de preuve cas par cas.
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Soit p(n) une fonction propositionnelle avec univers de discours
{0, 1, 2, . . . , 10}. Supposons p(0) est vraie et p(n) → p(n + 1) vraie pour
chaque 0 ≤ n < 10. Alors ∀n p(n).
Preuve : Hypothèses : p(0), p(0) → p(1), p(1 → p(2), p(2) → p(3),
. . . , p(9) → p(10).
p(0 est vraie et p(0) → p(1), donc p(1) (modus ponens).
Mais aussi p(1) → p(2) donc p(2) (modus ponens).
Mais aussi p(2) → p(3) donc p(3) (modus ponens).
Mais aussi p(3) → p(4) donc p(4) (modus ponens).
Mais aussi p(4) → p(5) donc p(5) (modus ponens).
Mais aussi p(5) → p(6) donc p(6) (modus ponens).
Mais aussi p(6) → p(7) donc p(7) (modus ponens).
Mais aussi p(7) → p(8) donc p(8) (modus ponens).
Mais aussi p(8) → p(9) donc p(9) (modus ponens).
Mais aussi p(9) → p(10) donc p(10) (modus ponens).
Conclusion : p(0), p(1), . . . p(10] sont tous vraies.
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L’hypothèse que N existe, avec ses propriétés élémentaires, implique la
tautologie suivante extrêmement importante.
Principe d’induction
Soit p(n) une fonction propositionnelle avec univers de discours N.
[p(0) ∧ [∀n (p(n) → p(n + 1)]] ⇔ [∀n p(n)]
La partie ⇐ est évidente. Mais pas ⇒, car ça dépend des propriétés de N.
Ça donne une stratégie pour montrer [∀n p(n)] ! !
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