Méthode des éléments finis : poutre soumise `a un effort normal

Transcription

Méthode des éléments finis :
poutre soumise à un effort normal
Yves Debard
Institut Universitaire de Technologie du Mans
Département Génie Mécanique et Productique
http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html
24 mars 2006 – 29 mars 2011
Table des matières
1 Rappels
1
2 Matrices élémentaires
2.1 Matrice de rigidité et vecteur force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Élément de poutre à section constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Utilisation des fonctions d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Fonctions d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Élément de poutre à section constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Élément de poutre à section variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Partition du champ de déplacements en mouvement de corps rigide et mouvement de
déformation pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Partition du champ de déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Fonctions d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Calcul de la matrice de rigidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Calcul du vecteur force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Calcul de la matrice de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6 Calcul de kD , fth,D et fD à l’aide du théorème de Castigliano . . . . . . . . . .
2
2
2
3
4
4
4
6
6
3 Exemples
3.1 Exemple 1 : poutre soumise à des forces nodales . . . . . . . . . .
3.1.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Discrétisation de la poutre et partition des degrés de liberté
3.1.3 Étude élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Assemblage et calcul des déplacements inconnus . . . . . .
3.1.5 Efforts et déplacements élémentaires . . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.7 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Exemple 2 : poutre soumise à des forces réparties . . . . . . . . . .
3.2.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Dicrétisation de la poutre et partition des degrés de liberté
3.2.6 Action de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Exemple 3 : poutre soumise à des forces réparties . . . . . . . . . .
3.3.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Dicrétisation de la poutre et partition des degrés de liberté
3.3.6 Action de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Exemple 4 : poutre soumise à un gradient thermique . . . . . . . .
3.4.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Discrétisation de la poutre et partition des degrés de liberté
3.4.4 Assemblage et calcul du déplacement inconnu . . . . . . . .
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6
6
7
7
7
8
8
9
9
9
9
9
10
10
10
11
11
11
11
12
12
12
13
13
13
13
14
14
14
14
15
15
16
16
16
16
17
3.5
3.6
3.7
3.8
3.4.5 Efforts et déplacements élémentaires . . . . . . . . .
3.4.6 Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.7 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . .
3.4.8 Application numérique . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple 5 : problème à déplacement imposé . . . . . . . . .
3.5.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Discrétisation de la poutre et partition des degrés de
3.5.3 Étude élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Assemblage et calcul des déplacements inconnus . .
3.5.5 Effort normal et actions de liaisons . . . . . . . . . .
Exemple 6 : poutre reposant sur deux appuis élastiques . .
3.6.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Assemblage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4 Déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple 7 : modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Discrétisation de la poutre et partition des degrés de
3.7.3 Étude élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.4 Assemblage et calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.5 Remarque : influence de la discrétisation . . . . . . .
Élément de poutre à section variable . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Méthode du paragraphe 2.1.2 . . . . . . . . . . . . .
3.8.2 Utilisation des fonctions d’interpolation . . . . . . .
3.8.3 Utilisation du théorème de Castigliano . . . . . . . .
4 Programmes Maple
4.1 mat elem1 . . . .
4.2 mat elem2 . . . .
4.3 mat var1 . . . .
4.4 mat var2 . . . .
4.5 mat var3 . . . .
Références
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liberté
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liberté
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17
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19
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19
19
20
20
20
20
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21
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22
22
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23
23
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27
Poutre soumise à un effort normal
1
1
Rappels
Considérons une poutre droite d’axe x soumise à un effort normal N (x; t).
u(x; t) est le déplacement suivant x de la section droite d’abscisse x à l’instant t.
A est l’aire de la section droite.
E, α et ρ sont respectivement le module de Young , le coefficient de dilatation et la masse volumique
du matériau.
La poutre porte une force répartie d’intensité linéique px et subit une variation de température ∆T .
Figure 1 – Équilibre d’un tronçon de poutre infiniment petit
L’équilibre du morceau de poutre compris entre les sections droites d’abscisses x et x + dx s’écrit :
− N (x; t) + N (x + dx; t) + px dx = −N (x; t) + N (x; t) +
où l’on a posé : ü =
∂N
dx + px dx = ρ A ü dx
∂x
(1.1)
∂2u
∂t2
Après simplification, on obtient l’équation d’équilibre :
∂N
+ px = ρ A ü
∂x
(1.2)
Figure 2 – transformation d’un tronçon de poutre
L’allongement unitaire εxx est (figure 2) :
εxx =
u(x + dx) − u(x)
∂u
=
dx
∂x
(1.3)
2
Méthode des éléments finis
Figure 3 – Loi de comportement
Il est dû à l’effort normal (loi de Hooke) et à la variation de température (figure 3) :
εxx =
σxx
∂u
=
+ α ∆T
∂x
E
avec σxx =
N
A
(1.4)
d’où :
σxx = E (εxx − α ∆T ) = E (εxx − εth )
(1.5)
avec εth = α ∆T .
2
Matrices élémentaires
2.1
2.1.1
Matrice de rigidité et vecteur force
Introduction
Considérons un tronçon de poutre droite de longueur L (élément) limité par les sections droites de
centre de gravité i et j (nœuds).
ui = u(0) et uj = u(L) sont les déplacements nodaux.
−N (0) = −Ni et N (L) = Nj sont les efforts nodaux.
L’élément porte répartie d’intensité linéique px (x) et subit une variation de température ∆T .
En l’absence de forces d’inertie, l’équation d’équilibre (1.2) se réduit à :
dN
+ px = 0
dx
(2.1)
L’intégration de cette équation entre les abscisses 0 et x conduit à l’expression de l’effort normal dans
l’élément :
Z x
N (x) = Ni −
px (s) ds
(2.2)
0
L’intégration de la relation de comportement (1.4) donne la déformée :
Z x
Z x
N (s)
u(x) = ui +
ds +
α ∆T ds
EA
0
0
(2.3)
3
Des conditions aux limites :
uj = u(L) et Nj = N (L)
on déduit l’expression des efforts nodaux en fonction des déplacements nodaux :
{fnod } = [ k ] {u} − {f } − {fth }
avec
½
¾ ½
¾
−N (0)
−Ni
{fnod } =
=
N (L)
Nj
,
½ ¾
ui
{u} =
uj
(2.4)
(2.5)
{fnod } est le vecteur des forces nodales (N).
[ k ] est la matrice de rigidité élémentaire (N/m).
{u} est le vecteur déplacement élémentaire (m).
{f } est le vecteur force équivalent aux charges réparties (N).
{fth } est le vecteur force équivalent au gradient thermique (N).
2.1.2
Élément de poutre à section constante
L’élément de poutre droite (i − j) de section droite constante, est soumis sur toute sa longueur une
force linéairement répartie d’intensité linéique :
px (x) = pxi + ( pxj − pxi )
x
L
(2.6)
et à une variation de température ∆T constante.
L’équilibre de l’élément s’écrit :
− Ni + Nj +
L
(pxi + pxj ) = 0
2
(2.7)
La relation {fnod } = [ k ] {u} − {f } − {fth } s’écrit (programme : mat elem1) :
½
¾
·
¸½ ¾
·
¸½ ¾
½ ¾
EA 1 −1 ui
L 2 1
−Ni
pxi
−1
=
−
− EA α ∆T
Nj
uj
pxj
1
L −1 1
6 1 2
(2.8)
L’effort normal et le champ de déplacements sont :
N (x) = Ni − pxi x − ( pxj − pxi )
1
u(x) = ui +
EA
x2
2L
µ
¶
x2
x3
Ni x − pxi
− ( pxj − pxi )
+ α ∆T x
2
6L
(2.9)
(2.10)
4
Cas particulier : si le chargement se réduit à une force uniformément répartie :
pxi = pxj = p
les relations ci-dessus deviennent :
·
¸½ ¾
½ ¾
½ ¾
EA 1 −1 ui
pL 1
−1
=
−
− EA α ∆T
u
−1
1
1
1
L
2
j
µ
¶
x2
1
Ni x − pxi
+ α ∆T x
N (x) = Ni − pxi x , u(x) = ui +
EA
2
½
−Ni
Nj
2.2
2.2.1
¾
Utilisation des fonctions d’interpolation
Fonctions d’interpolation
Le champ de déplacements u(x) est représenté par le polynôme :
u(x) = a0 + a1 x
(2.11)
avec les conditions aux limites ui = u(0) et uj = u(L), d’où l’expression de u(x) en fonction des
déplacements nodaux :
£
¤
u(x) = [Nu ] {u} = N1 (x) N2 (x) {u}
(2.12)
avec
x
N1 (x) = 1 −
L
,
x
N2 (x) =
L
½ ¾
ui
{u} =
uj
,
(2.13)
N1 (x) et N2 (x) sont les fonctions d’interpolation.
Remarque : le champ de déplacements s’écrit sous forme paramétrique :

1+ξ

x(ξ) =
L , −1 ≤ ξ ≤ 1
2
 u(ξ) = [N (ξ)] {u}
(2.14a)
u
avec
·
1−ξ
[Nu ] =
2
1+ξ
2
¸
(2.14b)
et les relations
∂x
L
dx =
dξ = J dξ = dξ
∂ξ
2
,
∂f
1 ∂f
=
∂x
J ∂ξ
Z
,
Z
L
1
f (x) dx =
0
f (x(ξ)) J dξ
(2.14c)
−1
J est le jacobien de la transformation géométrique x(ξ).
2.2.2
L’énergie de déformation est égale à (à une constante près indépendante des déplacements) :
¶
Z µ
∂u
1
E ε2xx − E εxx α ∆T dV avec εxx =
(2.15)
Edef =
2
∂x
V
En utilisant la relation :
εxx
·
¸
∂u(x)
dNu
=
=
{u} = [B] {u} = {u}T [B]T
∂x
dx
avec [B] =
¤
1£
−1 1
L
(2.16)
il vient :
5
1
Edef = {u}T [ k ] {u} − {u}T {fth }
2
(2.17)
où la matrice de rigidité [ k ] et le vecteur {fth } sont égaux à :
Z
L
[k] =
Z
EA [B]T [B] dx
,
0
{fth } =
L
EA α ∆T [B]T dx
(2.18)
0
Le travail des forces extérieures pour le déplacement u(x) est égal à :
Z
Wext =
L
0
u(x) px (x) dx + {u}T {fnod } = {u}T {f } + {u}T {fnod }
où le vecteur force est égal à :
Z
L
{f } =
0
[N ]T px (x) dx
(2.19)
(2.20)
L’énergie potentielle est égale à :
Epot = Edef − Wext
(2.21)
ρ u̇2 dV
(2.22)
L’énergie cinétique est égale à :
Ecin
1
=
2
Z
V
d’où :
Ecin
1
=
2
Z
L
0
avec u̇(x) = [Nu ] {u̇}
1
ρ A u̇2 dx = {u̇}T [m] {u̇}
2
(2.23)
où la matrice de masse [m] est égale à :
Z
[m] =
0
L
ρ A [Nu ]T [Nu ] dx
(2.24)
Le principe de Hamilton :
Z
t2
δ
t1
(Ecin − Epot ) dt = 0 ∀ {δu} avec
{δu} |t=t1 = {δu} |t=t2 = 0
(2.25)
conduit aux équations de Lagrange :
d
dt
µ
∂Ecin
∂ u̇i
¶
+
∂Edef ∂Wext
−
=0
∂ui
∂ui
i = 1, 2
(2.26)
soit sous forme matricielle :
{fnod } = [m] {ü} + [ k ] {u} − {f } − {fth }
(2.27)
Remarque : la matrice de rigidité est la matrice hessienne de l’énergie de déformation par rapport aux
déplacements nodaux :
∂ 2 Edef
(2.28)
kij =
∂ui ∂uj
6
2.2.3
Élément de poutre à section constante
Les données sont celles du paragraphe 2.1.2. On obtient (programme : mat elem2) la même matrice
de rigidité et le même vecteur force. De plus, cette méthode fournit la matrice de masse :
·
¸
·
¸
EA 1 −1
ρAL 2 1
[k] =
, [m] =
1 2
L −1 1
6
(2.29)
·
¸½ ¾
½ ¾
L 2 1
pxi
−1
{f } =
, {fth } = E A α ∆T
pxj
1
6 1 2
2.2.4
Élément de poutre à section variable
Les matrices [ k ] et [ m ] et les vecteurs {f } et {fth } sont évalués numériquement par la méthode de
Gauss [4, 11, 13, 16] :
Z
0
L
L
g(x) dx =
2
Z
µ
1
g
−1
¶
µ
¶
npi
1+ξ
LX
1 + ξi
wi g
L dξ ≈
L
2
2
2
(2.30)
i=1
où npi, wi et ξi sont respectivement le nombre de points d’intégration, le poids et l’abscisse du ie point
d’intégration (table 1).
npi
1
2
3
ξi
0
±0.57735026918962576
³
±
wi
2
´
1/3
p
0
³ p ´
±0.77459666924148338 ± 3/5
1
0.88888888888888889 (8/9)
0.55555555555555556 (5/9)
Table 1 – Points d’intégration et coefficients de pondération pour la méthode de Gauss
Remarque : un polynôme de degré inférieur ou égal à 2 npi − 1 est intégré exactement par la méthode
de Gauss à npi points.
2.3
2.3.1
Partition du champ de déplacements en mouvement de corps rigide et mouvement de déformation pure
Partition du champ de déplacements
Le passage de l’état initial à l’état déformé peut être décomposé (figure 4) en un mouvement de corps
rigide et un mouvement de déformation pure (système isostatique) [2] :
u(x) =
ui
|{z}
mouvement de corps rigide (R)
+
uD (x)
| {z }
mouvement de déformation pure (D)
Figure 4 – Partition du champ de déplacements
(2.31)
7
Les déplacements nodaux sont :
½ ¾ ·
¸½
¾
ui
1 0
ui
{u} =
=
uj
1 1 uj,D
On en déduit par inversion :
où uj,D = uD (L)
½ ¾
£
¤ ui
uR = ui = 1 0
= [aR ]{u}
uj
½ ¾
£
¤ ui
= [aD ]{u}
uD = uj,D = −1 1
uj
(2.32)
(2.33)
(2.34)
Remarque : le système (D) est isostatique.
2.3.2
Fonctions d’interpolation
À l’aide des fonctions d’interpolation (2.14), le champ de déplacements (2.31) s’écrit sous forme
paramétrique :

 x(ξ) = 1 + ξ L (−1 ≤ ξ ≤ 1) , J = L
2
2
(2.35a)

u(ξ) = uR + ND uD = ([aR ] + ND [aD ]) {u}
avec :
∂ND
1
1+ξ
, B=
=
(2.35b)
ND =
2
∂x
L
2.3.3
Calcul de la matrice de rigidité
L’énergie de déformation de l’élément est égale à l’énergie de déformation du système (D) :
1
{u}T [ k ] {u} − {u}T {fth }
2
1
= Edef,D = kD u2D − uD fth,D
2
1
T
= {u} [aD ]T kD [aD ] {u} − {u}T [aD ]T fth,D
2
Edef =
d’où l’expression de la matrice de rigidité et du vecteur {fth } :
·
¸
½ ¾
1 −1
−1
T
T
[ k ] = kD [aD ] [aD ] = kD
, {fth } = fth,D [aD ] = fth,D
−1 1
1
avec :
Z
kD =
2.3.4
Z
L
2
EA B dx ,
fth,D =
0
(2.36)
(2.37)
L
EA α ∆T B dx
(2.38)
0
Calcul du vecteur force
Le travail de px (x) pour le déplacement u(x) est égal à :
Z L
Z L
px (x) u(x) dx =
(uR + ND uD ) px (x) = {u}T ( [aR ]T fR + [aD ]T fD )
0
(2.39)
0
avec
Z
fR =
0
Z
L
px (x) dx
,
fD =
0
L
ND px (x) dx
(2.40)
On en déduit l’expression du vecteur force :
{f } = [aR ]T fR + [aD ]T fD =
½
¾
fR − fD
fD
(2.41)
8
2.3.5
Calcul de la matrice de masse
L’énergie cinétique est égale à :
Z
1
2
Ecin =
L
0
1
ρ A u̇2 dx = {u̇}T [m] {u̇}
2
(2.42)
En utilisant le champ de déplacements (2.35), il vient pour la matrice de masse :
[m] = mR [aR ]T [aR ] + mD [aD ]T [aD ] + mRD [aR ]T [aD ] + mDR [aD ]T [aR ]
·
¸
mR + mD − mRD − mDR −mD + mDR
=
−mD + mRD
mD
(2.43a)
avec :
Z
mR =
2.3.6
Z
L
ρ A dx
,
0
mD =
L
0
Z
2
ρ A ND
dx ,
mRD = mDR =
L
0
ρ A ND dx
(2.43b)
Calcul de kD , fth,D et fD à l’aide du théorème de Castigliano
En l’absence de forces d’inertie, l’effort normal se réduit à :
Z
N (x) = Nj +
Fxp (x)
avec
Fxp (x)
L
=
px (s) ds
x
L’énergie de déformation complémentaire est égale à :
Z
Z L
Z L
Z
2
N2
σxx
c
dV +
σxx α ∆T dV =
dx +
N α ∆T dx
Edef =
V
0 2 EA
0
V 2E
En appliquant le deuxième théorème de Castigliano, on obtient :
Z L
c
∂Edef
p
uj,D =
= c Nj + uD +
α ∆T dx
∂Nj
0
avec
Z
L
c=
0
1
dx
EA
Z
upD
,
=
0
L
Fxp
dx
EA
(2.44)
(2.45)
(2.46)
(2.47)
On en déduit par inversion :
Nj = kD uj,D − fD − fth,D
avec :
1
kD =
c
(2.48)
Z
,
kD upD
fD =
,
fth,D = kD
L
α ∆T dx
0
Remarques :
– On a la relation : fR = Fxp (0).
– Dans la pratique, les intégrales (2.47) sont évaluées numériquement par la méthode de Gauss :
Z
1
f (ξ) dξ ≈
−1
npi
X
f (ξi ) wi
(2.49)
1
Si la poutre a une section constante, on obtient pour la matrice de rigidité le résultat exact avec
un point d’intégration. Dans le cas contraire, le résultat dépend du nombre de points d’intégration.
3
9
Exemples
3.1
3.1.1
Exemple 1 : poutre soumise à des forces nodales
Énoncé
La poutre représentée sur la figure 5 est encastrée à ses deux extrémités.
Figure 5 – Poutre soumise à des forces nodales
Soit E le module de Young du matériau.
L’aire de la section droite est égale à :
– A entre les sections 1 et 2.
– 2 A entre les sections 2 et 3.
La section 2 soumise à une force (F, 0, 0) et la section 3 à une force (2 F, 0, 0).
3.1.2
Discrétisation de la poutre et partition des degrés de liberté
La poutre est discrétisée en trois éléments à deux nœuds (1 − 2), (2 − 3) et (3 − 4). Effectuons une
partition des degrés de liberté en déplacements nuls {US } et inconnus {UL } ([1], [16]) :
 
u2 

½ ¾
½ ¾
½
¾ 
 

u3
u2
u1
{UL }
{UL } =
, {US } =
d’où {U } =
=
u3
u4
{US }
u 


 1

u4
On en déduit la localisation des degrés de liberté dans

u1



u2
{DDL} =
u


 3
u4
3.1.3
les matrices globales :

→ 0


→1
→ 2


→0
Étude élémentaire
Les matrices élémentaires sont :
¸
·
EA 1 −1
[k1−2 ] =
,
2 L −1 1
{ddl1−2 } =
½
¾
u1 → 0
u2 → 1
¸
·
¸
·
2 EA 1 −1
3 EA 1 −1
[k2−3 ] =
, [k3−4 ] =
−1 1
−1 1
L
L
¾
½
¾
½
u2 → 1
u3 → 2
, {ddl2−3 } =
, {ddl3−4 } =
u3 → 2
u4 → 0
10
3.1.4
Assemblage et calcul des déplacements inconnus
Les déplacements inconnus u2 et u3 sont les solutions de l’équation [KLL ] {UL } = {Fnod,L } :
·
¸½ ¾ ½ ¾
EA 5 −4 u2
F
=
u3
2F
2 L −4 10
u2 =
3.1.5
FL
18 F L
= 1.059
17 EA
EA
et u3 =
d’où
14 F L
FL
= 0.824
17 EA
EA
Efforts et déplacements élémentaires
Les efforts et les déplacements élémentaires sont calculés à l’aide des formules du paragraphe (2.1.2) :
– élément 1 − 2 :
½
¾
·
¸½ ¾
½ ¾ ½
¾
EA 1 −1
9 F −1
−N1
u1
−0.529
=
=
=
F
N2
u2
1
0.529
L −1 1
17
9F
17
N (x) =
,
σxx (x) =
9 F
F
= 0.529
17 A
A
,
u(x) =
9F x
17 EA
– élément 2 − 3 :
·
¸½ ¾
½ ¾ ½
¾
½
¾
8F
2 EA 1 −1
u2
1
0.471
−N2
=
=
F
=
−1 1
u3
−0.471
N3
L
17 −1
N (x) = −
8F
17
,
σxx (x) = −
4 F
F
= −0.235
17 A
A
,
u(x) =
F
(18 L − 4 x)
17 EA
– élément 3 − 4 :
½
¾
·
¸½ ¾
½ ¾ ½
¾
EA 1 −1
42 F
−N3
u3
1
2.471
=
=
=
F
N4
u4
−1
−2.471
L −1 1
17
N (x) = −
3.1.6
42 F
17
,
σxx (x) = −
14 F
F
= −0.824
17 A
A
,
u(x) =
Actions de liaison
Elles sont déduites des efforts normaux :
F1x = −N1 = −
9F
17
,
F4x = N4 = −
42 F
17
Remarque : l’équilibre de la poutre est vérifié : F1x + F2x + F3x + F4x = 0
14 F
(L − x)
17 EA
3.1.7
11
Représentations graphiques
Le champ de déplacements u(x) et la contrainte normale σxx (x) sont représentés sur la figure (6).
Figure 6 – Champ de déplacements et contrainte normale
3.2
3.2.1
Exemple 2 : poutre soumise à des forces réparties
Énoncé
La poutre représentée sur la figure 7 est constituée de deux tronçons de même longueur L. La section 1
est encastrée.
Figure 7 – Poutre soumise à des forces réparties
Soit E le module de Young du matériau.
L’aire de la section droite est égale à :
– A entre les sections 2 et 3.
La poutre porte :
– entre les sections 1 et 2 une force dont l’intensité linéique varie linéairement entre 2p et p.
– entre les sections 2 et 3 une force uniformément répartie d’intensité linéique p.
3.2.2
Dicrétisation de la poutre et partition des degrés de liberté
La poutre est discrétisée en deux éléments à deux nœuds (1 − 2) et (2 − 3) de longueur L. Effectuons
une partition des degrés de liberté en déplacements nuls {US } et inconnus {UL } ([1], [16]) :
½ ¾
u2
{UL } =
u3
,
{US } = {u1 }
 
½
¾ u2 
{UL }
d’où {U } =
= u3
{US }
 
u1
12

u1
{DDL} = u2

u3
3.2.3

→ 0
→1

→2
·
¸
·
¸
2 EA 1 −1
EA 1 −1
[k1−2 ] =
, [k2−3 ] =
−1 1
L
L −1 1
½ ¾
½ ¾
pL 5
pL 1
{f1−2 } =
, {f2−3 } =
6 4
2 1
½
¾
½
¾
u1 → 0
u2 → 1
{ddl1−2 } =
, {ddl2−3 } =
u2 → 1
u3 → 2
3.2.4
Les déplacements inconnus sont les solutions de l’équation [KLL ] {UL } = {FL } :
·
¸½ ¾
½ ¾
EA 3 −1 u2
pL 7
=
d’où
u3
L −1 1
6 3
u2 =
3.2.5
5 pL2
pL2
= 0.833
6 EA
EA
et u3 =
4 pL2
pL2
= 1.333
3 EA
EA
– élément 1 − 2 :
½
¾
·
¸½
¾
½ ¾
½ ¾ ½
¾
2 EA 1 −1 u1 = 0
pL 5
pL −5
−N1
−2.5
=
−
=
=
pL
N2
−1 1
u2
4
2
1
L
6
2
−N1 + N2 +
N (x) = 2 Aσxx
5 pL
x2
=
− 2 px + p
2
2L
,
3
pL = 0
2
1
u(x) =
2 EA
µ
5 pL
x3
x − px2 + p
2
6L
– élément 2 − 3 :
·
¸½ ¾
½ ¾ ½ ¾
½
¾
pL 1
EA 1 −1 u2
−1
−N2
−
=
pL
=
u3
1
0
N3
L −1 1
2
−N2 + N3 + pL = 0
N (x) = Aσxx = pL − px
,
5 pL2
1
u(x) =
+
6 EA EA
µ
¶
x2
pLx − p
2
¶
3.2.6
13
Action de liaison
L’action de liaison est égale à :
F1x = −N1 = −
5 pL
2
Remarque : l’équilibre de la poutre est vérifié :
F1x + F2x + F3x +
3.2.7
3 pL
5 pL
3 pL
+ pL = −
+0+
+ pL = 0
2
2
2
Le champ de déplacements u(x), l’effort normal N (x) et la contrainte normale σxx (x) sont représentés
sur la figure (8).
Figure 8 – Champ de déplacements, effort normal et contrainte normale
3.3
3.3.1
Exemple 3 : poutre soumise à des forces réparties
Énoncé
La poutre représentée sur la figure 9 est constituée de trois tronçons de même longueur L. Les sections 1
et 4 sont encastrées.
Figure 9 – Poutre soumise à des forces réparties
A et E sont respectivement l’aire de la section droite et le module de Young du matériau.
La poutre porte :
– entre les sections 1 et 2 une force dont l’intensité linéique varie linéairement entre p et 0.
– entre les sections 3 et 4 une force uniformément répartie d’intensité linéique p.
14
3.3.2
Dicrétisation de la poutre et partition des degrés de liberté
La poutre est discrétisée en trois éléments à deux nœuds (1 − 2), (2 − 3) et (3 − 4) de longueur L.
Effectuons une partition des degrés de liberté en déplacements nuls {US } et inconnus {UL } ([1], [16]) :
 
u2 

½ ¾
½ ¾
½
¾ 
 

u3
u2
u1
{UL }
{UL } =
, {US } =
d’où {U } =
=
u3
u4
{US }
u 


 1

u4

u1



u2
{DDL} =
u


 3
u4
3.3.3

→ 0


→1
→ 2


→0
·
¸
EA 1 −1
L −1 1
½ ¾
½ ¾
pL 2
pL 1
{f1−2 } =
, {f3−4 } =
6 1
2 1
½
¾
¾
½
¾
½
u1 → 0
u2 → 1
u3 → 2
{ddl1−2 } =
, {ddl2−3 } =
, {ddl3−4 } =
u2 → 1
u3 → 2
u4 → 0
[k1−2 ] = [k2−3 ] = [k3−4 ] =
3.3.4
·
¸½ ¾
½ ¾
EA 2 −1 u2
pL 1
=
d’où
u3
L −1 2
6 3
u2 =
3.3.5
5 pL2
pL2
= 0.278
18 EA
EA
et u3 =
7 pL2
pL2
= 0.389
18 EA
EA
– élément 1 − 2 :
½
¾
·
¸½
¾
½ ¾
½
¾ ½
¾
EA 1 −1 u1 = 0
pL 2
pL −11
−N1
−0.611
=
−
=
=
pL
N2
u2
1
2
0.111
L −1 1
6
18
1
pL = 0
2
µ
¶
1
11 pL
x2
x3
u(x) =
x−p
+p
EA
18
2
6L
−N1 + N2 +
N (x) = Aσxx =
11 pL
x2
− px + p
18
2L
,
15
– élément 2 − 3 :
¾
½
¾
·
¸½ ¾
½ ¾ ½
EA 1 −1 u2
pL −1
−0.111
−N2
=
=
=
pL
0.111
N3
u3
1
L −1 1
9
N (x) = Aσxx =
pL
9
,
u(x) =
5 pL2
pLx
+
18 EA 9 EA
– élément 3 − 4 :
¾
½
·
¸½ ¾
½ ¾
½ ¾ ½
¾
EA 1 −1 u3
pL 1
pL −1
−N3
−0.111
=
−
=
=
pL
N4
u4
1
−8
−0.889
L −1 1
2
9
−N3 + N4 + pL = 0
N (x) = Aσxx
pL
=
− px ,
9
7 pL2
1
u(x) =
+
18 EA EA
µ
pL
x2
x−p
9
2
¶
Le champ de déplacements passe par une valeur maximale pour xm tel que σxx (xm ) = 0 d’où
xm = L/9 = 0.111 L
3.3.6
,
u(xm ) = 32 pL2 /81 EA = 0.395 pL2 /EA
Action de liaison
Les actions de liaison sont égales à :
F1x = −N1 = −
11
pL = −0.611 pL ,
18
8
F4x = N4 = − pL = −0.889 pL
9
Remarque : l’équilibre de la poutre est vérifié :
F1x + F2x + F3x + F4x +
3.3.7
1
11
8
1
pL + pL = − pL + 0 + 0 − pL + pL + pL = 0
2
18
9
2
Le champ de déplacements u(x) et l’effort normal N (x) sont représentés sur la figure (10).
Figure 10 – Effort normal et champ de déplacements
16
3.4
3.4.1
Exemple 4 : poutre soumise à un gradient thermique
Énoncé
La poutre (figure 11) de section droite constante (carré plein de côté c) est encastrée à ses deux
extrémités.
Figure 11 – Poutre soumise à un gradient thermique
Elle est constituée de deux matériaux :
– entre les sections 1 et 2 :
– module de Young : 2 E
– coefficient de dilatation : α
– entre les sections 2 et 3 :
– module de Young : E
– coefficient de dilatation : 3 α
La poutre est soumise à une variation de température ∆T > 0.
3.4.2
 
½ ¾
½
¾ u2 
u1
{UL }
{UL } = {u2 } , {US } =
d’où {U } =
= u1
u3
{US }
 
u3

u1
{DDL} = u2

u3
3.4.3

→ 0
→1

→0
·
¸
·
¸
2 EA 1 −1
EA 1 −1
[k1−2 ] =
, [k2−3 ] =
, A = c2
−1 1
L
L −1 1
½
¾
½
¾
u1 → 0
u2 → 1
{ddl1−2 } =
, {ddl2−3 } =
u2 → 1
u3 → 0
½ ¾
½ ¾
−1
−1
{fth 1−2 } = 2 EA α ∆T
, {fth 2−3 } = 3 EA α ∆T
1
1
3.4.4
17
Assemblage et calcul du déplacement inconnu
Le déplacement inconnu u2 est la solution de l’équation [KLL ] {UL } = {Fth,L } :
EA
3 u2 = −EA α ∆T
L
3.4.5
1
d’où u2 = − L α ∆T = −0.333 L α ∆T
3
– élément 1 − 2 :
½
¾
½ ¾
½ ¾ ½
¾
8
u1
1
2.667
−N1
− {fth,1−2 } = EA α ∆T
= [k1−2 ]
=
EA α ∆T
u2
−1
−2.667
N2
3
8
N (x) = − EA α ∆T
3
,
1
u(x) = − α ∆T x
3
– élément 2 − 3 :
½ ¾
½
¾
½ ¾
8
1
−N2
u2
= [k2−3 ]
− {fth,2−3 } = EA α ∆T
−1
N3
u3
3
8
N (x) = − EA α ∆T
3
3.4.6
,
1
u(x) = α ∆T (x − L)
3
Actions de liaison
Elles sont déduites des efforts normaux :
8
F1x = −N1 = EA α ∆T
3
8
F3x = N3 = − EA α ∆T
3
Remarque : l’équilibre de la poutre est vérifié : F1x + F2x + F3x = 0
3.4.7
Le champ de déplacements u(x) et l’effort normal N (x) sont représentés sur la figure (12).
Figure 12 – Champ de déplacements et effort normal
18
3.4.8
Application numérique
On donne : L = 0.4 m, c = 10 mm, E = 100000 MPa, α = 3 10−6 K−1 , ∆T = 50 K.
On obtient : u2 = 0.02 mm, N = −4000 N, σxx = −40 MPa.
Remarque : le coefficient de charge critique est égal à λC = 1.68 (RDM-Ossatures) ; la poutre devient
donc instable pour ∆T = 1.68 × 50 K = 84 K.
3.5
3.5.1
Exemple 5 : problème à déplacement imposé
Énoncé
La poutre représentée sur la figure est constituée de trois tronçons de longueur L. L’aire de la section
droite est égale à 3 A entre les sections 1 et 2, 2 A entre les sections 2 et 3 et à A entre les sections 3
et 4. Soit E le module de Young du matériau.
La section 1 est encastrée et la section 4 subit un déplacement u4 = d.
3.5.2
La poutre est discrétisée en trois éléments à deux nœuds. Effectuons une partition des degrés de
liberté en déplacements connus (non nuls : {UP }, nuls : {US }) et inconnus {UL } ([1], [16]) :
 

 u2 
½ ¾
 {UL }  
 

u2
u3
{UL } =
, {US } = {u1 } , {UP } = {u4 = d}
d’où {U } = {UP } =
u3
u 

 

{US }
 4

u1

u1



u2
{DDL} =
u


 3
u4
3.5.3

→ 0


→1
→ 2


→3
·
¸
3 EA 1 −1
[k1−2 ] =
−1 1
L
{ddl1−2 } =
½
¾
u1 → 0
u2 → 1
,
[k2−3 ] =
,
·
¸
2 EA 1 −1
−1 1
L
{ddl2−3 } =
½
¾
u2 → 1
u3 → 2
,
,
[k3−4 ] =
{ddl3−4 } =
·
¸
EA 1 −1
L −1 1
½
¾
u3 → 2
u4 → 3
3.5.4
19
Les déplacements inconnus u2 et u3 sont les solutions de l’équation :
½
¾
£
¤ {UL }
[KLL ] [KLP ]
= {0}
{UP }
soit :


¸  u2  ½ ¾
EA 5 −2 0
0
u3
=
0

L −2 3 −1 
u4 = d
·
u2 =
3.5.5
d’où
2
5
d = 0.182 d et u3 =
d = 0.455 d
11
11
Effort normal et actions de liaisons
L’effort normal est constant dans la poutre :
N=
3 EA
6 EAd
EAd
(u2 − u1 ) =
= 0.545
L
11 L
L
On en déduit les actions de liaisons :
F4x = −F1x =
6 EAd
11 L
F4x est la force qu’il faut exercer sur la section 4 pour avoir u4 = d.
3.6
3.6.1
Exemple 6 : poutre reposant sur deux appuis élastiques
Énoncé
La poutre représentée sur la figure 13 repose sur deux appuis élastiques de raideurs respectives k1
et k3 .
Figure 13 – Poutre reposant sur deux appuis élastiques
E est le module de Young du matériau.
L’aire de la section droite est 2 A entre les sections 1 et 2 et A entre les sections 2 et 3.
La section 2 porte une force d’intensité F . La poutre porte une force uniformément répartie d’intensité
linéique p entre les sections 1 et 2.
3.6.2
La poutre est discrétisée en deux éléments de longueur L et 2 L. Les matrices élémentaires sont :
·
¸
½ ¾
·
¸
2 EA 1 −1
pL 1
EA 1 −1
[k1−2 ] =
, {f1−2 } =
, [k2−3 ] =
−1 1
L
2 1
2 L −1 1
20
3.6.3
Assemblage
L’assemblage conduit à la relation :

2
−2

1
EA 
−2 2 +

2
L 
1
0
−
2
3.6.4
  
  
pL 
u
−k
u
1
1
1







 













  2 

1   
pL
−  u2 =
F
+
2



 




 2 



 
 

1 
 

 

 
 
−k
u
u
0
3 3
3
2
0
Déplacements
 2 EA
2 EA
L
5 EA
2L
EA
−
2L
+ k1 −
 L

2 EA

 −

L

0
  
u1 


 
 


 
 

EA 
 u2 = F
−


2L 








  

EA
u
+ k3
3
2L
0

pL 


2 

pL
+

2 



0
Remarque : on obtient le même résultat en considérant les deux appuis comme deux éléments de
matrices de rigidité :
·
¸
·
¸
k1 −k1
k3 −k3
,
−k1 k1
−k3 k3
3.7
3.7.1
Exemple 7 : modes propres
Énoncé
La poutre de longueur 2 L représentée sur la figure 14 est encastrée à ses deux extrémités.
Figure 14 – Modes propres
L’aire de la section est égale à 2A entre les sections 1 et 2 et à A entre les sections 2 et 3.
Soient E et ρ respectivement le module de Young et la masse volumique du matériau.
3.7.2
 
½ ¾
½
¾ u2 
u1
{UL }
{UL } = {u2 } , {US } =
d’où {U } =
= u1
{US }
u3
 
u3
21
On en déduit la localisation des degrés de liberté dans les matrices globales :


u1 → 0
{DDL} = u2 → 1


u3 → 0
3.7.3
·
¸
2 EA 1 −1
[k1−2 ] =
−1 1
L
·
¸
EA 1 −1
[k2−3 ] =
L −1 1
3.7.4
·
¸
2 ρAL 2 1
[m1−2 ] =
1 2
6
·
¸
ρAL 2 1
[m2−3 ] =
1 2
6
½
¾
u1 → 0
{ddl1−2 } =
u2 → 1
½
¾
u2 → 1
{ddl2−3 } =
u3 → 0
Assemblage et calcul
Le déplacement u2 est solution de l’équation [MLL ] {ÜL } + [KLL ] {UL } = {0} :
EA
ρAL
[6] {ü2 } +
[3] {u2 } = {0}
6
L
On cherche la solution harmonique u2 = a sin ω t d’où :
−
ρAL
EA
6 ω 2 a sin ω t +
3 a sin ω t = 0
6
L
On en déduit :
ω2 =
3E
ρL2
La pulsation propre est égale à :
s
ω=C
E
ρL2
avec C =
√
3 = 1.732
 
0
Le vecteur propre associé est : a (figure 15).
 
0
Figure 15 – Mode 1
3.7.5
Remarque : influence de la discrétisation
Chaque tronçon est discrétisée en n éléments.
22
n
1
2
3
4
10
3.8
C
1.732
1.611
1.589
1.581
1.572
Élément de poutre à section variable
L’élément de poutre i − j, de longueur L, est un carré plein dont le côté varie linéairement entre c
et 2 c :
³
x ´2
A(x) = c2 1 +
L
L’élément porte sur toute sa longueur une force répartie d’intensité linéique :
px (x) = pxi + ( pxj − pxi )
x
L
et subit une variation de température ∆T constante dans l’élément.
Soit E et α le module de Young et le coefficient de dilatation du matériau.
3.8.1
Méthode du paragraphe 2.1.2
On obtient (programme : mat var1) :
·
¸
2 E c2 1 −1
[k] =
−1 1
L
{f } =
3.8.2
·
¸ ½ ¾
L −5 + 8 ln(2) 3 − 4 ln(2)
pxi
pxj
2 6 − 8 ln(2) −2 + 4 ln(2)
,
{fth } = 2 E c2 α ∆T
½ ¾
−1
1
Utilisation des fonctions d’interpolation (avec ou sans partition du champ de
déplacements en mouvement de corps rigide et mouvement de déformation pure)
On obtient (programme : mat var2) :
·
¸
7 E c2 1 −1
[k] =
3 L −1 1
{f } =
·
¸ ½ ¾
L 2 1
pxi
pxj
6 1 2
,
,
·
¸
ρ c2 L 32 23
[m] =
23 62
60
{fth } =
7
E c2 α ∆T
3
½ ¾
−1
1
3.8.3
23
Utilisation du théorème de Castigliano
On obtient (programme : mat var3) le même résultat qu’au paragraphe 3.8.1.
Dans la pratique, les intégrales (2.47) sont évaluées numériquement et le résultat dépend du nombre
de points d’intégration (tableau 2).
Table 2 – Influence du nombre de points d’intégration
npi
2
3
4
5
6
7
8
9
4
(kD − kD exact )/kD exact
0.0059523809524
0.0002520161290
0.0000097049689
0.0000003530465
0.0000000123759
0.0000000004227
0.0000000000142
0.0000000000005
Programmes Maple
Les programmes suivant se trouvent dans le fichier normal.txt.
4.1
mat elem1
# calcul de la matrice de rigidité et du vecteur force
# d’un élément de poutre à section constante
restart:with(linalg):
assume(L>0):
# charges
px:=x->pxi+(pxj-pxi)*x/L;
# effort normal
N:=x->Ni-int(px(s),s=0..x);N(x);
# champ de déplacements
u:=x->ui+int(N(s)/E/A+alpha*DT,s=0..x);u(x);
# calcul des efforts nodaux en fonction des déplacements nodaux
solve(uj=u(L),Ni):assign(%):
24
Nj:=N(L):
# matrice de rigidité
k:=jacobian([-Ni,Nj],[ui,uj]);
# vecteur force
f:=jacobian([Ni,-Nj],[pxi,pxj,DT]);
# remarque : fonctions d’interpolation
Nu:=grad(u(x),[ui,uj]);
4.2
mat elem2
# calcul des matrices élémentaires
# d’un élément de poutre à section constante
# à l’aide des fonctions d’interpolation
# représentation de la géométrie et jacobien
x:=(1+xi)*L/2;J:=L/2;
# fonctions d’interpolation
Nu:=[(1-xi)/2,(1+xi)/2];
B:=[-1/L,1/L];
k:=matrix(2,2,(i,j)->int(B[i]*B[j]*E*A*J,xi=-1..1));
# matrice de masse
m:=matrix(2,2,(i,j)->int(Nu[i]*Nu[j]*rho*A*J,xi=-1..1));
# vecteur force
px:=pxi+(pxj-pxi)*x/L:
f:=vector(2,i->int(Nu[i]*px*J,xi=-1..1)):simplify(f);
fth:=vector(2,i->int(B[i]*E*A*alpha*DT*J,xi=-1..1));
4.3
mat var1
# d’un élément de poutre à section variable
assume(L>0):
# charges
px:=x->pxi+(pxj-pxi)*x/L;
# effort normal
N:=x->Ni-int(px(s),s=0..x);
# champ de déplacements
A:=x->c^2*(1+x/L)^2;
u:=x->ui+int(N(s)/E/A(s)+alpha*DT,s=0..x,continuous);
# calcul des efforts nodaux en fonction des déplacements nodaux
solve(uj=u(L),Ni):assign(%):
Nj:=N(L):
k:=jacobian([-Ni,Nj],[ui,uj]);
# vecteur force
f:=jacobian([Ni,-Nj],[pxi,pxj,DT]):simplify(f);
4.4
mat var2
# calcul des matrices élémentaires
# à l’aide des fonctions d’interpolation
# représentation de la géométrie et jacobien
x:=(1+xi)*L/2;J:=L/2; Nu:=[(1-xi)/2,(1+xi)/2];
A:=c^2*(1+x/L)^2;
B:=[-1/L,1/L];
k:=matrix(2,2,(i,j)->int(B[i]*B[j]*E*A*J,xi=-1..1));
# matrice de masse
25
26
m:=matrix(2,2,(i,j)->int(Nu[i]*Nu[j]*rho*A*J,xi=-1..1));
# vecteur force
px:=pxi+(pxj-pxi)*x/L:
f:=vector(2,i->int(Nu[i]*px*J,xi=-1..1)):simplify(f);
fth:=vector(2,i->int(B[i]*E*A*alpha*DT*J,xi=-1..1));
4.5
mat var3
# à l’aide du théorème de Castigliano
A:=c^2*(1+x/L)^2;
C:=int(1/E/A,x=0..L,continuous):
kD:=1/C:
k:=matrix(2,2,[[kD,-kD],[-kD,kD]]);
# vecteur force
px:=x->pxi+(pxj-pxi)*x/L:
Fpx:=x->int(px(s),s=x..L):
fR:=simplify(Fpx(0));
upD:=int(Fpx(x)/E/A,x=0..L,continuous):
fD:=kD*upD; f:=vector(2,[fR-fD,fD]):
f:=jacobian(f,[pxi,pxj]):simplify(f);
fthD:=kD*int(alpha*DT,x=0..L);
27
Références
[1] J. H. Argyris et H.-P. Mlejnek – Die methode der finiten elemente, Band I. Verschiebungsmethode in der statik, Vieweg, 1986.
[2] J. H. Argyris et D. Scharpf – Some general considerations on the natural mode technique.
Part I, Small dispacements, Part II, Large dispacements , The Aeronautical Journal of the Royal
Aeronautical Society 73 (1969), p. 218–226, 361–368.
[3] J.-F. Aubouin – Calcul des structures et informatique, Eyrolles, 1983.
[4] J.-L. Batoz et G. Dhatt – Modélisation des structures par éléments finis, Volume 1. Solides
élastiques, Hermès, 1990.
[5] — , Modélisation des structures par éléments finis, Volume 2. Poutres et plaques, Hermès, 1990.
[6] A. Bazergui, T. Bui-Quoc, A. Biron, G. McIntyre et C. Laberge – Résistance des
matériaux, 3 éd., Éditions de l’École Polytechnique de Montréal, 2002.
[7] R. D. Cook, D. S. Malkus et M. E. Plesha – Concepts and applications of finite element
analysis, 3 éd., Wiley, 1989.
[8] J. Courbon – Résistance des matériaux, Tome 1, 2 éd., Dunod, 1964.
[9] — , Résistance des matériaux, Tome 2, Dunod, 1965.
[10] — , Éléments de résistance des matériaux, Dunod, 1970.
[11] G. Dhatt, G. Touzot et E. Lefrançois – Méthode des éléments finis, Hermès, 2005.
[12] F. Frey – Traité du génie civil, Volume 2. Analyse des structures et milieux continus. Mécanique
des structures, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2000.
[13] F. Frey et J. Jirousek – Traité du génie civil, Volume 6. Méthode des éléments finis, Presses
Polytechniques et Universitaires Romandes, 2001.
[14] D. Gay et J. Gambelin – Une approche simple du calcul des structures par la méthode des
éléments finis, Hermès, 1989.
[15] — , Dimensionnement des structures. Une introduction, Hermès, 1999.
[16] J.-F. Imbert – Analyse des structures par éléments finis, 3 éd., Cépaduès, 1995.
[17] S. Laroze – Mécanique des structures, Tome 2. Théorie des poutres, 2 éd., Eyrolles/Masson,
1988.
[18] M. Petyt – Introduction to finite element vibration analysis, Cambridge University Press, 1990.
[19] A. Portela et A. Charafi – Finite elements using Maple. A Symbolic Programming Approach,
Springer, 2002.
[20] J. S. Przemieniecki – Theory of matrix structural analysis, Dover, 1986.
[21] J. Salençon – Mécanique des milieux continus, Tome 3. Milieux curvilignes, Éditions de l’École
polytechnique, 2001.
[22] S. P. Timoshenko – Résistance des matériaux, Tome 1. Théorie élémentaire et problèmes,
Dunod, 1968.
[23] W. Weaver et J. M. Gere – Matrix analysis of framed structures, 3 éd., Van Nostrand Reinhold, 1990.
[24] C. Wielgoz – Cours et exercices de résistance des matériaux : élasticité, plasticité, éléments
finis, Ellipses, 1999.
[25] W. Wunderlich et W. D. Pilkey – Mechanics of structures. Variational and computational
methods, 2 éd., CRC PRESS, 2003.

Méthode des éléments finis : poutre soumise `a un effort normal

Transcription

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