Théorie des ensembles et combinatoire

Théorie des ensembles et combinatoire
Valentin Vinoles
24 janvier 2012
Table des matières
1 Introduction
2
2 Théorie des ensembles
2.1 Définition . . . . . . . . .
2.2 Appartenance et inclusion
2.3 Opérations ensemblistes .
2.3.1 Intersection . . . .
2.3.2 Union . . . . . . .
2.3.3 Complémentaire .
2.4 Exercices . . . . . . . . .
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3 Factorielle
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Combinatoire
4.1 Cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Formule de Grassman . . . . . . . .
4.2 Listes d’éléments d’un ensemble . . . . . . .
4.2.1 Permutations d’un ensemble . . . . .
4.2.2 Listes avec répétitions . . . . . . . .
4.2.3 Listes sans répétition (arrangement)
4.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Coefficients binomiaux
5.1 Symétrie . . . . . . .
5.2 Triangle de Pascal .
5.3 Formule du binome .
5.4 Exercices . . . . . .
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13
13
14
6 Applications d’un ensemble dans un autre
6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Surjection, injection, bijection . . . . . . . .
6.2.1 Surjection . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Injection . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Bijection . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Lien avec la combinatoire . . . . . . . . . .
6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
Chapitre 1
Introduction
Combien y a-t-il de numéros de cartes bancaires possibles ? Combien peut-on tracer de triangles en
utilisant n points ? Voici des questions auxquelles la combinatoire, la science de compter des objets,
permet de répondre.
La combinatoire trouve un grand nombre d’applications dans les probabilités discrètes. Elle permet
de calculer la probabilité de gagner au loto, la probabilité de faire un 7 avec deux dés ou encore la
probabilité d’avoir au moins deux as dans une main de cinq cartes. La réponse est donnée par la
formule des probabilités uniformes (c’est-à-dire dans le cas où toutes les configurations ont la même
chance d’arriver) :
probabilite de l’évènement =
nombre de cas favorables
.
nombre de cas possibles
Ainsi pour connaitre la probabilité d’avoir deux as dans une main de cinq cartes, il faut savoir combien
il y a de mains de cinq cartes (cas possibles), et savoir combien il y a de mains de cinq cartes avec au
moins deux as (cas favorables).
Le présent document vise à donner les outils de base de théorie des ensembles et de combinatoire
pour répondre à ce genre de questions. On commence par donner quelques éléments de la théorie
dite naı̈ve 1 des ensembles. Ensuite, après un bref chapitre sur la notion de factorielle, on donnera les
principaux résultats de combinatoire qui permettent de répondre aux questions ci-dessus. Pour finir
on donnera deux chapitres complémentaires, l’un pour approfondir la notion de coefficient binomial
et l’autre pour donner point de vue plus théorique sur la combinatoire à travers la notion d’application.
Les démonstrations ne sont pas inattaquable sur le plan de la rigueur pure, mais sont là pour donner
une idée de pourquoi les choses marchent .
1. l’étude d’une théorie axiomatique rigoureuse des ensembles, comme celle de Zermelo-Fraenkel, dépasse de très loin
le niveau de ce cours.
2
Chapitre 2
Théorie des ensembles
2.1
Définition
Définition. Un ensemble est une collection d’objets. Ces objets sont appelés éléments de l’ensemble.
Les ensembles peuvent être finis ou bien infinis. Dans le cas fini, on utilisera la notation avec des
accolades : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} désigne l’ensemble des entiers naturels inférieurs ou égaux à 6.
Il n’y a pas de notion d’ordre, un ensemble est seulement caractérisé par ses éléments. Ainsi {4, 1, 3, 2} =
{1, 2, 3, 4}.
De même on ne prend pas en compte la répétition des objets : {1, 2, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}.
On notera ∅ l’ensemble vide, c’est-à-dire l’ensemble qui ne contient aucun élément.
2.2
Appartenance et inclusion
Pour dire qu’un objet a est élément d’un ensemble A, on notera a ∈ A, et a ∈
/ A dans le cas contraire.
Exemples.
i) 2 ∈ {1, 2, 3, 4}.
ii) 2 ∈
/ {1, 3, 5, 7}.
√
/ Q.
iii) 2 ∈
√
iv) 2 ∈ R.
Définition. Un ensemble A est inclus dans un ensemble E si tout élément de A est un élément de E.
On note alors A ⊂ E, et A 6⊂ E dans le cas contraire.
Autrement dit, on a A ⊂ E si pour tout élément a ∈ A, on a a ∈ E.
Si A ⊂ B, on dit que A est un sous-ensemble (ou une partie) de E.
Exemples.
3
i) L’ensemble des voitures est inclus dans l’ensemble des moyens de transport, mais l’ensemble des
moyens de transport n’est pas inclus dans l’ensemble des voitures.
ii) {1, 5, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
iii) N ⊂ R.
iv) Q 6⊂ Z.
2.3
2.3.1
Opérations ensemblistes
Intersection
Définition. L’intersection de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui sont à la fois
dans A et dans B. On le note A ∩ B.
Autrement dit, x ∈ A ∩ B si x ∈ A et x ∈ B.
Lorsque A ∩ B = ∅, on dit que les ensembles A et B sont disjoints.
Exemples.
i) {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ {1, 3, 5, 7, 9} = {1, 3, 5}.
√
ii) N ∩ { 2} = ∅.
iii) Q ∩ R = Q.
2.3.2
Union
Définition. L’union (ou réunion) de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui sont dans
A ou dans B. On le note A ∪ B.
Autrement dit, x ∈ A ∪ B si x ∈ A ou x ∈ B.
Attention le ou mathématique est inclusif et non exclusif, contrairement à la vie courante (fromage ou
dessert, garçon ou fille, etc.) comme le montre le premier exemple suivant :
Exemples.
i) {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3} (ou inclusif) et non {1, 3} (ou exclusif).
ii) {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {1, 3, 5, 7, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}.
iii) Q ∪ R = R.
4
2.3.3
Complémentaire
Définition. Soit E un ensemble et soit A un sous-ensemble de E. Le complémentaire de A est l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A. On le note Ac , A ou encore E \ A.
Autrement dit, x ∈ Ac si x ∈ E et x ∈
/ A.
On remarquera l’importance de bien préciser l’ensemble E comme le montre les exemples suivants :
Exemples.
i) Pour {1, 3, 5} vu comme sous-ensemble de {1, 2, 3, 4, 5, 6}, on a {1, 3, 5}c = {2, 4, 6}.
ii) Pour {1, 3, 5} vu comme sous-ensemble de {1, 3, 5, 7}, on a {1, 3, 5}c = {7}.
iii) Le complémentaire de N vu comme sous-ensemble de Z est l’ensemble Z∗− des entiers strictement
négatifs.
2.4
Exercices
Exercice 1. Soient A et B deux ensembles inclus dans un ensemble E. Comprendre pourquoi on a
toujours les propriétés suivantes (ne pas hésiter à faire des schémas !) :
i) A ∩ ∅ = ∅ et A ∪ ∅ = A.
ii) A ⊂ A ∪ B, A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ A ∪ B et ∅ ⊂ A.
iii) (Ac )c = A, A ∪ Ac = E et A ∩ Ac = ∅.
iv) Si A ⊂ B et B ⊂ A, alors A = B.
Exercice 2. Trouver tous les sous-ensembles possibles de {1, 2, 3}.
Exercice 3. Soit A l’ensemble des entiers naturels strictement inférieurs à 10 qui sont pairs et soit B
l’ensemble des entiers naturels strictement inférieurs à 10 qui sont divisibles par 3.
i) Écrire les éléments de A et de B.
ii) Expliciter A ∩ B et A ∪ B.
iii) Expliciter Ac et B c vus comme sous-ensemble de {0, 1, . . . , 9}.
iv) Donner un ensemble C non vide qui soit inclus dans B.
v) Donner un ensemble D non vide tel que A et D soient disjoints.
5
Chapitre 3
Factorielle
3.1
Définition
Définition. Soit n un entier naturel non nul. On définit la factorielle de n, notée n!, par
n! = 1 × 2 × · · · × n.
On convient que 0! = 1.
Exemple. 5! = 120.
3.2
Exercices
Exercice 4. Montrer que 6! × 7! = 10! sans calculer explicitement les différentes factorielles.
Exercice 5. Soit n un entier naturel. Simplifier (n + 1) × n! et
(n + 1)!
.
n!
Exercice 6. Soient n et p des entiers naturels tels que p 6 n. Montrer que
n!
= n × (n − 1) × · · · × (n − p + 1).
(n − p)!
6
Chapitre 4
Combinatoire
4.1
Cardinal
4.1.1
Définition
Définition. Le cardinal d’un ensemble fini 1 E est le nombre d’éléments de E. On le note #E, card(E)
ou encore |E|.
Exemples.
i) #{1, 3, 5, 7} = 4.
ii) #∅ = 0.
4.1.2
Formule de Grassman
Proposition. Soient A et B deux ensembles finis. On a
#A ∪ B = #A + #B − #A ∩ B.
En particulier, si A ∩ B = ∅ (A et B disjoints) on a
#A ∪ B = #A + #B.
Et si B = Ac , on a toujours A ∩ B = ∅ et de plus
#Ac = #E − #A.
Démonstration. Quand on fait #A + #B, on compte une fois les éléments de A qui ne sont pas dans
B, une fois les éléments de B qui ne sont pas dans A mais on compte deux fois les éléments qui sont à
la fois dans A et dans B, c’est-à-dire dans A ∩ B. Il faut donc retrancher une fois #A ∩ B à #A + #B
pour obtenir #A ∪ B. On a alors bien
#A ∪ B = #A + #B − #A ∩ B.
4.2
4.2.1
Listes d’éléments d’un ensemble
Permutations d’un ensemble
Définition. Soit E un ensemble fini de cardinal n > 1. Une permutation de E est une liste (e1 , e2 , . . . , en )
de tous les n éléments de E, où e1 ∈ E, e2 ∈ E, ..., en ∈ E deux à deux distincts.
L’ordre compte dans les permutations.
1. La notion de cardinalité pour des ensembles infinis existe mais dépasse de très loin le niveau de ce cours.
7
Exemples.
i) (1, 2, 3, 4), (4, 3, 2, 1), (1, 2, 4, 3) sont des permutations de {1, 2, 3, 4}.
ii) chien, chine, niche sont des permutations de {i, e, n, h, c}.
Proposition. Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments est n!.
Il y a donc n! façons d’ordonner un ensemble de n éléments.
Démonstration. Pour le premier terme de la liste, on a n choix possibles. Pour le deuxième, on a n − 1
choix possibles (les n éléments moins celui choisi en premier), pour le troisième n − 2 et ainsi de suite
jusqu’à n’avoir plus qu’un seul choix pour le n-ième élément. On a donc n × (n − 1) × · · · × 1 = n!
choix possibles.
Applications.
i) Il y a 120 façons de disposer 5 personnes dans une voiture à 5 places. En effet, cela revient à
trouver toutes les permutations d’un ensemble à 5 éléments, il y en a en tout 5! = 120.
ii) Il y a 20! = 2 432 902 008 176 640 000 façons d’ordonner 20 livres sur une étagère.
4.2.2
Listes avec répétitions
Définition. Soit E un ensemble fini de cardinal n > 1 et soit p un entier naturel non nul. Une liste
avec répétition de p éléments de E est de la forme (e1 , e2 , . . . , ep ) avec e1 ∈ E, e2 ∈ E, ..., ep ∈ E.
On utilisera les listes avec répétitions pour modéliser les situations correspondants à un tirage avec
remise de p objets dans une urne à n éléments.
Exemples.
i) (2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 3) est une liste avec répétitions de 9 éléments de {1, 2, 3, 4}.
ii) Soit E = {a, b, c, . . .} l’alphabet (y compris les lettres accentuées). Tout mot peut être vu comme
une liste avec répétitions de E.
Proposition. Soit E un ensemble fini de cardinal n et soit p un entier naturel non nul. Le nombre de
listes avec répétition de p éléments de E est np .
Démonstration. Pour le premier terme de la liste, on a n choix possibles. Pour le deuxième, on a
toujours n choix possibles (on a le droit aux répétitions), pour le troisième encore n et ainsi de suite
p fois. On a donc n × n × · · · × n (p fois) choix possibles, c’est-à-dire np choix.
Application. Il y a 108 numéros de téléphone commençant par 06. En effet, il y en a autant que de
listes avec répétitions de 8 éléments de {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} qui a 10 éléments. Il y en a en tout 108 .
4.2.3
Listes sans répétition (arrangement)
Définition. Soit E un ensemble fini de cardinal n > 1 et soit p 6 n un entier naturel non nul. Une
liste sans répétition de p éléments de E est de la forme (e1 , e2 , . . . , ep ) avec e1 ∈ E, e2 ∈ E, ..., ep ∈ E
deux à deux distincts.
On a nécessairement p 6 n si on veut que les éléments soit deux à deux distincts 2 .
Une liste sans répétition est aussi appelée arrangement.
On utilisera les listes sans répétition pour modéliser les situations correspondants à un tirage sans
remise de p objets dans une urne à n éléments, tirage pour lequel l’ordre compte.
2. ce principe est connu sous le nom de principe des tiroirs, voir la dernière partie du chapitre 6 pour plus d’explications.
8
Exemples.
i) (1, 2, 3) et (3, 1, 2) sont des listes sans répétitions de 3 éléments de {1, 2, 3, 4}, mais pas (1, 1, 2).
ii) Soit E = {a, b, c, . . .} l’alphabet. Le mot beau est un arrangement de E, mais pas maman.
Proposition. Soit E un ensemble fini de cardinal n > 1 et soit p 6 n un entier naturel non nul. Le
nombre Apn d’arrangements à p éléments de E est
Apn = n × (n − 1) × · · · × (n − p + 1) =
n!
.
(n − p)!
On remarque que pour p = n, on retrouve le nombre de permutations.
Démonstration. Pour le premier terme, on a n choix possibles. Pour le deuxième, on a n − 1 choix
possibles (les n éléments moins celui choisi en premier), pour le troisième n − 2 choix et ainsi de suite
jusqu’à n’avoir plus que n − (p − 1) = n − p + 1 choix pour le dernier terme (le p-ième). On a donc
n × (n − 1) × · · · × (n − p + 1) choix possibles.
Application. Il y a A35 = 20 façons de disposer 2 personnes dans une voiture à 5 places. En effet,
cela revient à trouver tous les arrangements à 2 éléments d’un ensemble à 5 éléments, il y en a en tout
A35 = 20.
4.3
Combinaisons
Définition. Soit E un ensemble fini de cardinal n > 1 et soit p 6 n un entier naturel non nul. Une
combinaison de p éléments de E est un sous-ensemble de E de cardinal p.
Les éléments d’une combinaison sont deux à deux distincts. Contrairement aux listes, il n’y a pas de
notion d’ordre.
On utilisera les combinaisons pour modéliser les situations correspondants à un tirage sans remise de
p objets dans une urne à n éléments, tirage pour lequel l’ordre ne compte pas.
Exemples.
i) {1, 2, 3} et {3, 1, 4} sont des combinaisons de 3 éléments de {1, 2, 3, 4}.
ii) Une main dans un jeu de cartes est une combinaison de cartes, typiquement 4 ou 5.
Proposition.
Soit E un ensemble fini de cardinal n > 1 et soit p 6 n un entier naturel non nul. Le
nombre np de combinaisons de p éléments de E est
n
n × (n − 1) × · · · × (n − p + 1)
n!
=
=
.
p
p!
p!(n − p)!
Le nombre np s’appelle coefficient binomiale et se lit p parmi n . Il correspond au nombre de façons
de choisir p éléments dans un ensemble à n éléments.
Démonstration. Notons Cnp le nombre de combinaisons. Un arrangement est caractérisé par :
1. le choix d’une partie de E à p éléments : il y en a Cnp possibles ;
2. une façon d’ordonner ces p éléments : il y en a p!.
On en déduit qu’il y a Cnp × p! choix d’arrangement. Or on sait d’autre part qu’il y en a Apn . On a donc
Ap
n!
n
Cnp = n =
=
.
p!
p!(n − p)!
p
9
Application (nombre de tirages possibles au loto). Un tirage du loto consiste à tirer 5 numéros
compris entre 1 et 49, l’ordre ne comptant pas. Cela revient
à compter le nombre de combinaisons à 5
éléments de {1, 2, . . . , 49} de cardinal 49. Il y en a 49
(5
parmi
49), c’est-à-dire
5
49
= 1 906 884.
5
4.4
Exercices
Exercice 7. Résoudre avec le formalisme de la théorie des ensembles le problème suivant : dans un
lycée de 80 personnes, 55 personnes font l’option sport, 33 font l’option latin et 16 ne font aucune de
ces options. Combien de personnes font les deux options ?
Exercice 8. Il y a 20 chevaux au départ dans une course hippique. Combien y a-t-il de tiercés (c’està-dire les 3 premiers chevaux) possibles à l’arrivé dans l’ordre ? Et dans le désordre ?
Exercice 9. Une plaque d’immatriculation est de la forme
XX N N N XX
où X est une lettre entre A et Z et N un nombre entre 0 et 9. Combien y a-t-il de plaques d’immatriculation différentes ?
Exercice 10. Une banque fournit des cartes bancaires qui ont un code secret à 4 chiffres. La banque
n’accepte pas les codes ayant quatre fois le même chiffre, comme 0000 ou 7777. Combien y a-t-il de
codes secrets acceptables ?
Exercice 11. On tire trois boules simultanément dans une urne contenant trois boules blanches, trois
rouges, trois vertes et trois noires. Combien y a-t-il de tirages contenant aucune boule blanche ? 1 boule
blanche ? 2 boules blanches ? 3 boules blanches ? Même questions si on fait un tirage avec remise.
Exercice 12. Dans un jeu de 32 cartes, on choisit 5 cartes au hasard (c’est-à-dire une main).
1. Combien y a-t-il de mains au total ?
2. Combien y a-t-il de mains contenant exactement 3 as ?
3. Combien y a-t-il de mains contenant au moins 3 as ?
4. En déduire le nombre de mains contenant les 4 as. Pouvait-on trouver directement ce résultat ?
Exercice 13. On se donne un polynôme à n côtés. Combien y a-t-il de diagonales ? En déduire quels
sont les polygones ayant autant de diagonales que de côtés.
Exercice 14. Dans le quadrillage ci-contre, on ne peut se déplacer que vers le bas ou vers le droite.
1. Combien y a-t-il de chemins de A vers B ?
2. Combien y a-t-il de de A vers B passant par C ?
10
Exercice 15. Dans un tournoi de tennis, 2n joueurs sont en lice. Le premier jour, on a n rencontres qui
font chacune affronter deux joueurs. Montrer que le nombre de configurations possibles des rencontres
est
(2n)!
.
2n × n!
Exercice 16 (paradoxe des anniversaires). On considère un groupe de n personnes. On considère
E l’ensemble de toutes les dates d’anniversaires des n personnes et A l’ensemble de toutes les dates
d’anniversaire deux à deux distinctes. Calculer #E puis #A. On admet que la probabilité que personne n’ait la même date d’anniversaire que quelqu’un d’autre est donnée par #A/#E. Calculer cette
probabilité pour n = 10, n = 30, n = 50 et n = 100. Commenter le résultat.
11
Chapitre 5
Coefficients binomiaux
On rappelle que le coefficient binomial
n
p
vaut
n
n!
=
p
p!(n − p)!
et correspond au nombre de façons de choisir p éléments parmi n sans tenir compte de l’ordre.
Quelques valeurs particulières :
i) n0 est le nombre de sous-ensembles à 0 éléments dans un ensemble à n éléments. Il y en a qu’un
seul, c’est ∅ l’ensemble vide. On a donc
n
= 1.
0
ii) n1 est le nombre de sous-ensembles à 1 éléments dans un ensemble à n éléments. Il y en a autant
que d’éléments. On a donc
n
= n.
1
iii) nn est le nombre de sous-ensembles à n éléments dans un ensemble à n éléments. Il y en a autant
que d’éléments. Il y en a qu’un seul, c’est l’ensemble lui-même. On a donc
n
= 1.
n
5.1
Symétrie
Proposition. Soient n > 1 et p des entiers naturels tels que p 6 n. On a
n
n
=
.
p
n−p
On remarque que l’on retrouve (en prenant p = 0) que
n
n
=
= 1.
0
n
En prenant p = 1 on a
n
n
=
= n.
n−1
1
Démonstration. Il suffit de remarquer qu’à un sous-ensemble de cardinal p on peut associer son
complémentaire, qui a pour cardinal n − p. Compter le nombre de sous-ensembles
revient donc à
n
compter les complémentaires. Dans un cas il y en a np et dans l’autre n−p
, d’où
n
n
=
.
p
n−p
12
5.2
Triangle de Pascal
Proposition. Soient n > 1 et p des entiers naturels tels que p 6 n − 1. On a
n
n−1
n−1
=
+
.
p
p−1
p
Démonstration. Soit E un ensemble de cardinal n et soit a ∈ E. Les sous-ensembles
de E de cardinal
p se divisent en deux catégories : ceux ne contenant pas a (il y en a n−1
: choix de p éléments parmi
p
n − 1), et ceux contenant a (il y en a n−1
p−1 : choix de p − 1 éléments parmi n − 1). Finalement, comme
on est soit dans l’une soit dans l’autre catégorie on obtient bien
n
n−1
n−1
=
+
.
p
p−1
p
Cela nous donne un moyen simple de calculer les coefficients binomiaux : pour trouver un certain
coefficient, on additionne dans le tableau suivant les coefficients situés juste au dessus et juste
au dessus à gauche entre eux :
HH
p
H
HH
n
0
1
2
3
4
..
.
n−1
n
5.3
0
1
1
1
1
1
1
..
.
1
1
1
2
3
4
..
.
n−1
n
2
3
4
···
1
3
6
..
.
1
4
..
.
1
..
.
..
p−1
p
n−1
p−1
n−1
p
n
p
···
n−1
n
1
n
1
.
Formule du binome
Proposition. Soient a et b deux réels et soit n un entier naturel non nul. On a
n
(a + b) =
n X
n
p=0
p
an−p bp .
Démonstration. En développant le produit, on obtient une somme de termes de la forme αaq bp où
q et p représente le nombre de fois qu’on a choisit de développer selon a ou b respectivement. On a
q + p = n (car à chaque
fois que l’on choisit a on ne choisit pas b, et inversement). Le terme est donc
αan−p q p . Or il y a np façons de choisir p fois la valeur b parmi les n expressions de (a + b). On a donc
α = np . Enfin, pour obtenir tous les termes, il faut faire la somme sur tous les choix, donc sur tous
les p, on obtient bien
n X
n n−p p
n
(a + b) =
a
b .
p
p=0
Application. On a
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 .
13
En effet, on a
3
(a + b) =
3 X
3
p=0
p
a3−p bp
3 3 0
3 2 1
3 1 2
3 0 3
=
a b +
a b +
a b +
a b
0
1
2
3
= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 .
5.4
Exercices
Exercice 17. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, le réel
√
√
(2 + 3)n + (2 − 3)n
est un entier naturel.
Exercice 18. Soient a et b deux réels. Montrer grâce à la formule du binome que
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
et
(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 .
Exercice 19. Soit E un ensemble de cardinal n > 1.
1. Montrer que le nombre de sous-ensembles de E est 2n .
2. En déduire la formule
n X
n
p=0
p
= 2n .
3. Retrouver ce résultat avec la formule du binome avec un choix judicieux de a et b.
Exercice 20. Une urne contient n boules blanches et n boules noires (n > 1). On tire n boules
simultanément.
1. Combien y a-t-il de tirages possibles ?
2. Soit p un entier naturel tel que p 6 n. Montrer que il y a
3. En déduire une formule pour
n 2
X
n
p=0
14
p
.
n 2
p
tirages contenant p boules blanches.
Chapitre 6
Applications d’un ensemble dans un
autre
Dans la suite, A et B désignent deux ensembles non vides.
6.1
Définition
Définition. Une application (ou fonction) de A vers B est une relation qui à chaque élément de A
associe un unique élément de B.
Exemples.
i) On peut considérer l’application qui a chaque élève de la classe associe sa taille.
ii) Les fonctions classiques d’analyse (fonctions affines, racines carrés, cosinus, etc.) sont des applications d’un sous-ensemble de R vers R.
iii) Le procédé qui a un entier associe son inverse si cet entier est non nul, et 0 s’il est nul est une
application de Z dans Q.
iv) Le fait s’associer à un réel x compris entre -1 et 1 un réel θ tel que cos θ = x n’est pas une
application de [−1, 1] dans R, car le θ n’est pas unique (par exemple cos 0 = cos(2π) = 1).
On note f (a) l’élément de B qui correspond à a ∈ A par l’application f . Il s’appelle image de a.
On dit que a ∈ A est un antécédent de b ∈ B par l’application f si f (a) = b. A priori, il peut exister
un seul, plusieurs ou même aucun antécédent.
15
6.2
6.2.1
Surjection, injection, bijection
Surjection
Définition. Une application de A vers B est surjective si tout élément de B admet au moins un
antécédent. On dit alors que c’est une surjection.
Autrement dit, pour tout b ∈ B, il faut qu’il existe un a ∈ A tel que f (a) = b.
On prendra garde au fait que le caractère surjectif d’une application dépend de l’ensemble B.
Exemples.
i) L’application qui à tous les jours de l’année associe le jour de la semaine correspondant est surjective de l’ensemble des jours de l’année dans {lundi,mardi, ..., dimanche}.
ii) La fonction x ∈ R 7→ x2 ∈ R n’est pas surjective car -1 n’a pas d’antécédent. Mais la fonction
√
x ∈ R 7→ x2 ∈ R+ est surjective (y ∈ R+ a pour antécédent y).
iii) La fonction x ∈ R 7→ 2x + 1 ∈ R est surjective (y ∈ R a pour antécédent (y − 1)/2, c’est la
solution de l’équation 2x + 1 = y d’inconnue x).
6.2.2
Injection
Définition. Une application de A vers B est injective si tout élément de B n’admet pas plus d’un
antécédent (un seul ou aucun). On dit alors que c’est une injection.
Autrement dit, pour tout a ∈ A et a0 ∈ A, f (a) = f (a0 ) implique que a = a0 .
Exemples.
i) L’application qui à chaque élève associe sa chaise dans la salle est injective de l’ensemble des élèves
dans l’ensemble des chaises de la salle (il ne peut y avoir la même chaise pour deux élèves).
16
ii) L’application qui à tous les jours de l’année associe le jour de la semaine correspondant n’est pas
injective de l’ensemble des jours de l’année dans {lundi,mardi, ..., dimanche}.
iii) La fonction x ∈ R 7→ x2 ∈ R n’est pas injective car 12 = (−1)2 mais 1 6= −1.
iv) La fonction x ∈ R 7→ 2x + 1 ∈ R est injective car pour y ∈ R et y 0 ∈ R, si 2y + 1 = 2y 0 + 1 alors
y = y0 .
6.2.3
Bijection
Définition. Une application de A vers B est bijective si elle est à la fois injective et surjective. On dit
alors que c’est une bijection.
Autrement dit, pour tout b ∈ B, il existe un unique antécédent a ∈ A, c’est-à-dire f (a) = b (l’existence
vient du caractère surjectif et l’unicité du caractère injectif).
Exemples.
i) L’application qui à chaque élève associe son numéro dans l’ordre alphabétique est bijective de
l’ensemble des élèves dans {1, . . . , n} où n est le nombre d’élève.
ii) La fonction x ∈ R+ 7→ x2 ∈ R+ est bijective, mais pas x ∈ R 7→ x2 ∈ R+ (pas injective),
x ∈ R+ 7→ x2 ∈ R (pas surjective) ou x ∈ R 7→ x2 ∈ R (pas surjective ni injective).
iii) La fonction x ∈ R 7→ 2x + 1 ∈ R est bijective.
6.3
Lien avec la combinatoire
Dans ce qui suit, A est un ensemble de cardinal n et B un ensemble de cardinal m.
Proposition. Il existe mn applications entre A et B.
Cela correspond exactement au nombre de liste sans répétition de p éléments.
Démonstration. On remarque que l’on a m choix pour chaque valeur de f (a) ∈ B avec a ∈ A. Comme
il y a n éléments dans A, on a en tout mn choix possibles.
Proposition. S’il existe une bijection entre A et B, alors n = m.
La réciproque est vraie : si n = m on peut associer à chaque élément de N un unique élément de A
(il suffit d’ordonner les éléments dans les deux ensembles et d’associer le premier avec le premier, le
second avec le second, etc.).
Démonstration. Soit f une bijection entre A et B. Comme à chaque élément de B on fait correspondre
un unique élément de A, compter les éléments de A c’est exactement compter les éléments de B. On
a donc bien n = m.
Proposition. Le nombre de bijection de A dans lui-même est n!.
17
Démonstration. Notons A = {a1 , a2 , . . . , an }. Pour construire une bijection, on a n choix pour la valeur
de f (a1 ) ∈ A, puis n − 1 choix pour f (a2 ), et ainsi de suite jusqu’à n’avoir plus qu’un seul choix pour
f (an ). On a donc en tout n × (n − 1) × · · · × 1 = n! choix possibles.
Proposition. Le nombre d’applications injectives de A vers B est 0 si m < n et Anm si n 6 m.
On rappelle que
Anm = m × (m − 1) × · · · × (m − n + 1).
Cela correspond au nombre de liste avec répétition (arrangement).
Le fait qu’il n’existe pas d’injection si le cardinal de l’ensemble d’arrivée est strictement plus petit que
l’ensemble de départ est connu sous le nom de principe des tiroirs. Cela vient du fait que si on veut
ranger n chaussettes dans m < n tiroirs, il y aura forcément au moins un tiroir avec deux chaussettes,
c’est-à-dire qu’il existe au moins deux éléments de A différents ayant la même image.
Démonstration. Notons A = {a1 , a2 , . . . , an }. Soit f une injection de A vers B.
1. Supposons m < n et posons F = {f (a1 ), f (a2 ), . . . , f (an )}. C’est un sous-ensemble de B, donc
#F 6 #B = m. Mais comme f est injective, les f (ai ) sont deux à deux distincts, donc #F = n.
On en déduit que n 6 m ce qui contredit l’hypothèse m < n. Il n’y a donc pas d’injection de A
vers B.
2. Si n 6 m, on voit que l’on a m choix pour la valeur de f (a1 ), m − 1 choix pour f (a2 ) (car f est
injective on ne peut avoir la même valeur), et ainsi de suite jusqu’à n’avoir que m − (n − 1) =
m − n + 1 choix pour f (an ). On a donc bien m × (m − 1) × · · · × (m − n + 1) = Anm choix
possibles.
6.4
Exercices
Exercice 21. Les fonctions suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?
1. n ∈ Z 7→ 2n ∈ Z ;
2. n ∈ N 7→ n + 1 ∈ N ;
3. n ∈ Z 7→ n + 1 ∈ Z ;
4. z ∈ C 7→ z 2 ∈ C ;
5. x ∈ [−1, 1] 7→ 2x/(1 + x2 ) ∈ [−1, 1].
Exercice 22. Soit f une fonction strictement croissante de R dans R. Montrer que f est injective.
Exercice 23 (applications du principe des tiroirs).
1. Un humain a un nombre de cheveux compris entre 0 et 400 000. Montrer que dans une ville comme
Paris possédant deux millions d’habitants, il existe au moins deux personnes ayant exactement
le même nombre de cheveux.
2. Soit n un entier naturel non nul. On choisit n + 1 entiers compris entre 1 et 2n. Montrer qu’il en
existe au moins deux consécutifs.
Exercice 24. Construire une application bijective de N dans Z.
Exercice 25. Soit n et p deux entiers naturels tel que p 6 n. Montrer que le nombre d’applications
strictement croissantes de {1, . . . , p} dans {1, . . . , n} (avec p 6 n) est np . On pourra remarquer pour
commencer qu’une telle application est nécessairement injective.
18