OPTION M` PREMI`ERE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (4h

OPTION M’
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS 1977
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (4h)
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On note R l’ensemble des nombres réels et N l’ensemble des entiers naturels. a et b sont deux éléments
de R tels que l’on ait a < b. E désigne l’espace vectoriel des applications continues de [a, b] dans R et, pour
tout p ∈ N, Fp désigne le sous-espace vectoriel de E constitué par les fonctions polynômes de degré p. On
emploiera éventuellement le mot (( polynôme)) dans le sens de (( fonction polynôme)).
Les parties III et IV sont indépendantes l’une de l’autre. Il est rappelé que, dans un espace vectoriel
normé de dimension finie, on peut extraire une suite convergente de toute suite (an )n∈N telle que (kan k)n∈N
soit bornée.
Partie I
I - 1o/ À tout élément g de E on associe le nombre kgk = Sup |g(x)|. Vérifier que l’on définit ainsi une
x∈[a,b]
norme sur E. Dans tout le problème, E sera muni de cette norme.
I - 2o/ Soient p un élément de N et f un élément de E. On pose d = Inf kg − f k. Montrer qu’il existe une
g∈Fp
suite (gn ) d’éléments de F , convergeant vers un élément de Fp et telle que la suite (kgn − f k)n∈N converge
vers d. En déduire qu’il existe un élément P de Fp tel que l’on ait kP − f k = d.
On dira que P est un polynôme de meilleure approximation de f dans Fp .
Partie II
Dans cette partie, on se propose de montrer qu’il n’existe qu’un polynôme de meilleure approximation de f
dans Fp et d’en donner une caractérisation.
II - 1o/ Dans quel cas a-t-on d = 0 ? Montrer que, dans ce cas, il n’existe qu’un polynôme de meilleure
approximation de f dans Fp et indiquer quel est ce polynôme.
II - 2o/ Dans toute la suite de cette partie, on suppose d 6= 0 et l’on désigne par P un polynôme de meilleure
approximation de f dans Fp . On pose
α = Sup P (x) − f (x) ,
β = Inf P (x) − f (x) .
x∈[a,b]
x∈[a,b]
On désigne par A1 l’ensemble des éléments x de [a, b] tels que l’on ait P (x) − f (x) = d et par A−1 I’ensemble
des éléments x de [a, b] tels que l’on ait P (x) − f (x) = −d.
Montrer que l’on a α = d (pour cela, on pourra, en considérant le polynôme P + d−α
, montrer que l’on
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aboutit à une contradiction si l’on suppose α 6= d). Montrer aussi que l’on a β = −d.
Montrer que A1 et A−1 ne sont pas vides.
II - 3o/ Montrer qu’il existe une suite finie (x0 , . . . , xm ) d’éléments de [a, b], strictement croissante, telle
que l’on ait x0 = a et xm = b et que, quels que soient i ∈ {1, . . . , m}, x ∈ [xi−1 , xi ] et y ∈ [xi−1 , xi ], on ait
¯
¯
¯[P (y) − f (y)] − [P (x) − f (x)]¯ 6 d .
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II - 4o/ On choisit une suite (x0 , . . . , xm ) satisfaisant aux conditions précédentes. Montrer que, quels que
soient les éléments i et j de {1, . . . , m} tels que [xi−1 , xi ] ∩ A1 et [xj−1 , xj ] ∩ A−1 ne soient pas vides, j est
différent de i, de i + 1 et de i − 1.
Dans la suite, pour ε ∈ {−1, +1}, on désigne par: Iε l’ensemble des intervalles de la forme [xi−1 , xi ] (i étant
un élément de {1, . . . , m}) dont l’intersection avec Aε n’est pas vide et par I l’ensemble des éléments i tels
que [xi−1 , xi ] appartienne à I1 ∪ I−1 .
Montrer que le nombre r d’éléments de I est au moins égal à 2 et que l’on a m > 3.
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II - 5o/ On poseI = {i1 , . . . , ir }, la suite (i1 , . . . , ir ) étant strictement croissante, et, pour tout j ∈ {1, . . . , r},
Bj = [xij −1 , xij ]. Montrer qu’il existe une suite ((j1 , ε1 ), . . . , (jq , εq )) d’éléments de {1, . . . , r} × {−1, +1} et
une seule, satisfaisant aux conditions suivantes:
a) la suite (j1 , . . . , jq ) est strictement croissante et l’on a jq = r.
b) si l’on pose j0 = 0, alors, quels que soient les entiers k et j tels que l’on ait 1 6 k 6 q et jk−1 < j 6 jk ,
Bj appartient à Iεk .
c) quel que soit l’entier k tel que l’on ait k > 1 et k 6 q − 1, εk et εk+1 sont de signe contraire.
Montrer que l’on a q > 2.
II - 6o/ Pour tout k ∈ {1, . . . , q}, on pose
[
Ck =
Bj .
jk−1 <j6jk
Montrer que, quel que soit k ∈ {1, . . . , q − 1}, il existe u ∈ [a, b] tel que, quels que soient x ∈ Ck et y ∈ Ck+1 ,
on ait x < u < y.
II - 7o/ On choisit, pour tout k ∈ {1, . . . , q − 1}, un élément u satisfaisant à la condition précédente et on
le note uk . On désigne par Q la fonction polynôme
x 7−→ (x − u1 ) . . . (x − uq−1 ) .
Montrer que (P − f )Q ne s’annule pas sur C1 ∪ . . . ∪ Cq et garde un signe constant sur cet ensemble.
II - 8o/ Montrer qu’il existe λ ∈ R tel que l’on ait kP + λQ − f k < d. Que peut-on en déduire sur q ?
Montrer qu’il existe une suite (y1 , . . . , yp+2 ) d’éléments de [a, b], strictement croissante, et un élément η de
{−1, +1} tels que, quel que soit i ∈ {1, . . . , p + 2}, yi appartienne à A(−1)i η .
II - 9o/ Soit P1 un polynôme de meilleure approximation de f dans Fp . Montrer que 12 (P +P1 ) en est un aussi
et que, quel que soit ε ∈ {−1, +1}, l’ensemble des éléments x de [a, b] tels que l’on ait 12 [P (x)+P1 (x)]−f (x) =
εd est contenu dans Aε .
Montrer alors que l’on a P1 = P .
II - 10o/ Soit R un élément de Fp . On suppose qu’il existe une suite (z1 , . . . , zp+2 ) d’éléments de [a, b],
strictement croissante, et un élément ζ de {−1, +1} tels que, quel que soit i ∈ {1, . . . , p + 2}, on ait R(zi ) −
f (zi ) = (−1)i ζkR − f k. Montrer que l’on a R = P .
Partie III
III - 1o/ Pour tout élément f de E, expliciter le polynôme de meilleure approximation de f dans F0 .
III - 2o/ Dans cette question, on prend pour f l’application x 7→ ex de [a, b] dans R. Expliciter le polynôme
de meilleure approximation de f dans F1 .
III - 3o/ Dans cette question, on se place dans le cas a = −b (b étant > 0) et f est définie par
½
f (x) = x2 + x pour −b 6 x 6 0 ,
f (x) = x2 − x pour 0 6 x 6 b .
Expliciter le polynôme de meilleure approximation de f dans F2 .
Partie IV
Dans cette partie, pour tout p ∈ N, on désigne par Gp l’ensemble des éléments de Fp+1 dont le coefficient du
terme de degré p + 1 est égal à 1.
IV - 1o/ Montrer que, quel que soit p ∈ N, il existe un élément Sp de Gp et un seul tel que l’on ait Sp = Inf g.
gGp
IV - 2o/ Dans cette question, on se place dans le cas a = −1 et b = +1. On désigne par Tp l’application
x 7→ cos[(p + 1) Arccos x] de [−1, +1] dans R.
Montrer que Tp est un élément de Fp+1 et que l’on a Sp = 2−p Tp .
???
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